考研数学强化班讲义-微积分第9讲.pdf

谭泽光 1 第 9 讲 二重积分 三重积分 第 9 讲 二重积分 三重积分 一 考纲要求 一 考纲要求 考试内容考试内容 1 二重积分的概念及性质 二重积分的计算和应用 2 三重积分的概念及性质 三重积分的计算和应用 考试要求考试要求 1 理解二重积分 三重积分的概念 了解重积分的性质 了解二重积 分的中值定理 2 掌握二重积分的计算方法 直角坐标 极坐标 3 理解三重积分的概念 了解重积分的性质 4 会计算三重积分 直角坐标 柱面坐标 球面坐标 二 内容提要 二 内容提要 二重积分部分 二重积分部分 1 概念 1 概念 定义与符号 积分和式的极限 设 定义与符号 积分和式的极限 设 RRDf 2 n i ii PfI 1 0 lim D dyxf 性质 被积函数有界性 可积性 对区域的可加性 运算的单调性 估值与中值定理等 1 性质 被积函数有界性 可积性 对区域的可加性 运算的单调性 估值与中值定理等 1 计 算 计 算 在直角坐标系下的计算 在直角坐标系下的计算 D dyxf xy xy b a dyyxfdx 2 1 yx yx d c dxyxfdy 2 1 ddxdy 坐标平移 坐标平移 uxa vyb ddxdydudv D dyxf uv D f ua vb dudv 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 2 在极坐标系下的计算 在极坐标系下的计算 D dyxf 2 1 sin cosdfd ddd 2 2 方法 技巧 方法 技巧 化简 利用域和函数的对称性或几何 对区域可加性化简 化简 利用域和函数的对称性或几何 对区域可加性化简 坐标系的选择 坐标系的选择 积分次序的确定 积分次序的确定 三 三 典型例题典型例题 二重积分典型例题 例1 117 二重积分典型例题 例1 117 设 yxf为连续函数 1 22 yxDyxfyxf 则下列结论正确的是 A 0 D f x y d B 22 1 0 2 Dxy y f x y df x y d C 22 1 0 2 Dxy x f x y df x y d D 22 1 0 0 4 Dxy xy f x y df x y d 解 答案为 C 依题意 yxf关于x为偶函数 区域D关于y轴对称 由二重积分对称性可知选项 C 正确 下面举例说明其选项不对 A 取1 yxf 则 0 D f x y d B 取yyxf 则 0 D f x y d 因为D关于x轴对称 yyxf 关于y为奇函数 而 2 22 111 2 101 1 0 0 4 2 2 1 3 x xy xy f x y ddxydyxdx 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 3 D 取yyxf 则 0 DD f x y dyd 2 2222 111 2 000 11 0 00 0 4 4 442 1 3 x xyxy xyxy f x y dyddxydyxdx 注 本题考察二重积分的对称性 结论如下 1 1 设区域D关于x轴对称 D中位于x轴上 下方的部分分别记为 12 D D 则当 yxf关于y为奇函数时 0 D f x y d 当 yxf关于y为偶函数时 12 2 2 DDD f x y df x y df x y d 2 2 设区域D关于y轴对称 D中位于y轴左 右方的部份分别记为 lr D D 则当 yxf关于x为奇函数时 0 D f x y d 当 yxf关于x为偶函数时 2 2 rl DDD f x y df x y df x y d 例2 例2 设积分区域 222 ryxD 则 D dxdyyx1sin 3 答案 2 r 积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 例 3 例 3 tf为连续函数 D是由1 1 3 xyxy 围成的区域 则 D dxdyyxfxy 22 0 答案 0 例4 例4 设D是平面上以 1 1 1 1 1 1 三点为顶点的三角形区域 1 D为其在第一象限的部分 则 D dxdyyxxy sincos A 1 sincos2 D ydxdyx B 1 2 D xydxdy 1 0 50 51 1 0 7 5 0 5 0 2 5 0 2 5 0 5 0 7 5 1 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 4 C 1 sincos 4 D dxdyyxxy D 0 答案 A 例5 118 例5 118 若 2 1 D Ixy d 3 2 D Ixy d 22 0D xyxy 则下列结论中正确的是 A 21 II D 无法比较 21 I I的大小 解 直线1xy 将圆域 22 111 222 xy 分成 1 1Dx yxyD 2 1Dx yxyD 两部分 考察 32 21 D IIxyxyd 记uxy 则 2 21 1 D IIuu d 12 22 1 1 DD uu duu d 2 1 uu 在 0 2u 中的最小值为 2 224 11 3327 2 1 uu 在 2 4u 中的最小值为 2 22 14 当 1 x yD 02u 2 1 1 uu 故 11 2 2 1 22 DD uu dd 当 2 x yD 24u 2 4 1 uu 故 2 D 2 D 1 D 1 D 0 x 1 1 x y 1xy 1 2xy 0 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 5 22 2 2 1 44224 DD uu dd 12 21 430 DD IIdd 选 A 算法 1 算法 1 22 2 1 1 1 2 xy Ixy d 22 2 2 2 uv uvdudv 22 22 2 4244 uv uvuvuv dudv 22 22 2 4 uv uvdudv 2222 22 22 4 uvuv dudvuvdudv 22 3 00 8dd 8210 22 3 2 1 1 2 xy Ixy d 22 3 2 2 uv uvdudv 22 232223 2 8 1261212363 uv uuuvuvu vvuvv dudv 22 22 2 866 uv uv dudv 2222 22 22 86 uvuv dudvuvdudv 22 3 00 166dd 161228 32 21 D IIxyxyd 28622 算法 2 算法 2 1 2 txy 2 2 2 htt 22 2 2 dhd ttt d t 2 2 2 2 1 0 22 2 2 D Ixydttt dt 2 2 22 0 42 2 ttdt 2 2 2 2 42210uu du 2 2 33 1 0 4 2 2 2 28 D Ixy dttt dt 2 x y tdt t t 2t h 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 6 例6 例6 不计算 判断二重积分 22 22 3 4 1 xy xy dxdy 的正负号 解 1 123 DDDD 22 1 1Dx yxy 22 3 011xy 22 2 12Dx yxy 22 3 110 xy 22 3 24Dx yxy 223 3 311xy 22 31 D xy dxdy 123 222222 333 111 DDD xy dxdyxy dxdyxy dxdy 11 110 3 22 DD dxdydxdyyx 2 22 31 0 D xy dxdy 33 223 3 9 061923112 DD xy dxdydxdy 22 223 3 4 12 3 1 xy xy dxdy 能算吗 在方域 2Dx yMax xy 中呢 解 2 解 2 4 3 22 22 1 yx dxdyyx 22 2 3 00 1dd 2 4 2 2 3 0 0 1 3 1 24 d 3 3 1 3 37 838470 4 B 321 III C 312 III D 213 III 解解 1 01 2 222222 yxyxyx 2 222222 coscoscos0yxyxyx 321 III 解解 2 22 1 cos D Ixy d 21 00 cosdd 1 0 2cos2cos1 sin1 12 39875d 22 2 cos D Ixyd 21 2 00 cosdd 1 22 0 cossin12 64356d 2 22 3 cos D Ixyd 21 4 00 cosdd 11 422 00 coscos2 84165dd 例 8 例 8 设 0 0 4 22 yxyxD xf为D上的正值连续函 数 ba 为常数 则 d yfxf yfbxfa D D A ab B 2 ab C ba D 2 ba 解 1 解 1 若域D关于xy 对称 则 DD g x y dg y x d DD f xf y dd f xf yf xf y D af xbf y Id f xf y d yfxf xfbyfa D 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 8 dbad yfxf xfbyfa d yfxf yfbxfa I DDD 2 可得 2 2 1ba dbaI D 解 2 解 2 因是选择题 四选一 且只有一个正确 则可特殊化 令 1 xf 代入 d yfxf yfbxfa I D 22 ba d ba D 选 D 注 注 任何二元函数 f x y可表成关于xy 对称的奇 偶函数 2 f x yf y x h x y 2 f x yf y x g x y 之和 二重积分的定限和计算 二重积分的定限和计算 例 9例 9 将积分 dxdyyxf D 化成累次积分 其中 0 22 2 22 22 a yx ayaxyx axyx D 解 22 0 2 Dx yxa aaxayx 2222 2 2 x y axa aaxayaax 22 02 ax aax a D f x y dxdxf x y dy 22 22 2 2 aaax aaax a dxf x y dy a 2 a 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 9 例 10例 10 交换积分 2 0 sin 0 x dyyxfdx的积分次序 解 20 sin0 sin 0 2 0 sin 0 x xx dyyxfdxdyyxfdxdyyxfdx xyxyxDsin0 0 1 yxyyyxarcsinarcsin 10 1sin 2 2 yxxyxD yxyyyxarcsin2arcsin 01 2sin 00 x dxf x y dy arcsin22sin 0arcsinsin yarcx yarcx dxf x y dydxf x y dy 例 11 112 例 11 112 设 yxf连续 积分 242 12 sinsin x xx xx dxdydxdy yy 解 xyxxDdyxfdyyxfdx x x D 21 1 1 2 1 2 42 2 2 4 2 2 yxxDdyxfdyyxfdx x D 如图 21 21 yDD 2 yxy 242 12 x xx dxf x y dydxf x y dy 2 12 2 1 sin y y DD x f x y ddydx y 2 2 1 cos x y x y x ydy y 2 1 coscos1yydy 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 10 5 cos1 cos2sin1 2sin2 2 例 12例 12 92 计算 1 21 1 41 21 2 yy yy xx y Idye dxdye dx 解 解 1 21 1 41 21 2 yy yy xx y Idye dxdye dx 2 11 1 21 2 y x x x x dxe dyx eedx 28 3e e 例 13例 13 计算 222 0 y x Idxedy 解解 2 00 2 y y dxdyeI dyye y 2 0 2 4 2 0 1 2 1 2 1 2 ee y 例 13 1例 13 1 22 Max xy D Iedxdy 其中 10 10 yxyxD 解 解 DyxyxD 1 2 Dx yxyD 1 1 2 1 4 yx 2 yx y y 1 yx D x 2 D 1 D 1 1 yx 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 11 D yxMax dxdyeI 22 2 2 1 2 D y D x dxdyedxdye 2 2 2 D y dxdye 例 14例 14 计算 22 222 xy xyr Ied 解解 22 222 xy xyr Ied 2 2 00 r ded 2 1 r e 注 注 222 2 lim rr xxy rrr ed xed xed y 22 222 lim xy r xyr ed 2 lim1 r r e 2 0 2 x ed x 例 15 122 例 15 122 计算二重积分 D dxdyyx 2sgn 22 4 22 yxD 解 1 0 sgn 0 0 1 0 x xx x 1 2 1 2 02 2 2 22 x y yx 3 1 2 4 2 2 22 22 y x xy yx 1 2sgn 213 2 4 2 4 22 22 22 22 22 DDDdxdydxdydxdyyx xy yxD xy yx 321 DDD 分别表示 1 D 2 D 3 D的面积 1 D 2 D 3 D如 图所示 故 22 12 sgn 2 2 2 D xydxdyDDD 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 12 1 1 x y D1 D2 xy 0 5 0 2 2 14 1 02 4 44 2 x x DDdxdy 1 22 0 48 42 xxdx 21221 00 48 42arcsin 8 2ln 2 222 xx xx xxx xxxx 4 4ln 23 3 注 本题考察被积函数为分段函数的二重积分求法 求这类二重积 分时先将积分区域分块 使每真上被积函数有统一表达式 然后再利 用二重积分对区域的可加性求出原二重积分值 类似的题有 例 16例 16 设 10 10 2 yxRyxD 计算 D dxdyxy 12 解 1 0 1 0 12dxdyxyI 12 1 2 1 2 DD xy dxy d 2 11 00 1 2 2 1 2 D xy dxy d 1 0 1 2 1 1 2 1 1 0 12221 x dyxydyxydx ln 122 4 1 例 17例 17 计算二重积分 d1 22 yx D 其中10 xyxD 10 y 解 如图 将D分成 1 D与 2 D两个子区域 22 1d D xy 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 13 12 2222 1d1 d DD xyxy 8 d1dd1 2 1 0 2 0 22 1 rrryx D yyxxyx x D d1dd1 22 1 1 1 0 22 2 2 xxxxy y yx x d1 3 2 3 2 d 3 2 3 22 1 0 1 1 3 2 1 0 2 Ix xxx 3 2 3 1 d1 3 2 d 3 2 2 1 2 1 0 2 1 0 其中 16 3 22 1 4 3 dcosd1 4 2 0 sin 2 3 2 1 0 ttxxI tx 3 1 816 3 3 2 3 1 d1 22 2 yx D 最后得到 22 11 1d 88343 D xy 例 18例 18 设 0 0 2 22 yxyxyxD 1 22 yx 表 示不超过 22 1yx 的最大整数 计算二重积分dxdyyxxy D 1 22 极坐标系 分区域积分 极坐标系 分区域积分 解 1 解 1 D dxdyxxy 1 22 drrrd 1 cossin 4 2 0 23 2 0 8 3 2 2 1 1 cossin 1 0 2 1 33 2 0 23 2 0 44 drrdrrdrrrd 其中 当10 r时 1 1 2 r 当 4 21 r时 2 1 2 r 解 2 解 2 利用可加性 记 0 0 1 22 1 a 解 解 dd a I D 22 4 sin2 0 22 2 0 44 a d a d 令tdtadtacos2 sin2 tatsin2 00 2 1 16 2cos12 2 2 0 2 0 4 adttadI 例 22例 22 计算 1 22 222 yx dxdyyx yx I 解 解 如图 切点 2 2 2 2 A 小圆圆心 4 2 4 2 1 O 22 4 2 4 2 4 1 yxyxf 2121 DDDD dfdfdyxfI 211 2 DDD dyxfdyxf 21 II 1 2 1 D dyxfI 11 22 4 2 4 2 2 2 1 DD dyxd 4 1 22 22 2 8 vu dudvvu 16 2 8 2 1 3 dd sin2a xy x 0 y a 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 16 dyx yx I yx 1 22 2 22 2 dyx yx 1 22 22 2 1 3 dd 例 23例 23 求极限 1 22 0 222 ln lim yx dxdyyx 解 解 用极坐标用极坐标 222 22 0 1 limln xy xydxdy ccz所围成的区域在第一卦限的部分 解 解 积分区域 2 2 0 0 0 y bz cbc x y zxayzzc 0 1 z c D xy dxdydzdzxydxdy zz 22 000 1 bzy cza ccb dzydyxdx z 22 222 00 1 236 b cz c azya bc dzydy cbz 当然 还有其它方法 z D y x z 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 23 xy dxdydz z 2 2 22 36 y xa b xy c c D xya bc dxdydz z 其中 1 22 b y a x yxDxy 例 4 119 例 4 119 设 由 22 2yxz 与 22 yxz 所围 zyxf在 上连续 则下面结论中正确的是 A 222 222 112 11 xxy xxy f x y z dvdxdyf x y z dz B 1 1 21 1 22 22 2 2 yx yx x x dyzyxfdzdxdvzyxf C xx r dzzrrfdrddvzyxf 2 0 1 0 2 2 3sin cos D f x y z dv 22 2 4 000 sincos sinsin cos sin x ddf rrrrdr 解 如图所示 1 1 2 22 22 22 z yx yxz yxz 在xy平面上投影区影区域为1 22 yxDxy 平行于z轴直线族从 22 yxz 穿入 从 22 2yxz 穿出 D x x yx yx dzzyxfdydxdvzyxf 1 1 1 1 2 2 2 22 22 选项 A 正确 选项 B 不对 三次积分的顺序是不能任意调换的 若要换序 则积分 限也要变动 选项 B 是常见的错误 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 24 选项 C 是将 D dvzyxf 在柱坐标系下化为三次积分 积分限是正 确 但被积函数应为rzrrf sin cos 这种错误也是常见的 选项 D 是将 D dvzyxf 化为球坐标系下的三次积分 正确的应该 是 xr drrrrrfdd 2 0 4 0 sin2 0 2 22 sin cos sinsin cossin 因为 曲面 22 2yxz 在球坐标系下方程为 22 sin2cosrr 即 sec sin2 22 rr 例 5 例 5 125 计算 22222 RzyxdvzI Rzzyx2 222 0 R 解 解 在三种坐标系下来计算积分I 方法一方法一 在直解坐标系下 2222 222 2 xyzR xyzRz 222 34 2 xyR zR 若先对z作定积分 会比较繁琐 先对xy作理积分比较合适 易见 21 其中 2 2 222 1 R zRzzyx 2 2222 2 R zRzyx 1 可表为 1 222 2 2 0zRzyx R z 2 可表为 2 2222 2 zRyxRz R 12 22 Iz dvz dv 2222222 22 2 0 2 2 R R R xyRZzxyRz dzz dxdydzz dxdy 22222 2 0 2 2 R R R zRzzdzzRzdz 342242 2 0 2 59 2 480 R R R RzzdzR zzdzR v 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 25 方法二 方法二 在柱坐标系下 将 中位于第一卦限的部分记为 1 由对称性可知 1 2 4dvzI 1 在xy平面上的投影区域为 222 4 3 Ryx 0 0 yx 在柱坐标系下 1 可表为 2 0 2 3 0 R r 2222 rRzrRR 故 22 22 3 2 22 00 4 RRr RRr Idrdrz dz 3 223223 22 00 1 4 3 drRrRRrdr 3 22322223 2 0 2 2 334 3 R rRrRRrRrR dr 0 0 55 22222 3 25 2 3 3 2 2 2219 2 35332 r r rR rR R RrRRrR 5 59 480 R 方法三 方法三 在球坐系下 2222 222 222 34 22 xyzRxyR zRxyzRz 将 分成 21 其中 1 为球面 2222 Rzyx 即Rr 与圆锥面 3 所围部分 2 为球面Rzzyx2 222 即 cos2Rr 与圆锥面 3 所围部分 在球坐标系下 20 1 3 0 Rr 0 20 2 23 cos20Rr 12 22 Iz dvz dv 2 222 3 000 sincos R ddrrdr 22cos 222 2 00 3 sincos R ddrrdr 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 26 65 5225 32 0 3 22 sincossincoscos 55 R Rdd 5 59 480 R 2008 2009 年考题 年考题 例例 1 08 2 6 07 数数 3 4 设函数 xf连续 22 22 dxdy yx yxf vuF uv D 其中区域 uv D为图中阴影部分 则 u F A A 2 uvf B 2 uf u v C uvf D uf u v 解 解 2 0 11 222 vuyxvuDuv用极坐标 22 22 D f uv F u vdudv uv 2 2 011 vuu f r dvrdrvf rdr r 2 uf v u F 例例 2 08 2 18 07 数数 3 17 本题满分11分 求二重积分 max 1 D xydxdy 其中 02 02Dx yxy 解 解 记 2 11 2 2 2 Dx yRxy x 12 02 02 Dx yRxyD DDD xydxdydxdydxdyxy 12 11 max 1x y 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 27 2122 11 DDDD xydxdydxdydxdy 2222 1 21 1 21 4 xx dxdydxx ydy 2ln 4 19 ln 2 1 ln24 2 2 1 2 2 2 1 xxxx 例例 3 08 3 11 D dxdyyx 2 其中D 1 22 yx 解 解 22 DD xy dxdyx dxdy 11 2224 00 111 2 2244 D xydxdyr rdrr 例例 4 07 4 5 xdyxdx y ln 2 1 1 0 解 解 21 10 ln y dxxxdy 2121 1010 ln yy xdxx dydxdx 2 2 2 1 1 1 1 22 x xdxx 例例 5 09 1 2 如图 正方形 1 1 yxyx被其对角线划分为 四个区域 K D KK xdxdyyIkDcos 4 3 2 1 则 k k I 41 max A 1 I B 2 I C 3 I D 4 I 解 本题利用二重积分区域本题利用二重积分区域 的对称性及被积函数的奇偶性 的对称性及被积函数的奇偶性 对称性与轮换对称性 对称性与轮换对称性 42 D D关于x轴对称