高中物质科学物理篇讲义(上)1.pdf

高中物質科學物理篇講義 上 1 前言 第一及第二單元在物理上可歸類於 運動學 同學們在學習運動學時有二個主要 的方向 一是必須了解如何求得各類型運動中任意時刻的位置 速度 加速度以及任意 時間內的位移 速度變化量 如此可確定物體在任何時刻或時間的運動狀態或運動改變 量 則我們說 完全解得 物體的運動 其二是熟練運用數學方法與技巧 以方便求得 上述的種種物理量 並學會能夠以數學式表達物理敘述 反之 也可以解釋數學式裡所 蘊含的物理意義 第一單元 直線運動 概論 在我們的生活的空間中 物體的運動經常都是很複雜的 其中直線運動是較為單純 基本的 科學的探索也幾乎都是從最簡單或是經過簡化的狀況開始著手研究 運動學從 直線運動開始介紹 不僅僅代表著由簡入繁的過程 還有其內含的物理基礎 實際上分析物體的運動 我們可以將實際運動分解成由多個 維度 dimension 的運動所組成 例如飛機在空中飛行 我們會以前進方向 左右側向以及高低方向三個 維度來描述其運動 也就是俗稱的 3 D 到第二單元大家就會學到 物體運動的各個維 度之間 是彼此獨立互不影響的 就是所謂的 運動的獨立性 唯一牽連所有維度的 就是時間 因為竟畢只是 一件事 不管分成幾個方向來研究 每個方向的運動都是 同時 在進行的 然而 分成幾個獨立的維度來研究 事實上可將每個維度都視為 直 線運動 因此 平面運動 就變成了 兩個直線運動 3 D 空間的運動就變成 三 個直線運動 也就是說 研究直線運動是研究真實運動的基礎 另外 到第八單元的轉動 也可視為一個維度的運動 高中物理只簡單介紹 平面 第一單元直線運動2 轉動 是屬於一維運動 實際的轉動更複雜 可視為三維運動 所以屆時一些轉動的 運動公式和在這兒介紹的直線運動公式 型式上都是一樣的 為了方便觀念的建立與技巧的熟練 有些例題可能會讓同學們覺得與現實脫節或過 於簡化 這種情形在往後的學習會一直出現 等到種種的基本概念形成後 才會逐漸將 問題複雜化 更符合實際狀況 這也是科學學習的方法和精神 先將複雜問題抽絲剝繭 成幾個簡化的問題 逐一研究獲得解決後 再合併成原來的複雜問題 也藉此學習如何 解決實際問題 複雜問題 一 運動的描述 1 位置 1 位置向量 起點在參考點 終點在物體位置上的向量 例 平面上例 直線上 2 描述位置的方式 座標 直角座標與極座標 例 颱風的位置 東西經南北緯台灣東南方 1000 公里 3 直線上位置的表示法 以直線 X 軸 座標描述位置 其中參考點為 正負號表示 不可比較大小 4 物體位置隨時間改變的函數關係以 x x t 表示 以 x 為縱軸 t 為橫軸可 高中物質科學物理篇講義 上 3 作 x t 曲線圖 應注意此曲線圖並非物體實際的運動軌跡 2 位移 1 定義 物體位置的變化量 也是向量 r 2 只管起點和終點 不問過程 大小 量值 方向 3 軌跡 or 路徑 與路徑長 S 物體實際運動所經路線圖稱為 該路線總長稱為 不需表示方向 為一 量 4 位移大小與路徑長的關係 位移大小 路徑長 3 速度與速率 1 單位 m s cm s km hr 1 km hr m s 2 平均速度 單位時間內物體的 v 大小 方向 為 x t 圖中的 3 瞬時速度 v 大小 方向 第一單元直線運動4 為 x t 圖中的 4 平均速率 u 為一純量 平均速率與平均速度大小的關係 5 瞬時速率 u 瞬時速率與瞬時速度大小的關係 6 等速度運動與等速率運動 等速度運動 速度的大小及方向保持一定的運動 等速度運動的軌跡為 任意時刻的瞬時速度 平均速度 等速率運動僅速率維持不變 軌跡可為 甲 乙 丙三城在同一東西向公路上 某人開車由甲城出發 沿公路至甲城西方 2 km 的乙城 再折返公路至位於甲城東方 6 km 的丙城 總共經 1 5 小時 1 由 出發至抵達丙城 車的位移為何 2 所經路徑長為何 3 平均速度為何 4 平均 速率為何 範例 1 某運動質點之位置與時間之函數關係為 x 3t2 6t 2 x 米 t 秒 求此質 點 1 3 秒內之位移 2 第 2 秒內之位移 3 3 秒內運動之路徑長 4 3 秒內的 平均速度 5 3 秒內的平均速率 範例 2 高中物質科學物理篇講義 上 5 4 加速度 1 單位 m s2 2 平均加速度 單位時間內物體的 a 加速度的方向與 的方向相同 某人上山之平均速率為 v 下山 循原路 之平均速率為 3v 試求全程之 1 平均速 度 2 平均速率 範例 3 第一單元直線運動6 為 v t 圖中的 3 瞬時加速度 a 為 v t 圖中的 4 加速度與速度 速度變化量的關係 加速度與速度同向時 物體的速率會 加速度與速度反向時 物體的速率會 加速度與速度垂直時 只會改變運動的 不會改變 若a v0 速率 且方向 若a v0 速率 且方向 若a v0 速率 但方向 某物體在直線上運動的速度和時間的關係為 v t t2 求 1 t 1 時之速度 2 第 2 秒內的平均加速度 3 前 2 秒的平均加速度 範例 4 高中物質科學物理篇講義 上 7 運動體沿直線運動 其位置與時間之關係為 x 16t 4t2 x 米 t 秒 試求 1 t 1 時物體之位置 2 何時物體經過原點 3 t 3 之瞬時速度 4 在 0 t 4 間物體的平均速度 5 t 3 之瞬時加速度 6 0 t 3 間物體的平均加速度 範例 5 某物在直線上運動的位置 x 米 與時間 t 秒 之關係為 x 3 6t t2 試求此物在 前 5 秒內的 1 平均速度 2 平均速率 3 平均加速度 範例 6 第一單元直線運動8 5 函數圖形 1 x t 圖 i 割線斜率代表 ii 切線斜率代表 iii 縱軸的截距代表 x t 右圖表某物體在直線上運的之 x t 圖 則 A 前 11 秒內共回原出發點 3次 B 第 7秒內之位移為 4 米 C 第 7 秒末之速度為 4 米 秒 D 前 9 秒內之平均速度為 8 9 米 秒 E 前 9 秒內之平 均速率為 8 3 米 秒 範例 7 高中物質科學物理篇講義 上 9 2 v t 圖 i 割線斜率代表 ii 切線斜率代表 iii 縱軸的截距代表 iv 圖形與 t 軸間所夾的面積代表 右圖表示三質點運動之 x t 圖 A 乙之軌跡為直線 B 甲與丙之軌跡為曲線 C 三者曾在 中途相遇 D 乙作等速度運動 E 甲之速度漸增 F 丙之 速度漸減 G 甲之初速最大 H 甲的加速度與速度同向 範例 8 t x 甲乙 丙 v t 第一單元直線運動10 右圖表某物體在直線上運動之 v t 圖 試求 1 前 7 秒內之平均速度 2 前 7 秒內之平均速率 3 前 7 秒內之平均加速度 4 第 5 秒末之加速度 5 正向最大位移 範例 9 停在十字路口之 B 車 當綠燈亮時 加速前進 同時另一 A 車以一定速度穿過十 字路口 其 v t 圖如右 則 1 B 車最初加速度為若干米 秒 2 何時兩車速率相等 3 兩車速率相等時 兩車相距多遠 4 何時 B 車趕上 A 車 5 B 車趕上 A 車時 離十字路口多遠 範例 10 高中物質科學物理篇講義 上 11 3 a t 圖 i 割線或切線 ii 圖形與 t 軸間的面積 質點作正向直線運動之 a t 圖如右圖所示 若 t 0 位 置 x 0 速度 v0 10 m s 則 0 6 秒間 1 何時正向速度最大 其大小為何 2 t 6 秒時 加速度為何 3 前 6 秒之速度變化為何 4 6 秒末之速度為何 5 前 6 秒之平均加速度為何 範例 11 v t 第一單元直線運動12 單元練習 1 一 單選題 1 一質點作 x t 6 8t 2t2 x 單位 米 t 單位 秒 之線性運動 當通過 x 4 米 時 其速度為何 A 6 B 8 C 4 D 12 E 16m s 2 一物體在直線上運動之速度與時間之關係為 v t2 v 米 秒 t 秒 求 1 第 2 秒末之加速度為 A 2 B 4 C 6 D 8 E 10m s2 2 第 2 秒內之平均加速度為 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5m s2 3 一物體在直線上運動之位置 x 與時間 t 之關係為 x t 32 11 32 tt 則此物體在 t1 秒至 t2秒之時間內 平均加速度之大小為 A t2 t B t2 t1 1 C t2 t1 D t2 t1 1 E t2 t1 4 上山速率為 6 0 哩 時 下速率為 12 0 哩 時 則往返一趟 其 A 平均速度為 9 0哩 時 B 平均速率為 0 C 平均速率為6 0 哩 時 D 平均速率為9 0 哩 時 E 平均速率為 8 0 哩 時 5 圖中所示為沿 x 軸運動質點之速度 v 與時間 t 之關 係 若 t 0 時該質點位於 x 4 米處 則在 t 12 秒時該質點之位置 x 應為 A x 12 米 B x 16 米 C x 18米 D x 22 米 E x 24 米 日大 6 質量 100 克的一物體在直線上運動 其在運動開始後 10 秒鐘內之速度變化如圖所示 則物體在此 10 秒鐘內所 行之距離為 A 30 米 B 40 米 C 50 米 D 60 米 E 70 米 7 在上題中 物體在運動開始後第二秒時之加速度為 A 0 B 2 m s2 C 2 5 m s2 D 3 m s2 E 4 m s2 高中物質科學物理篇講義 上 13 二 多選題 8 右圖為 A B C 三車直線運動之 x t 圖 則下列敘述何者 正確 A 三車均同方向運動 B t0時刻三車相遇 C t0時刻以前 A 車在最後面 D 出發 t0時間內三者平均速度 相等 E 相遇時 A 車速度最大 9 右圖為 A B C 三車同出發點直線運動之 v t 圖 則下何 者正確 A t0時刻三車相遇 B t0時刻 C 車居最前面 C 出發後t0時間內三車平均加速度相等 D 出發後t0時間 內三車平均速度相等 E t0時刻 A車之瞬時加速度最大 10 一直線運動物體自靜止開始運動 其 a t 圖如右 圖 則此質點 A 在 t2時速度最大 B 在 t3時速 度最大 C 在t3後即靜止不動 D 在t3後作等速 度運動 E 在整個運動過程中 運動方向不變 11 某物體由靜止作加速直線運動 其 a t 圖如右圖 A 此 物之速度隨時間減小 B 4 秒末之瞬時加速度為5 m s2 C 4 秒末之瞬時速度為 30 m s D 前 4 秒的平均加速 度為 7 5 m s2 E 後 4 秒之平均加速度為 2 5 m s2 12 某直線運動 v t 圖如右所示 0 t 時間內加速度為 a 則 A 0 2t 時間內位移為 5 2 vt B 0 2t內平均加速 度為 5 4 a C 若全程以加速度 a 持續前 則需 5 t 的時 間才有相同的位移 D 承上 應為 23 t 時間 E 若 要以等加速度 A 前進 而在 2t 秒內有與 A 相同的位 移 則 A 5 4 a 第一單元直線運動14 13 右圖為速度對時間的關係 若運動方向一定 則下列敘 述中正確的是 A OP 為等速運動 B PE 為等加速 運動 加速度為負 C OPE 圖線下面積代表位移大小 D OPE 面積 OE 時間 平均速度 E OP 和 PE 之 加速度大小相等 夜大 14 AB 兩部汽車舉行競賽 其過程如圖所示 下列敘述中 那幾項是對的 A 出發 2 小時以後 B 車的加速度一 直為零 B 出發後 8 小時 B 車趕上 A 車 C 出發 11 小時內 A車的平均速度比 B 車的大 D 出發後 17 小 時 A 車領先 B 車 E 先到 500 公里處的是 A 車 15 下列有關線性運動之敘述 何者正確 A 速率漸增時 加速度必漸增 B 速度 指向正方向時 加速度必亦指向正向 C 有加速度之任一瞬時 速度必不為零 D 位置正在改變之瞬時 速度必不為零 E 速度正在改變之瞬時 加速度必不為零 16 右圖表示一物體在直線上運動之速度時間關係圖 下列那些時間內之加速度與運動同方向 A 0 t1 B t1 t2 C t2 t3 D t3 t4 E t4 t5 三 非選擇題 17 某質點在一平面上運動 自原點繞半圓形跑道移至 4 0 求其運動之路徑長與位移 高中物質科學物理篇講義 上 15 18 列車沿直線自甲站開往乙站 最初 1 9 的行程 係作等加速度行駛 最後的 1 3 則 作等減速行駛 兩者間等速直進 則列車之平均速度為等速行進時速率之若干倍 19 一物體在 t 0 時 速度大小為 10 m s 若其 a t 圖如右所示 則 1 前 40 秒內之速度改變量 v 為何 2 第 40 秒末速度為多少 3 0 40 秒之平均加速度為何 4 0 30 秒之平均加速度為多少 第一單元直線運動16 20 已知甲 乙二車在一直線公路上 同時自同地出發 其 v t 圖如右圖下所示 則二 車相遇在第幾秒 參考解答 1 D2 1 B 2 C3 B4 E5 B6 E7 C8 全9 BCE10 BDE 11 BCDE12 ACE13 BCDE14 ACE15 DE16 BDE17 路徑長 2 m 位移 4m 18 圖略 9 13 倍19 1 800 3 m s 2 830 3 m s 3 20 3 m s 4 10 m s220 第 20 秒末 高中物質科學物理篇講義 上 17 二 等加速度直線運動 1 位移 速度及加速度間的關係 若物體正在作等加速度直線運動 已知加速度 a 計時開始時速度為 v0 則 t 秒後 1 t 秒末速度 2 t 秒內位移 3 不含時間 t 的公式 以上各式中的 d v0 v a 皆為向量 皆需考慮方向 即正負號 其他性質 時間中點的瞬時速度 平均速度 第 n 秒內的位移 A 車以 20 m s 行駛 煞車後 4 秒末停止 B 車以 10 m s 行駛 煞車後 6 秒末停止 若兩車皆為等加速 則煞車期間滑行距離比為何 範例 12 第一單元直線運動18 2 函數圖形的運用 利用 v t 圖 一物由靜止開始作等加速運動 共歷時 t 秒 其第一秒內的位移為最後一秒內位移 的 1 5 則全程歷時多久 範例 13 火車以等加速直線前進 其前端通過車站某一點時 速率為 u 後端通過時速率為 v 試求 1 火車中點通過該點時之速率 2 若列車長 求列車之頭尾經該 點所需時間 範例 14 火車自靜止起等加速度行全程的 2 9 改以等速行全程的 5 9 最後以等減速度停於 另一站 則此火車行駛時的最大速度與平均速度之比為若干 範例 15 高中物質科學物理篇講義 上 19 3 追趕問題 追上 不撞上 三 自由落體運動 物體運動中只受重力作用 地表附近 g m s2 1 由靜止下落 初速 v0 0 加速度 a g 通常定向下為正 1 末速 v 2 已知末速 v 則已落下之高度 H 已知落下高度 H 則末速 v 3 已知下落時間 t 則落下高度 H t 4 第 n 秒內的位移 甲車以 10 m s 乙車以 4 m s 之速率在司一車道中同向前進 若甲車之駕駛員在離 乙之後方距離 d 處發現乙車 立即踩剎車而使其車獲得 2 m s2之定值加速度 為使 兩車不致相撞 則 d 之值至少應大於 A 3 米 B 9 米 C 16 米 D 20 米 E 25 米 範例 16 第一單元直線運動20 2 下拋 通常定向下為正 a g 初速 v0 末速 v 下落距離 d v2 3 上拋 通常定向上為正 a g 初速 v0 1 運動公式 2 上升時間 最大高度 3 上升與下降的對稱性 高度差為 14 7 米之甲球與乙球 同時自由落下 則甲球比乙球遲一秒鐘著地 乙 球原來之高度為何 範例 17 某物在地表附近自由落體運動 觸地前 1 秒內之行程為全程的 9 25 求 1 全程所 歷時間 2 原高度 g 10 m s2 範例 18 高中物質科學物理篇講義 上 21 自地面以 9 8 m s 初速鉛直上拋一球 不計空氣阻力 1 球上升之最大高度為何 2 球的飛行時間多久 3 球落地時速率為何 範例 19 不計阻力 一球自高 5 米處自由落下 落至地面後反彈之最大高度為 3 2 米 重力 加速度為 10 m s2 求 1 球著地時之速度 2 球反彈之初速度 3 若球與地面接觸 時間為 0 01 秒 則球與地面接觸期間之平均加速度為何 範例 20 第一單元直線運動22 在高 h 處自由落下 A 石 同時自地面以 v0初速鉛直向上拋出 B 石 若二石欲在空 中相遇 v0之條件為何 範例 21 以 10 m s 等速上升的熱汽球上 有一小包裹脫落 經 10 秒後著地 則 1 包裹脫落 瞬間 汽球離地高度為何 2 包裹剛著地時 汽球離地多高 設 g 10 m s2 範例 22 自崖頂同時以相同之初速鉛直上 下拋出 A B 兩石 經 t1及 t2時間分別著地 求 1 初速大小 2 崖高 3 著地末速大小 範例 23 高中物質科學物理篇講義 上 23 4 斜面問題 為等加速度運動 a 某物自靜止沿三光滑路徑 A B C 下滑 求 1 加速度之量值比 2 滑至底部時末速度之量值比 3 滑至底部所需時間比 範例 24 A BC 30 60 一物體質量為 m 從一長 24 公尺的光滑斜面頂端由靜止下滑 經 4 秒到達斜面底 部 今將此物體從斜面底部以初速 V0沿斜面上滑 經 6 秒後又滑回底部 則 V0為 公尺 秒 範例 25 第一單元直線運動24 四 相對運動 1 參考座標 1 以觀察者為參考點之座標 2 不同的參考座標對同一運動質點有不同的描述 日常生活中 最常用的二種參考座標 2 相對的運動物理量 1 註記方式 2 不同參考座標間物理量的轉換關係 某人在長 20 m 的船上以對船 2 m s 速度由船尾向船頭急行 同時船以對地 10 m s 前 進 1 經多久人行至船頭 2 人對地的相對速度為何 3 由船尾至船頭期間 人對 地位移為何 範例 26 高中物質科學物理篇講義 上 25 船對水的速率為 20 km hr 而河水之流速為4 km hr 船沿此河往返河岸上相距48 km 的 A B 兩地 則 1 逆流而上 需要多少時間 2 順流而下 需要多少時間 3 往返一趟且中間不 停留 船的平均速率為何 範例 27 將兩質點 A B 同時從塔頂 以相同的初速 v0拋出 A被垂直上拋 B 被垂直下拋 則在 t 時間後 t 小於 B 著地所需時間 A B 兩質點間的距離為何 日大 範例 28 第一單元直線運動26 一升降機正以 3 g 之加速度垂上上升 設重力加速度 g 為常數 其天花板上懸吊一 物 該物離升降機地板之高度為 h 若該物突掉落 則歷時 秒會碰到地板 日大 範例 29 高中物質科學物理篇講義 上 27 單元練習 2 一 單選題 1 做等加速度運的之物體 必定具有下最那一性質 A 速率漸增 B 速率漸減 C 軌跡為直線 D 軌跡為拋物線 E 速度隨時改變 2 一物體作直線運動 先以 4 m s2的等加速度從靜止開始運動 接著以 2 m s2的等 加速度運的直到停止 若動運的總距離為150公尺 則此物體運動所需時間為 A 5 B 10 C 15 D 20 E 25秒 日大 3 自高處自由落下的物體 其前半程與後半程落下所需時間之比值為 A 1 B 2 C 2 1 D 2 1 E 3 日大 4 作等加速度直線運動之質點 在 t 時距內 其速度由v 變為 1 2v 則在此時距內 其平均速度之大小與平均速率之比為 A 1 1 B 1 2 C 1 3 D 2 3 E 3 5 5 自由落體其高度 h 與時間 t 之函數關係以下列各圖中那一圖為最正確 日大 6 聲音在空間之速度為 330 m s 若落井下石 三秒後聽到聲音 則井的深度約為 A 330 B 110 C 80 D 64 E 44公尺 日大 7 初速為零之自由落體 其第 n 秒中落下之距離為第一秒中落下距離之 A 1 2 n 倍 B 2n倍 C 2n 1 倍 D n2倍 E n2 1 倍 夜大 8 高度差為 14 7 米之甲球與乙球 同時自由落下 則甲球比乙球遲一秒鐘著地 甲 球原來之高度為 A 39 2 米 B 34 3米 C 29 4 米 D 24 5 米 E 19 6 米 9 物體以初速 v 被垂上上拋 設重力加速度為 g 則自拋出上升到其最大高度的一半 處 所需時間為 第一單元直線運動28 A v 2g B v2 1 g2 C v3 1 g3 D v3 g3 E v2 g2 日大 10 有一石頭由高 h 公尺處自由落下 同時有一石頭在同一鉛直線上以初速 V 公尺 秒由地面上拋 如要兩石在空中相撞 則 V 需大於多少 A h g B hg 2 C 2h g D 2hg E hg 夜大 11 自一速度為 5 0 m s 等速上升的氣球 在距地面 100 米高處自底部放下一石子 則 一秒後石子與氣球底部之距離為多少米 A 4 9 B 9 8 C 14 8 D 9 9 12 兩個光滑平板 固定於水平桌面上 其截面成一三角形 ABC 如右圖 平板AB AC之邊長各為 1 2 設一質 點受重力自 A 點滑落至 B 點所需之時間為 t1 自 A點受重 力滑落至 C 點所需時間為 t2 則 A 11 22 t t B 12 11 22 t t C 2 11 2 2 2 t t D 32 11 22 t t E 1 2 t t 除了與 1 2 有關外尚與 有關 日大 二 多選題 13 垂直往上拋射之物體 經過 4 秒鐘後掉落至原地 則 A 拋射後第 3 秒時 物體 之高度為最高高度之一半 B 物體初速為 9 8 m s C 物體到達最高高度之一半 時 其動能與位能相等 D 物體到達最高高度為 19 6 米 E 若有空氣阻力 則物 體之初速與末速之大小不相等 日大 14 某人以等速追趕停在前方之汽車 距車 32 米時 車突以 1 m s2之加速度前進 此 以下列那些速度追趕時 可趕上汽車 A 3 B 5 C 7 D 9 E 11 m s 三 非選題 15 二條平直且互相平行的鐵路上 各有一列火車 甲火車長 300 公尺 以等速 40 m s 前進 乙火車長 100 公尺 當甲火車尾端通過乙火車頭時 乙火車由靜止開始起動 且以 2 m s2之加速度增至最大速度 60 m s 後維持等速前進 總共經多少秒後乙火車 高中物質科學物理篇講義 上 29 尾端超過甲火車頭 日大 16 汽車以等加速度直線運動行經相距 180 公尺的兩點 需時 6 秒 若經第二點時的速 率為 45 m s 1 求行經第一點時的速率 2 求加速度 3 汽車靜止位置距第一點 的距離為何 17 在直線上作等加速度運動物體 第一秒末之速度為 6 m s 第二秒末之速度為 10 m s 試求 1 第 3 秒末之速度 2 第 3 秒內之位移 18 一孩童在高 44 1 米之斷崖上使一石自然落下 經一秒後 又鉛直投下一石 結果 兩石同時著地 此孩投下之第二石的初速為多少 日大 19 一棒球發球機以每秒 19 6 公尺的初速把一棒球垂直往上發射 當球達到最高點時 發球機又以同樣的初速往上發射第二個球 重力加速度 g 9 80 m s2 a 第一球 第一單元直線運動30 發射後 最高點離發球機多高 b 到達最高點需多少時間 c 如兩球在空中相 撞 第二球由發射到相撞需多少時間 d 此時兩球離發球機多高 日大 20 船對水之速率為 18 公里 時 而河水之流速為 6 公里 時 則船沿此河往返一趟 其平均速率為 公里 時 日大 參考解答 ECCEAECEBBAECDEDE 65 秒15 m s 5 m s2 22 5 m14 m s 12 m12 25 m s 19 6 m 2 s 1 s 14 7 m16 km hr 高中物質科學物理篇講義 上 31 第二單元 平面運動 向量 向量的運算 1 向量與純量 2 記號 3 基本運算 1 向量的相等 2 向量的加法 平行四邊形法 多邊形法 向量相減 3 向量與純量的乘積 4 單位向量 4 分向量 1 一個向量可分解成數個向量相加 分法有無限多種 每個組成向量皆稱為 原向量之分向量 分向量的大小則稱為分量 第二單元平面運動32 2 若選定座標軸 則向量在座標軸上的分量只有一種 向量在此座標系中的 分向量是唯一的 3 直角座標系中 向量的表示法 將平面向量分解成 x 方向與 y 方向兩個 分量 物理實際上將向量分解的常用方式有兩種 5 向量間的乘法 一 內積 1 相乘後變為純量的乘法 又稱為純量積 2 定義 3 基本性質 交換律 分配律 分量計算 4 幾何應用 投影 高中物質科學物理篇講義 上 33 6 向量間的乘法 二 叉積 1 相乘後仍為向量的乘法 又稱為向量積 2 定義 3 基本性質 不可交換 分配律 分量計算 4 幾何應用 求平行四邊形 或三角形 面積 內外積的綜合應用 triple 第二單元平面運動34 一 平面運動的描述 1 位置與位移 以平面向量表示 1 位置向量 rxiy j 2 位移向量 21 rrrxiy j 2 速度與速率 1 平均速度 avxy rxy vijv iv j ttt 大小 22 xy vvv 方向 y x v tan v 2 瞬時速度 xy tt drrxydxdy vlimlimijijv iv j dttttdtdt 大小 22 xy vvv 方向 y x v tan v 3 平均速率 av v t 路徑長 時間 4 瞬時速率 d v dt 瞬時速度的大小 v 5 速度與速率的關係 i 平均速率平均速度的大小 ii 運動中物體 平均速度可能為零 但平均速率必不為零 3 加速度 1 平均加速度 y x avxy v vv aija ia j ttt 高中物質科學物理篇講義 上 35 2 瞬時加速度 yy xx xy tt vdvvdvdvv alimlimijija ia j dttttdtdt 大小 22 xy aaa 方向 y x a tan a 3 相關常用性質 i 等速度運動必為運動 等加速度運動不一定是直線運動 ii 運動物體具有加速度時 其速率 4 運動的獨立性 平面上的質點運動 可將其分解成兩個垂直方向的獨立直線運 動 二者可各自獨立作變變而不互相干涉 可以先分開單獨處理再合成 此種 特性稱為運動的獨立性 某質點在平面上運動之位置向量為 23 r t 3t4titj r 米 t 秒 求 1 t 3 秒時質點之位置向 瞬時速度 瞬時加速度 2 最初 3 秒內之平均速度與平均加速度 範例 1 第二單元平面運動36 5 切線加速度與法線加速度 1 切線加速度 T a 方向 運動軌跡的切線方向 與 運動方向 同向或反向 作用 可改變物體運動速度大小 不能改變運動方向 2 法線加速度 N a 方向 垂直切線方向 指向軌跡的曲率中心 也稱向心加速度 某物在水平面上以 10 m s之速率向東偏北 37 運動 其加速度為 5 m s2指向東偏 北 53 求物體 1 2 秒末之速度 2 2 秒內的位移 範例 2 某物作等速率圓周運動 其半徑為 R 週期為 T 求 1 瞬時速率 2 轉 1 4 週的 平均速度大小 3 轉 5 4 週的平均速度大小 範例 3 高中物質科學物理篇講義 上 37 作用 可改變物體運動方向 不能改變運動速度大小 3 實際加速度的分解 TN aaa T aacos N aasin 222 TN aaa 4 討論 i aN 0必為直線運動 ii aT 0等速率運動 iii a 和 v 的夾角 90 90 90 v v v 變大 不變 變小 一物體在水平面上運的 某一時刻之速度為 5 m s 東偏北 37 此時加速度為 10 m s2向北 則此時其切線加速度和法線加速度大小為何 範例 4 切線方向 法線方向 a aN aT 第二單元平面運動38 二 拋體運動 1 水平拋射運動 初速 v0 拋出時高度 H 1 水平方向 以 v0作運動 水平位移 2 垂直方向 初速 加速度 垂直速度 垂直位移 即落下距離 3 飛行時間 4 水平射程 5 軌跡方程式 一運動中物體的瞬時加速度為 6 m s2 而此時切線加速度為 3 m s2 則其法線加 速度大小為何 範例 5 v0 高中物質科學物理篇講義 上 39 6 位移方向角 7 速度方向角 練習 把物體以 6 m s 初速水平拋出 落地時的速度為 10 m s 則 1 飛行時間多久 2 拋出時高度為何 3 水平射程為何 答 1 0 8 秒 2 3 2 米 3 4 8米 一物自 h 高的塔頂水平拋射 著地時之瞬時速度和水平面成 45 1 水平初速為 何 2 飛行時間為何 3 其水平位移為何 範例 6 某物以 25 m s 之初速水平拋出 若 g 10 m s2 求 1 當水平位移與鉛直位移量值相等時 已經歷多久時間 2 當水平速度與鉛直速度量值相等時 水平位移與鉛直位移量值之比為何 範例 7 第二單元平面運動40 2 斜向拋射運動 初速 v0 仰角 或俯角 1 水平方向 運動 水平速度 水平位移 如右圖 自 A 點以 v0初速水平拋出一物而落於 B 點 求 1 所經時間 2 在斜面上的射程 3 落於 B 點時 的速率 範例 8 A B v0 有一石階每階高 20 cm 寬 30 cm 自石階頂端將一石以 5 m s 之初速水平拋出 若 g 10 m s2 求此石將落於第幾階 歷時若干秒 範例 9 高中物質科學物理篇講義 上 41 2 垂直方向 垂直初速 垂直速度 垂直位移 3 上升時間 飛行時間 4 最大高度 5 水平射程 6 軌跡方程式 7 相關性質討論 i 初速固定 拋射角互餘時 水平射程相等 ii 初速固定 以何仰角拋射有最大射程 iii 同一高度時 垂直速度大小 速度大小 iv 自地面斜向拋出 不論初速為何 最大高度與水平射程有如下關係 H1 tan R4 第二單元平面運動42 練習 自地面斜向拋出一物體經 6 秒著地 且測得其射程為 240 米 求 1 初速 2 此物能達到之最大高度 g 10 m s2 答 1 50m s 2 45 米 練習 一石子自水平地面沿仰角 53 方向斜向上拋出 歷經 2 4 秒落返水平地面 則 1 其飛行途中之速率極小值為若干 2 拋石速度與水平方向夾角為 45 時 距水 平面高度為何 3 拋石軌跡上有兩點滿足上述之速度方向與水平夾 45 角 該兩 某物以 20 m s 初速 30 仰角由地面斜向拋出 求 1 飛行時間 2 最大高度 3 著地水平射程 4 著地瞬間速度大小 g 10 m s2 範例 10 高中物質科學物理篇講義 上 43 點相距多遠 答 1 9m s 2 3 15 米 3 2 7 米 單元練習 2 1 一 單一選擇題 1 一質點在平面上運動 其位置向量與時間關係為 2 r t 9t i2t j MKS 制 此 某物自地面作斜面拋射 以拋射點為原點之軌跡方程式為 64y 48x 5x2 MKS 制且 g 10 m s2 求 1 拋射仰角 2 初速 3 飛行時間 4 水平射程 5 最大高度 範例 11 一砲在高 65 米之砲臺上向海面射擊 砲彈初速為 20 m s 仰角為 37 恰可擊中 停泊在海面之戰艦 求 1 砲彈在空中飛行的時間 2 艦與砲臺間之水平距離 3 著艦係以 5 m s 的速度 向砲臺前進 則發砲時艦與砲臺間之水平距離應為多遠 範例 12 第二單元平面運動44 質點於 3 秒內之平均速度大小為 A 3 13 B 5 C 9 2 D 12 E 15 m s 2 以初速 v0水平拋射一物經 t 秒後著地 若初速加倍 則經幾秒後著地 A t 2 B t C 2t D 2t E 4t 3 關於拋體運動 下列敘述中 那個是錯的 A 加速度的大小不變 B 加速度的 方向不變 C 所受之合力與軌跡相垂直 D 速度向量沿軌跡之切線方向 夜大 4 一物斜向上拋 水平射程和最大高度相等 設拋射角和地面成 角 則 A tan 4 B tan 2 C sin 4 D cot 4 E cot 2 夜大 5 設 x 軸為水平方向 y 軸為垂直方向 今自 x 0 y 0 處斜拋出一物體 其坐標 x 公尺 y 公尺 之軌跡方程式為 2x2 3x 4y 0 該物體初速度之水平分量及垂 直分量分別為多少 m s 但9 80 3 13 A 3 13 和 2 71 B 4 90 和 1 84 C 3 13 和 2 35 D 12 5和 9 3 6 一物以 30 m s 之初速作水平投射運動 設 g 為 10 m s2 則物體運動 4 秒末的法線 加速度為 A 0 B 2 C 4 D 6 E 8m s2 夜大 7 在距地面高度 h 處有甲 乙兩物體 物體甲以初速 v0水平面射出 物體乙也同時 以初速 v0沿一斜角為 45 之光滑斜面以直線軌跡滑下 如甲 乙兩物體同時到達地 面 則 A 1 0 2 vgh B 1 0 2 vgh C 0 vgh D 0 v2gh E 0 v2 2gh 日大 二 多重選擇題 8 在等速運動的火車中 向後水平拋射一物體 由站在 車外地面上的人看來 其運動軌跡可能成為右圖中那 幾條 日大 9 以相同初速互為餘角的兩次斜拋落回原高度 下物理量何者相同 A 達最高點 高中物質科學物理篇講義 上 45 之時間 B 最大高度 C 水平射程 D 達最高點之速度 E 飛行期間之加速 度 10 某人由地面同時向空中拋出 A B 兩球 A 球之初速為 VA 仰角為 A B 球則為 VB及 B 且 A B 設兩球在同一平面內運動 而且所達到的最大高度也相同 則下列敘述中何者為正確 A VA VB B A球之水平射程較 B 球遠 C 兩球 同時到達最高點 D A 球先著地 E 兩球在空中相撞 11 投擲鉛球的選手滿要在向前跑步的過程中 將鉛球投出 使其射程最遠 忽略空氣 阻力 及人身高的影響 設選手跑步速度為 0 v 投射鉛球相對於選手的速度為 r v 鉛球相對於地面的速度為v 則 A 0r vvv B 222 r00 vvv2v v C 手以 小於 45 之仰角投出 D 手以等於 45 之仰角投出 E 手以大於 45 之仰角投出 日大 12 右圖為 A B C 三小球在 同一鉛直面同時拋射出之 拋物線軌跡 下列何者正 確 A A 球在空中停留 的時間最久 B B C 二球著地之速率以 B 球較大 C A B 二球可能在空中相撞 D 到達最高點的瞬間 三球之法線加速度相同 E 到達最高點時 三球軌跡之曲 率半徑以 C 球最大 三 非選擇題 13 某物在平面上運動之位置及時間關係 23 r t 4t3 it2t j 取 MKS 制 則物體在 t 0 到 t 2 秒時段內之平均加速度大小為多少 北聯 第二單元平面運動46 14 以 v0之初速 水平拋射一物 當前進之水平距離與落下之鉛直距離相等時 其水 平速度之大小與鉛直速度之大小的比值為何 夜大 15 一皮球在斜坡上端以初速 5 m s 水平踢出 坡度為 30 落點仍在斜坡的草地上 問距原處多遠 重力加速度為 10 m s2 16 進行 拋體運動 實驗 其裝置如圖 物體自斜板上 O點沿 AB 方向水平射出 且 斜板上隔線間距相等 若忽略板面與鋼球的摩擦 力 在等距直行紙上得如圖之軌跡 若 AA 0 5 cm 則 BB 長應為多少 高中物質科學物理篇講義 上 47 17 一小石子自靜止由光滑屋頂頂端滑下 屋 頂長 9 8 米 並與水平成 30 角 屋簷離地 9 8 米 如右圖 則小石從離開屋簷至落到 地面需時多久 參考解答 ABCACDAADECEACABEADE 10210 3 米4 5 cm1 第二單元平面運動48 三 週期運動 1 等速率圓周運動 切線加速度 法線加速度為定值 設半徑 r 切線速率 v 1 週期 T 頻率 f 2 角速度 單位時間所轉過的角度 弧度 定義及單位 2 2f tT rad s r p s 與切線速率的關係 與週期的關係 與頻率的關係 3 瞬時加速度 方向 指向 大小 an 4 討論 等速率圓周運動為等運動 變運動 必須有力 若該力消失 則物體沿方向飛出 高中物質科學物理篇講義 上 49 練習 做等速圓周運動之物體 旋轉半徑 5 米 角速度 rad s 求 1 週期 2 瞬時速 度 3 瞬時加速度 4 1 2 秒內的平均速度與平均加速度 答 1 2 秒 2 5 m s 3 5 2m s2 4 102m s 10 22m s2 的物作等速圓周運動 其圓周半徑 2 米 在 10 秒內轉 20 圈 求 1 週期 2 角速 度 3 切線速率 4 向心加速度 範例 13 地球半徑約為 6 106m 求 1 地球自轉之角速度 2 赤道上自轉之切線速率及 向心加速度值 3 緯度 60 處自轉之切線速率及向心加速度值 範例 14 第二單元平面運動50 2 簡諧運動 Simple Harmonic Motion S H M 1 定義 2 標準範例 水平面上 物體連結另一端固定的輕彈簧 作往復運動 平衡點 端點 3 利用參考圓求 x t v t a t 雨滴於角速為每秒 1 3 圈時 能自傘緣濺出 若傘面半徑為 50 cm 離地面高度 1 8 m 則地上水漬構成的圓形的半為何 g 10 m s2 範例 15 高中物質科學物理篇講義 上 51 角頻率與週期 連結彈簧物體運動的週期 4 x v v a x a 的關係式 質量 10 kg 的物體作週期為 秒 振幅 1 m 的 S H M 求 1 最大速度與最加速度 2 向右通過平衡點右方 0 5 m 處時之速度與加速度 3 速度為 1 m s 時之位置 4 向左通過平衡點 再經 6 秒時之位置 速度 加速度 範例 15 第二單元平面運動52 一質點作 S H M 其位置與時間之關係為 63 3 xcost x 米 t 秒 求 t 2 秒時之 1 位置 2 速度 3 加速度 4 週期 範例 16 一質點作 S H M 當距平衡點 4 m 時 其速率為 6 m s 距平衡點 3 m 時其速率為 8 m s 求 1 振幅 2 週期 3 最大加速度值 4 自距平衡點 4 m 至距平衡點 3 m 所歷之最短時間 範例 17 高中物質科學物理篇講義 上 53 單元練習 2 2 一 單選題 1 對等速率圓周運動來說 以下的說法那一個是正確的 A 加速度一定 B 加速 度的大小一定 C 加速度的方向一定 D 加速度為零 夜大 2 下列那一種運動不具有切線加速度 A 簡諧運動 B 鉛直向上拋射 C 斜向 拋射 D 水平拋射 E 等速率圓周運動 夜大 3 週期相同的兩等速率圓周運動 旋轉半徑比為 1 2 則 1 角速度比為 A 1 2 B 2 1 C 1 4 D 4 1 E 1 1 2 速率比為 A 1 2 B 2 1 C 1 4 D 4 1 E 1 1 3 向心加速度比為 A 1 2 B 2 1 C 1 4 D 4 1 E 1 1 4 以 v0之初速 沿仰角 之方向 拋出一球 設球飛行時之重力場強度 g 為定值 則球在路徑最高點處運動情況相當於一圓周運動 而該圓之半徑為 A 2 0 vg B 2 0 v cosg C 2 0 v sing D 2 0 v sin2g 夜大 5 當一物作簡諧運動時 其加速度之絕對值 在每次運動路徑終端處為 A 零 B 一極小值 C 一極大值 D 無窮大 E 極小值與極大值之平均 日大 夜大 6 一物在作簡諧運動 最大速度值 2 m s 最大加速度值 4 m s2 則其週期為若干秒 A 1 B 2 C 4 D E 2 秒 7 一質量為 10 克之物體懸於彈簧下端 不計彈簧質量 將其拉動後 物體在鉛直方向 作簡諧運動 測得頻率為6 0次 秒 振幅為5 0公分 求最大加速度值為多少m s2 A 52 B 41 C 71 D 32 二 多選題 第二單元平面運動54 8 質量 m 之物體在一圓上以等速率運動 則此物體 A 作等速度運動 B 作變速度 運 C 作等加速度運動 D 作變加速度運動 E 因等速 故加速度之量值恆為 零 9 下列有關簡諧運動的敘述何者為正確 A 運動路徑為直線 B 距平衡點的距 離愈大 物體的速率愈小 C 加速度與位置的關係圖線為一正弦曲線 D 物體的 速率愈大時 其加速度的量值愈小 E 加速度的方向恆與物體的運動的方向相反 10 簡諧運動是 A 週期運動 B 等加速度運動 C 變加速度運動 D 等速度運動 E 等速圓周運動的一種特例 11 某物體作簡諧運動 若其位置與心間的關係為 x 8 cos t 5 公分 式中 t 以秒計 5 為角速度值 則 A 振幅為 16 公分 B 週期為 10 秒 C 最大速率為 1 6 cm s D 最大加速度為 0 16 2cm s2 三 非選題 12 某質點在水平面內作半徑 R 之等速率圓周運動 週期為 T 求在經歷 T 6 時間內 此質點之 1 平均速度量值 2 平均加速度量值 13 某質點作 S H M 其振幅為 15 cm 週期為 4 秒 求 1 速度及加速度之最大值 2 質點由平衡位置移至 12 cm 處之最短時間 3 質點離開平衡位置 9 cm 之速度及 加速度值 4 質點由平衡位置歷 1 8 週期之速度值 參考解答 1 B2 E3 EAA4 B5 C6 D7 C8 BD9 CDE10 AC 11 BC12 1 6R T 2 12 R T213 1 7 5 m s 3 75 2m s2 2 4 53 360 3 6 m s 2 25 m s2 4 3 752 m s 高中物質科學物理篇講義 上 55 第三單元 靜力平衡 3 1 力的概念與測量 一 力的概念 1 力的作用 力的效應 1 力可使物體發生 一般藉此作用測量力的大小 2 使物體 狀態發生改變 牛頓藉此作用定義力 2 力的要素 要完全說明一作用力 須表示力的 常以線段長度代表 力的 常以線段一端之箭號代表 及力的 即有箭號 線段的起點 3 基本力 自然界的力可分為 及 1 強作用力及弱作用力屬於短程力 前者為原子核內的作用力 後者與放射性 衰變有關 不在高中物理討論範圍 2 重力與電磁力屬於長程力 一般的接觸力從微觀解釋大多為 力 4 力的種類 1 依力作用時是否接觸來分 力與 力 2 依討論系統內 外之作用力來分 力與 力 3 依是否有施力來源來分 力與 力 5 力的單位 1 重力單位 公斤重 或仟克重 kgw 克重 gw 2 絕對單位 牛頓 N 達因 dyne 56第三單元靜力平衡 6 受力分析 1 依牛頓第三定律 施一作用力時必同時產生反作用力 分析力的作用時應先 指定一物體為分析對象 僅考慮其受力受力 每一受力的反作用力必同時存在 但為施力施力 暫不考慮 2 力學中常見的作用力如下 應注意其發生場合 分析時儘量完整標明各力的 三要素 a 重力 大小為 方向為 作用點為 b 繩張力 大小待定 方向 作用點 c 彈簧力 大小待定或依 定律決定 方向依 決定 作用點 d 正向力 大小待定 方向與接觸面 且指 受力物 作用點 e 摩擦力 大小待定 方向待定但與接觸面 作用點與正向力 相同 f 浮力 大小待定或依 原理決定 方向與重力方向 作用點為物體在液面下之 上述各力相關細節於往後相關單元或問題中討論 靜電力 磁力 or 洛仁茲 力 在高