同济大学的高等数学讲义 (7).pdf

第一单元微分中值定理第一单元微分中值定理 一 本单元的内容要点一 本单元的内容要点 函数的驻点 费马引理 罗尔定理 拉格朗日中值定函数的驻点 费马引理 罗尔定理 拉格朗日中值定 理 柯西中值定理及应用 理 柯西中值定理及应用 二 本单元的教学要求二 本单元的教学要求 1 理解费马引理与罗尔定理 理解费马引理与罗尔定理 2 理解拉格朗日中值定理 理解拉格朗日中值定理 3 了解柯西中值定理 了解柯西中值定理 4 会用中值定理证明简单的不等式与证明方程解的存在会用中值定理证明简单的不等式与证明方程解的存在 性 性 三 本单元教学的重点与难点三 本单元教学的重点与难点 1 重点 注意罗尔 拉格朗日 柯西中值定理的条件与重点 注意罗尔 拉格朗日 柯西中值定理的条件与 结论中的共同点与不同点 并且知道它们之间的关系 结论中的共同点与不同点 并且知道它们之间的关系 罗尔定理是拉格朗日定理的特例 柯西定理是拉格朗日罗尔定理是拉格朗日定理的特例 柯西定理是拉格朗日 定理的推广 定理的推广 2 难点 难点 注意罗尔 拉格朗日 柯西中值定理的中值点 是开 注意罗尔 拉格朗日 柯西中值定理的中值点 是开 区间区间 a b 内的某一点 而非区间内的任意点或指定的内的某一点 而非区间内的任意点或指定的 一点 换言之 这三个中值定理都仅一点 换言之 这三个中值定理都仅 定性定性 地指出了地指出了 中值点中值点 的存在性 而非的存在性 而非 定值定值 地指明地指明 的具体数值 的具体数值 注意罗尔 拉格朗日 柯西中值定理的条件 注意罗尔 拉格朗日 柯西中值定理的条件 函数函数 在在 a b 上连续上连续 在在 a b 内可导内可导 的重要性 两者缺的重要性 两者缺 一不可 一不可 要结合这三个中值定理在本节中的应用以及各节中的 要结合这三个中值定理在本节中的应用以及各节中的 应用 反复体会这些定理在微积分学中的意义与应用 应用 反复体会这些定理在微积分学中的意义与应用 教学时数教学时数2课时 课时 问题的引出问题的引出 首先 让我们来观察这样一个几何事实 如图所示 首先 让我们来观察这样一个几何事实 如图所示 0 f 连续曲线弧连续曲线弧 AB是函数是函数 y f x x a b 的图形 如果的图形 如果 f a f b 我们看到在曲线弧的最高点 我们看到在曲线弧的最高点C或最低点 处 曲线有水平切线 若记 或最低点 处 曲线有水平切线 若记C点的横 坐标为 点的横 坐标为 则有 则有 x y o ab C y f x A B 进一步观察 当进一步观察 当f a f b 时 又看到在曲线弧时 又看到在曲线弧AB上 至少有一点 上 至少有一点C 弧 弧AB在该点处的切线在该点处的切线CT平行与弦平行与弦AB 又切线 又切线CT的斜率是如果仍以的斜率是如果仍以 记记C的横坐 标 则有 的横坐 标 则有 f bf a ba f bf a f ba x y o ab B A y f x C f b f a T 由此启发我们考虑这样一个由此启发我们考虑这样一个 理论上的问题 设理论上的问题 设 f C a b f D a b 是否存在 是否存在 a b 使等式使等式 f bf a f ba 成立 下面我们从理论上对这个问题进行讨论 为讨论成立 下面我们从理论上对这个问题进行讨论 为讨论 方便 先引入费马引理 该引理本身在微分学中也很重方便 先引入费马引理 该引理本身在微分学中也很重 要 要 引理引理 费马引理费马引理 设函数设函数 f x 在点在点x的某领域的某领域U x0 内有内有 定义并在定义并在x0处可导 若对任意的处可导 若对任意的x U x0 有 有 f x0 f x0 或或 f x0 f x0 则 则 0 0 fx 证 不妨设证 不妨设x U x0 时 有时 有 f x0 f x0 故当 故当x0 Dx U x0 有有 x y o 00 0 f xxf x x0 U x0 故当故当Dx 0时 时 00 0 f xxf x x 故当故当Dx 0时 时 00 0 fxxfx x 由函数由函数f x 在点在点x0处的可导性及极限的保号性 得处的可导性及极限的保号性 得 00 00 0 00 00 0 lim0 lim0 x x f xxf x fxfx x f xxf x fxfx x 由此得到 由此得到 0 0fx gg 注通常称导数为零的点为函数的驻点 注通常称导数为零的点为函数的驻点 微分中值定理及应用微分中值定理及应用 1 罗尔定理如果函数罗尔定理如果函数f x 在闭区间在闭区间 a b 上连续 在开 区间 上连续 在开 区间 a b 内可导 并且满足条件内可导 并且满足条件f a f b 那么至少存 在一点 那么至少存 在一点 a b 使得 使得 0f 证因证因 f C a b 故 故f x 必在必在 a b 上取到最大值上取到最大值M与最与最 小值小值m 若 若M m f C a b 有 有 0 f 若若M m 那么 那么M与与m中至少有一个不等于中至少有一个不等于f a 不妨设 不妨设 M f a 因 因 f a f b 故 故M f b 由此存在 由此存在 a b 使得使得f M 因 因f x 在在 可导 由费马引理得可导 由费马引理得 0f gg 注罗尔定理的简单表达式注罗尔定理的简单表达式 0 fC a bD a bf af b a bf 拉格朗日中值定理如果函数拉格朗日中值定理如果函数f x 在闭区间在闭区间 a b 上连续 上连续 在开区间在开区间 a b 内可导 那么至少存在一点内可导 那么至少存在一点 a b 使得 使得 f bf afba 证为引用罗尔定理 构造函数证为引用罗尔定理 构造函数 f bf a xf xxa ba 则 函数则 函数 x 满足罗尔定理的条件 由此存在满足罗尔定理的条件 由此存在 a b 使得使得 0 f bf a f ba 即 即 f bf a f ba 或或 f bf afba gg 注注1 拉格朗日中值定理的几何描述拉格朗日中值定理的几何描述 注注2 当当b a时 上式仍然成立 即时 上式仍然成立 即 f bf afba y x x y o y f x ab 公式 称为微分中值公式 公式 称为微分中值公式 注注3 若若x x Dx为为区间区间 a b 中的任意两个不同点 应用中的任意两个不同点 应用 拉格朗日中值定理 得拉格朗日中值定理 得 01 f xxf xfxxx 注意微分中值定理给出的是注意微分中值定理给出的是 的存在性 而并没有的存在性 而并没有 指出它究竟取哪一个值 对不同的函数 对不同的区指出它究竟取哪一个值 对不同的函数 对不同的区 间 间 的取值可能是完全不同的 这一点 在讨论问的取值可能是完全不同的 这一点 在讨论问 题时特别要注意 题时特别要注意 我们知道 若函数为常数 则其导数为零 作为该定理我们知道 若函数为常数 则其导数为零 作为该定理 的应用 我们导出如下事实 若函数的导数恒为零 则的应用 我们导出如下事实 若函数的导数恒为零 则 该函数必为常数 该函数必为常数 定理如果函数定理如果函数 f x 在区间在区间 I 内的导数恒为零 那么内的导数恒为零 那么 f x 在在 I 内是一个常数 内是一个常数 证在区间证在区间I内任取两点内任取两点x1 x2 不妨设不妨设x1 x2 则由公 式 则由公 式 212112 f xf xfxxxx 0时 有 时 有 ln 1 1 x xx x 证取 则在区间证取 则在区间 0 x 中 中 f x 满足 定理的条件 因而有 满足 定理的条件 因而有 ln 1 f xx 0 f xff xfx 因 因而上式为因 因而上式为 1 1 fx x ln 1 0 1 x xx 因此因此 0 11 xx xx x 即有即有 ln 1 0 1 x xxx x gg 例例2 证明 当证明 当0 x 证因 故在区间证因 故在区间 0 x 0 x gg 例例3 设函数设函数 f x 的导函数的导函数 内恒为常数 则内恒为常数 则 f x 为线性函数 为线性函数 证设在区间证设在区间 内 令内 令F x f x kx 则 则 fxk 0 F xfxkkk 由此得到 由此得到 F x C 令其为 令其为b 即有 即有F x kx b gg 柯西中值定理如果函数柯西中值定理如果函数 f x g x 在闭区间在闭区间 a b 上连 续 在开区间 上连 续 在开区间 a b 内可导 并且在开区间内可导 并且在开区间 a b 内 那么至少存在一点 内 那么至少存在一点 a b 使得 使得 0g x f bf af g bg ag 证由于 证由于 g b g a 0 因而上式 左边的分式有意义 为使用拉格朗日中值定理 构造辅 助函数 因而上式 左边的分式有意义 为使用拉格朗日中值定理 构造辅 助函数 0 g xxa b f bf a xf xg xg a g bg a 则 易证函数则 易证函数 满足罗尔定理的条件 从而至少存在一 点 满足罗尔定理的条件 从而至少存在一 点 a b 使得 即 使得 即 0 0 f bf a fg g bg a 由此得到公式由此得到公式 4 gg 注注1 柯西中值定理可简单地表示为柯西中值定理可简单地表示为 0 f gC a bD a bgx f bf af xa b g bg ag 注注2 容易看出 拉格朗日中值定理是柯西中值定理当容易看出 拉格朗日中值定理是柯西中值定理当 g x x的特殊情况 的特殊情况 课 外 练 习课 外 练 习 1 试证明对函数应用拉格朗日中值 定理时所求得的点总是位于区间的正中间 试证明对函数应用拉格朗日中值 定理时所求得的点总是位于区间的正中间 2 ypxqxr 2 不用求出函数的导数 说明方程有几个实根 并指出它们所在的区 间 不用求出函数的导数 说明方程有几个实根 并指出它们所在的区 间 1 2 3 4 f xxxxx 0fx 3 证明方程只有一个正根 证明方程只有一个正根 5 10 xx 4 若方程有一个正根若方程有一个正根 x0 证明方程 0 证明方程 1 011 0 nn n a xa xax 12 011 1 0 nn n a nxa nxa 必有一个小于必有一个小于x0的正根 0的正根 5 若函数若函数 f x 在在 a b