“画龙点睛”数学专题讲解(五).pdf

第一部分第一部分 曲线积分曲线积分 一 计算曲线质量的积分 对弧长的曲线积分 第一类曲线积分 L dsyxf 的计算方法 方法一 特殊计算法 例题 1 计算 L dsyxyx 934 22 其中1 49 22 yx L 其中长度为a 解答 根据对称性得 LL dsyxdsyxyx 94 934 2222 adsds yx LL 3636 49 36 22 例题 2 计算 dszyx 222 其中 0432 4 222 zyx zyx 解答 162244 222 dsdszyx 方法二 定积分法 情形一 xyL bxa b a dxxxxfdsyxf 1 2 情形二 ty tx L t dtttttfdsyxf L 22 例题 3 计算 L yx dsxe 22 其中L由xy 2 4xy 及x轴围成的曲线段 解答 令 20 0 1 xyL 4 0 sin2 cos2 2 y x L 20 3 xxyL 则 3 22 2 22 1 2222 L yx L yx L yx L yx dsxedsxedsxedsxe 4 3 24 3 4 2 0 24 2 0 2 1 2 edxxedsedxxe x L x 二 就算变力沿有向曲线段做功的曲线积分 对坐标的曲线积分 第二类曲线积分 一 二维空间对坐标的曲线积分 L dyyxQdxyxP 1 二维空间对坐标的曲线积分的产生 设L是有线曲线段 yxQyxPyxF 在力 yxF的作用下 一质点从L的起点沿L到终点 yxF对质点所做的功为 画龙点睛 数学专题讲解 五 曲线积分与曲面积分 此部分内容仅需数一掌握 也是数一内容中的重难点 请留意 L dyyxQdxyxPW 2 二维空间对坐标的曲线积分的计算方法如下 方法一 定积分 情形一 xyL 起点对应的ax 终点对应的bx 则 b aL dxxxxQxxPdyyxQdxyxP 情形二 ty tx L 起点对应的 t 终点对应的 t 则 dttttQtttPdyyxQdxyxP L 例题 1 计算 L dyyxdxxxy 2 22 其中L是 22 yxxy 围成曲线的正向 解答 令 2 1 xyL 起点0 x 终点1 x xyL 2 起点1 x 终点0 x L dyyxdxxxy 2 22 21 2 2 2222 LL dyyxdxxxydyyxdxxxy 1 0 42322 2 2 2 1 xdxxxdxxxdyyxdxxxy L 6 7 22 1 0 523 dxxxx 0 1 222 2 1 2 2 2 dx x xxdxxxxdyyxdxxxy L 15 17 2 1 0 2 dxxxxx 故 30 1 15 17 6 7 2 22 L dyyxdxxxy 方法二 格林公式 定理 设D为平面 单或多 连通区域 yxQyxP在D上具有一阶连续偏导数 其 中L为其正向边界 则有 D L dxdy y P x Q dyyxQdxyxP 例题 1 计算 L xx dyyexyydxe sin5 cos 其中L为曲线 2 2yyx 沿y增加的方 向 解答 yexyyxQyeyxP xx sin5 cos ye y P yey x Q xx sin sin5 令0 0 xL 起点 2 0 终点 0 0 00 sin5 cos sin5 cos L xx LLL xx dyyexyydxedyyexyydxe 由格林公式 D LL xx dxdy y P x Q dyyexyydxe sin5 cos 0 2 5 22 1 4 3 3 40 sin 3 40 sin55 2 0 4 sin2 0 2 2 0 ddrrdydxdy D 2cos1sin sin5 cos 0 2 0 ydydyyexyydxe L xx 所以2cos1 2 5 sin5 cos L xx dyyexyydxe 例题 2 计算 L yx ydxxdy 22 4 其中L是不过原点的简单闭曲线 解答 设L所围成的区域为D 2222 4 4 yx x yxQ yx y yxP 222 22 4 4 yx xy y P x Q 0 0 yx 情形一 DO 0 0 由格林公式得0 4 22 D L dxdy y P x Q yx ydxxdy 情形二 DO 0 0 作 222 0 4 ryxL 0 r 0 L在L内且为逆时针方向 设 0 L 围成的椭圆区域为 1 D 0 L与L围成的区域为 2 D 由格林公式得 0 4 2 0 22 D LL dxdy y P x Q yx ydxxdy 于是有 0 2222 44 LL yx ydxxdy yx ydxxdy 而 11 00 22222 2 11 11 4 DD LL dxdy r dxdy r ydxxdy ryx ydxxdy 例题 3 设 yxQ在xoy平面上具有一阶连续的偏导数 且 L dyyxQxydx 2与路径无 关 且对任意的Rt 有 1 0 0 1 0 0 2 2 tt dyyxQxydxdyyxQxydx 求 yxQ 解答 因为 L dyyxQxydx 2与路径无关 所以x x Q 2 于是 2 yxyxQ 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 0 2dyytdyytdyytQdyyxQxydx t ttt dyytdyydyyxQxydx 00 1 0 0 1 2 因为 1 0 0 1 0 0 2 2 tt dyyxQxydxdyyxQxydx 所以 1 0 2 dyyt t dyyt 0 两边对y求导得12 tt 故12 2 yxyxQ 例题 4 设曲线积分 L dyxydxxy 2 与路径无关 其中 连续可导且0 0 计算 2 1 0 0 2 dyxydxxy 解答 因为 L dyxydxxy 2 与路径无关 所以xyxy2 于是xx2 Cxx 2 因为0 0 所以0 C 于是 2 xx 2 2 1 2 1 0 0 22 2 1 0 0 22 yxydyxdxxy 例题 4 设 0 2 A yx ydxxdy L 其中L是绕过原点的正向闭曲线 x 可导且 1 1 1 求 x 2 求A 解答 1 22 yx x yxQ yx y yxP 22 2 22 2 yx yx y P yx xxyx x Q 任取一条不绕过原点的正向闭曲线L 在L上任取两点BA 将L分成 21 L L 过BA 作 一条曲线 3 L 使 3 L与 21 L L围成绕原点的闭曲线 由格林公式得 A yx ydxxdy LL 31 2 A yx ydxxdy LL 32 2 两式相减得 0 2 L yx ydxxdy 即曲线积分与路径无关 于是 y P x Q 从而有 xxxx 即0 2 x x x 解得 2 Cxx 又因为1 1 所以1 C 于是 2 xx 2 作 222 0 ryxL 其中0 r 0 L在L内 取逆时针方向 设由 0 L围成的区域 为 1 D 由 10 L L围成的区域为 2 D 由格林公式 0 2 0 22 D LL dxdy y P x Q yx ydxxdy 于是 0 2222 LL yx ydxxdy yx ydxxdy 而 2 21 1 00 2222 D LL dxdy r ydxxdy ryx ydxxdy 故 2 A 二 三维空间对坐标的曲线积分 L RdzQdyPdx 1 产生 设L为三维空间的有向曲线段 zyxRzyxQzyxPzyxF 在F的作用下 质点从L的起点沿L至终点 F对质点所做的功为 L RdzQdyPdxw 2 计算方法 方法一 定积分 设 tz ty tx L 起点 t 终点 t 则 L RdzQdyPdx dtttttRttttQttttP 例题 1 计算 L dzxyzdyxzydxyzx 222 其中 tz ty tx Lsin cos 起点0 t 终点 2 t 解答 L dzxyzdyxzydxyzx 222 2 0 222 cossin cos cos sinsin sin cos dtttttttttttt 3 8 2cossin cos 3 2 0 22 dtttttt 方法二 斯托克斯公式 设L为曲面 的边界 L的方向与 的侧按右手准则确定 cos cos cos为曲面 上一点的法向量的方向余弦 则有 ds RQP zyx RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdx L coscoscos 例题 2 计算 L xdzzdyydx 其中L是 2222 Rzyx 与0 zyx的交线 从x 轴的正向看为顺时针方向 解答 设截口圆为 取下侧 且 3 1 coscoscos 由斯托克斯公式 ds xzy zyx xdzzdyydx L 111 3 1 2 333 3 1 Rdsds 三 曲线积分的应用 作功 例题 1 位于 1 0 的质点A对质点M的引力大小为 0 2 k r k 其中r为两质点之间的距 离 质点M沿曲线 2 2xxy 从 0 2 B运动到 0 0 求质点A对质点M所做的功 解答 设质点M的坐标为 yx L dyyxQdxyxPw 其中 QPF 由题意 22 1 yx k F 1 yxMA 1 1 1 22 00 yx yx MAF 于是 1 1 2 3 22 0 yx yx k FFF 则 LL dy yx yk dx yx kx dyyxQdxyxPw 2 3 22 2 3 22 1 1 1 因为 2 5 22 1 1 3 yxykx y P x Q 所以曲线积分与路径无关 故 L dy yx yk dx yx kx w 2 3 22 2 3 22 1 1 1 5 5 1 1 0 2 2 3 2 kdx x kx 例 题 2 在 变 力 xyzxyzF 的 作 用 下 质 点 由 原 点 沿 直 线 运 动 到 椭 球 面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 上第一卦限的点 M 问当 取何值时 力做功最大 求最 大的功 解答 L xydzxzdyyzdxw 其中 tz ty tx L 起点0 t 终点1 t 则 1 0 2 3dttxydzxzdyyzdxw L 令 1 2 2 2 2 2 2 cba F 由 01 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cba c F b F a F 解得 3 3 3 cba 所以 33 max abc w 第二部分第二部分 曲面积分曲面积分 一 计算曲面质量的曲面积分 对面积的曲面积分 dszyxf 1 产生 设 为空间曲面 其面密度为 zyx 则该曲面的质量为 dszyxm 2 计算方法 方法一 特殊计算法 例题 1 计算 dszyx 2 其中 22 4 yxz 解答 根据对称性由 dsyzxzxyzyxdszyx 222 2222 164 222 dsdszyx 方法二 二重积分 第一步 yxz Dyx 也可以向其他两个坐标面投影 第二步 dxy y z x z ds 22 1 第三步 D dxy y z x z yxyxfdszyxf 22 1 例题 2 设P为椭球面1 222 yzzyxS上的动点 若S在点P处的切平面与xoy平 面垂直 求点P的轨迹C 并计算曲线积分dS yzzy zyx I 44 2 3 22 其中 是椭球 面S位于曲线C上方的部分 解答 令P的坐标为 zyx 由01 222 yzzyxS得S在点P处且平面的法向 量为 2 2 2 yzzyxn 因为S在点P处的切平面与xoy平面垂直 所以有zy2 注意到SP 所以P点的轨迹方程为 zy yzzyx C 2 1 222 dS yzzy yzx dS yzzy zyx I 44 2 3 44 2 3 2222 将S向xoy平面投影 则1 3 4 2 2 y xDxy 01 222 yzzyx两边对x求导得022 x z y x z zx 解得 zy x x z 2 2 01 222 yzzyx两边对y求导得02 y z yz y z zyx 解得 zy yz y z 2 2 dxdyyzzyxdxdy y z x z dS8554 1 22222 dxdyyzzy44 22 于是 xy D dxdyxdS yzzy zyx I 3 44 2 3 22 2 3 2 133 xy D dxdy 二 对坐标的曲面积分 第二类曲面积分 RdxdyQdzdxPdydz的计算方法 方法一 二重积分 如对 dxdyzyxR 第一步 yxz xy Dyx 第二步 xy D dxdyyxyxRdxdyzyxR 其中 的侧为上侧时取正号 的 侧为下侧时取负号 注意 第二类曲线与曲面积分的奇偶性与定积分相反 注意 第二类曲线与曲面积分的奇偶性与定积分相反 例题 1 设 0 4 222 zzyx 取外侧 计算 dxdyyzdzdx2 解答 2 0 22 0 22 4sin242drrrddxdzzxzyzdzdx xz D 2 0 2 sin2 2 0 22 cos2cos2sin4444 tdtttdrrr tr 4sin16sin8 2 2sin8 2 0 2 0 2 2 0 2 tdttdtttd 8222 xy D dxdydxdydxdy 则 122 dxdyyzdzdx 方法二 利用两类曲面积分之间的关系计算最坐标的曲面积分 两类曲面积分的关系为 dsRQPRdxdyQdzdxPdydz coscoscos 例题 2 设 zyxf连续 为1 zyx位于第四卦限的上侧 计算 dxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxf 2 解答 曲面的法向量为 1 1 1 n 方向余弦为 3 1 cos 3 1 cos 3 1 cos 于是 dxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxf 2 dszzyxfyzyxfxzyxf 2 3 1 2 1 3 sin22 2 1 3 1 3 1 3 1 dsdszyx 例题 3 计算 zdxdyydzdxxdydz 其中 是 40 22 zyxz的上侧 解答 曲面 的法向量为 1 2 2 yxn 方向余弦为 222222 441 1 cos 441 2 cos 441 2 cos yxyx y yx x 于是 dszyxzdxdyydzdxxdydz coscoscos ds yx yxz 22 22 441 22 因为dxdyyxdxdy y z x z ds 2222 441 1 所以原式 8 2 0 3 2 0 22 drrddxdyyx 方法三 高斯公式 定理 设 为封闭曲面的外侧 其所围成的几何体为 且 zyxRzyxQzyxP 在 上一阶连续可偏导 则有 dv z R y Q x P RdxdyQdzdxPdydz 例题 3 同例题 1 设 0 4 222 zzyx 取外侧 计算 dxdyyzdzdx2 解答 令0 0 z 4 22 yx 取下侧 00 222dxdyyzdzdxdxdyyzdzdxdxdyyzdzdx 由高斯公式 222 0 4 2 0 2 zyx dxdyzdzzdvdxdyyzdzdx 4 4 2 0 2 dzzz 82222 4 22 000 yx dxdydxdydxdydxdyyzdzdx 所以 122 dxdyyzdzdx 空间解析几何复习提纲空间解析几何复习提纲 一 空间曲面一 空间曲面 1 空间曲面的一般形式 0 zyxF 2 空间曲面的退化 平面 1 平面的点法式方程 设 0000 zyxM CBAn 则 0 000 zzCyyBxxA 2 平面方程的截距式 1 c z b y a x 3 平面方程的一般式 0 DCzByAx 3 特殊的空间曲面 设 0 0 z yxf L 则 0 22 zyxf x 0 22 yzxf y 4 空间曲面的切平面与法线 设0 zyxF 其中 0000 zyxM 则曲面 上 0000 zyxM处的法 向量为 0 Mzyx FFFn 切平面与法线略 二 空间曲线二 空间曲线 1 空间曲线的表示形式 1 空间曲线的一般形式 0 0 zyxG zyxF L 2 空间曲线的参数形式 tz ty tx L 2 空间曲线的退化 直线 1 直线方程的一般形式 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA L 2 直线方程的点向式 对称式 设LzyxM 0000 LpnmS 则 p zz n yy m xx L 000 3 直线方程的参数式 ptzz ntyy mtxx L 0 0 0 3 空间直线的切线与法平面 1 设 tz ty tx L 0 tt 对应的点Lttt 000 则切向量为 000 tttT 切线与法平面略 2 设 0 0 zyxG zyxF L 其中LzyxM 000 则切向量为 0 M yx yx xz xz zy zy GG FF GG FF GG FF T 三 距离三 距离 1 两点之间的距离 设 222111 zyxBzyxA 则两点之间的距离为 2 12 2 12 2 12 zzyyxxd 2 点到平面之间的距离 设0 DCzByAx 且 000 zyxM 则点M到平面 的距离为 222 000 CBA DCzByAx d 3 两平行平面之间的距离 设0 11 DCzByAx 0 22 DCzByAx 则两平面的距离为 222 21 CBA DD d 4 点到直线的距离 设 p zz n yy m xx L 000 LzyxM 111 则点M到直线L的距离为 0 s sMM d 其中LzyxM 0000 Lpnms 5 两异面直线之间的距离 设 1 1 1 1 1 1 1 p zz n yy m xx L 2 2 2 2 2 2 2 p zz n yy m xx L 1111111111 LpnmsLzyxM 2222222222 LpnmsLzyxM 则 1 L与