广东省深圳市南山区高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1“x21”是“x1”的（）条件a充分不必要b必要不充分c充要d既不充分也不必要2在abc中，若sin2a+sin2bsin2c，则abc的形状是（）a钝角三角形b直角三角形c锐角三角形d不能确定3下列双曲线中，渐近线方程为y=2x的是（）ax2=1by2=1cx2=1dy2=14已知等比数列an满足，a3a5=4（a41），则a2=（）a2b1cd5若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）abcd6若直线=1（a0，b0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）a2b3c4d57已知命题p：|x1|2，命题q：xz；如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（）ax|x3或x|x1，xzbx|1x3，xzc1，0，1，2，3d0，1，28在abc中，三个内角a，b，c所对的边为a，b，c，若sabc=2，a+b=6， =2cosc，则c=（）a2b4c2d39设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）a3b2c1d010斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于a，b两点，则|ab|=（）a8b6c12d711数列an满足a1=1，且an+1an=n+1（nn+），则数列的前10项和为（）abcd12已知椭圆e： +=1（ab0）的右焦点为f，短轴的一个端点为m，直线l：3x4y=0交椭圆e于a，b两点，若|af|+|bf|=4，点m到直线l的距离不小于，则椭圆e的离心率的取值范围是（）a（0，b（0，c，1）d，1）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知点a（1，2，1），点b与点a关于平面xoy对称，则线段ab的长为14若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是15已知，数列an满足a1=f（1），且an+1=f（an）（nn+），则a2015=16设椭圆的两个焦点分别为f1，f2，过f2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为p，若f1pf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是三、解答题（本题共6小题，共70分）17设p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足|x3|1（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围18abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，acosc+ccosa=2bcosa（1）求a；（2）若a=，b=2，求abc的面积19如图为一简单组合体，其底面abcd为边长2正方形，pd平面abcd，ecpd，且 （1）若n为线段pb的中点，求证：en平面pdb（2）求平面pbe与平面abcd所成的二面角的大小20在平面直角坐标系xoy中，设点f（1，0），直线l：x=1，点p在直线l上移动，r是线段pf与y轴的交点，rqfp，pql（1）求动点q的轨迹的方程（2）记q的轨迹的方程为e，曲线e与直线y=kx2相交于不同的两点a，b，且弦ab中点的纵坐标为2，求k的值21已知数列an的前n项和sn=，nn*（）求数列an的通项公式；（）设bn=+（1）nan，求数列bn的前2n项和22已知椭圆c： +y2=1（a1）的上顶点为a，右焦点为f，直线af与圆m：（x3）2+（y1）2=3相切（）求椭圆c的方程；（）若不过a的动直线l与椭圆c交于p，q两点，且=0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标2015-2016学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1“x21”是“x1”的（）条件a充分不必要b必要不充分c充要d既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】由x21，解得：x1或x1进而判断出结论【解答】解：由x21，解得：x1或x1“x21”是“x1”的必要不充分条件故选：b【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2在abc中，若sin2a+sin2bsin2c，则abc的形状是（）a钝角三角形b直角三角形c锐角三角形d不能确定【考点】三角形的形状判断【专题】三角函数的图像与性质【分析】利用正弦定理将sin2a+sin2bsin2c，转化为a2+b2c2，再结合余弦定理作出判断即可【解答】解：在abc中，sin2a+sin2bsin2c，由正弦定理=2r得，a2+b2c2，又由余弦定理得：cosc=0，0c，c故abc为钝角三角形故选a【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题3下列双曲线中，渐近线方程为y=2x的是（）ax2=1by2=1cx2=1dy2=1【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线方程=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，对选项一一判断即可得到答案【解答】解：由双曲线方程=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，由a可得渐近线方程为y=2x，由b可得渐近线方程为y=x，由c可得渐近线方程为y=x，由d可得渐近线方程为y=x故选：a【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题4已知等比数列an满足，a3a5=4（a41），则a2=（）a2b1cd【考点】等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q，a3a5=4（a41），=4，化为q3=8，解得q=2则a2=故选：c【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题5若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）abcd【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选a【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论6若直线=1（a0，b0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）a2b3c4d5【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】不等式【分析】将（1，1）代入直线得： +=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可【解答】解：直线=1（a0，b0）过点（1，1），+=1（a0，b0），所以a+b=（+）（a+b）=2+2+2=4，当且仅当=即a=b=2时取等号，a+b最小值是4，故选：c【点评】本题考察了基本不等式的性质，求出+=1，得到a+b=（+）（a+b）是解题的关键7已知命题p：|x1|2，命题q：xz；如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（）ax|x3或x|x1，xzbx|1x3，xzc1，0，1，2，3d0，1，2【考点】复合命题的真假【专题】计算题【分析】由题设条件先求出命题p：x4或x0由“p且q”与“q”同时为假命题知0x4，xz由此能得到满足条件的x的集合【解答】解：由命题p：|x1|2，得到命题p：x12或x12，即命题p：x3或x1；q为假命题，命题q：xz为真翕题再由“p且q”为假命题，知命题p：x4或x0是假命题故1x3，xz满足条件的x的值为：0，1，2故选d【点评】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用8在abc中，三个内角a，b，c所对的边为a，b，c，若sabc=2，a+b=6， =2cosc，则c=（）a2b4c2d3【考点】正弦定理；余弦定理【专题】三角函数的求值；解三角形【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角c，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值【解答】解： =1，即有2cosc=1，可得c=60，若sabc=2，则absinc=2，即为ab=8，又a+b=6，由c2=a2+b22abcosc=（a+b）22abab=（a+b）23ab=6238=12，解得c=2故选c【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题9设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）a3b2c1d0【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出k的值，通过平移即可求z的最小值为【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+y，得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点a时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大为6即x+y=6经过点b时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小由得，即a（3，3），直线y=k过a，k=3由，解得，即b（6，3）此时z的最小值为z=6+3=3，故选：a【点评】本题主要考查线性规划的应用以，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法10斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于a，b两点，则|ab|=（）a8b6c12d7【考点】直线与抛物线的位置关系【专题】规律型；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2=的值，进而根据抛物线的定义可知|ab|=x1+x2+，求得答案【解答】解：抛物线焦点为（1，0），且斜率为1，则直线方程为y=x1，代入抛物线方程y2=4x得x26x+1=0，设a（x1，y1），b（x2，y2）x1+x2=6根据抛物线的定义可知|ab|=x1+x2+=x1+x2+p=6+2=8，故选：a【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质对学生基础知识的综合考查关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|ab|值，从而解决问题11数列an满足a1=1，且an+1an=n+1（nn+），则数列的前10项和为（）abcd【考点】数列递推式；数列的求和【专题】转化思想；等差数列与等比数列【分析】利用“累加求和”可得an，再利用“裂项求和”即可得出【解答】解：a1=1，且an+1an=n+1（nn+），an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=n+（n1）+2+1=，=2数列的前10项和=+=2=故选：b【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12已知椭圆e： +=1（ab0）的右焦点为f，短轴的一个端点为m，直线l：3x4y=0交椭圆e于a，b两点，若|af|+|bf|=4，点m到直线l的距离不小于，则椭圆e的离心率的取值范围是（）a（0，b（0，c，1）d，1）【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】如图所示，设f为椭圆的左焦点，连接af，bf，则四边形afbf是平行四边形，可得4=|af|+|bf|=|af|+|bf|=2a取m（0，b），由点m到直线l的距离不小于，可得，解得b1再利用离心率计算公式e=即可得出【解答】解：如图所示，设f为椭圆的左焦点，连接af，bf，则四边形afbf是平行四边形，4=|af|+|bf|=|af|+|af|=2a，a=2取m（0，b），点m到直线l的距离不小于， ，解得b1e=椭圆e的离心率的取值范围是故选：a【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知点a（1，2，1），点b与点a关于平面xoy对称，则线段ab的长为2【考点】空间中的点的坐标；点、线、面间的距离计算【专题】计算题；方程思想；空间位置关系与距离【分析】求出对称点的坐标，然后求解距离【解答】解：点a（1，2，1），点b与点a关于平面xoy对称，可得b（1，2，1）|ab|=2故答案为：2【点评】本题考查空间点的坐标的对称问题，距离公式的应用，考查计算能力14若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是a【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】不等式的解法及应用【分析】根据x+2代入中求得的最大值为进而a的范围可得【解答】解：x0，x+2（当且仅当x=1时取等号），=，即的最大值为，故答案为：a【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用属基础题15已知，数列an满足a1=f（1），且an+1=f（an）（nn+），则a2015=【考点】数列与函数的综合【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列【分析】求得a1，再取倒数，可得=+1，结合等差数列的定义和通项公式，计算即可得到所求值【解答】解：由，可得a1=f（1）=，由an+1=f（an），可得an+1=，取倒数，可得=+1，即有为首项为2，公差为1的等差数列，即有=2+20151=2016，可得a2015=故答案为：【点评】本题考查数列的通项的求法，注意运用取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，考查运算能力，属于中档题16设椭圆的两个焦点分别为f1，f2，过f2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为p，若f1pf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设椭圆的方程和点p的坐标，把点p的坐标代入椭圆的方程，求出点p的纵坐标的绝对值，rtpf1f2 中，利用边角关系，建立a、c 之间的关系，从而求出椭圆的离心率【解答】解：设椭圆的方程为（ab0），设点p（c，h），则=1，h2=b2=，|h|=，由题意得f1pf2=90，pf1f2=45，rtpf1f2 中，tan45=1=，a2c2=2ac， =1故答案为：【点评】本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系的应用考查计算能力属于中档题目三、解答题（本题共6小题，共70分）17设p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足|x3|1（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；综合法；简易逻辑【分析】（1）分别求出p，q为真时的x的范围，去交集即可；（2）根据q是p的充分不必要条件结合集合的包含关系，求出a的范围即可【解答】解：（1）由x24ax+3a20，得（x3a）（xa）0，又a0，所以ax3a当a=1时，1x3，又|x3|1得2x4由pq为真x满足即2x3则实数x的取值范围是2x3（2）q是p的充分不必要条件，记a=x|ax3a，a0，b=x|2x4，则b是a的真子集，a2且43a则实数a的取值范围是【点评】本题考察了复合命题的判断，考察充分必要条件以及集合的包含关系，是一道基础题18abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，acosc+ccosa=2bcosa（1）求a；（2）若a=，b=2，求abc的面积【考点】余弦定理；正弦定理【专题】转化思想；解三角形【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出；（2）利用余弦定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（1）acosc+ccosa=2bcosa，由正弦定理可得：sinacosc+sinccosa=2sinbcosa，化为：sin（a+c）=sinb=2sinbcosa，sinb0，可得cosa=，a（0，），a=（2）由余弦定理，得a2=b2+c22bccosa，7=22+c24ccos，化为c22c3=0，解得c=3故abc的面积为bcsina=3=【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19如图为一简单组合体，其底面abcd为边长2正方形，pd平面abcd，ecpd，且 （1）若n为线段pb的中点，求证：en平面pdb（2）求平面pbe与平面abcd所成的二面角的大小【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【专题】计算题；规律型；数形结合；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）证法1：连结ac与bd交于点f，连结nf，证明dbac，acpd，推出ac面pbd，然后证明ne面pdb证法2：如图以点d为坐标原点，以ad所在的直线为x轴建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，推出enpb，endb，然后证明ne面pdb（2）连结dn，证明dnpb，求出平面pbe的法向量，求出平面abcd的法向量，设平面pbe与平面abcd所成的二面角为，利用数量积求解平面pbe与平面abcd所成的二面角【解答】（本题12分）解：（1）证法1：连结ac与bd交于点f，连结nf，f为bd的中点，nfpd且又ecpd且，则nfec且nf=ec四边形nfce为平行四边形nefcdbac，pd平面abcd，ac平面abcdacpd，又pdbd=d，ac面pbdne面pdb证法2：如图以点d为坐标原点，以ad所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：则则，enpb，endbpb，db面pdb，且pbdb=bne面pdb（2）连结dn，由（1）知ne面pdbdnne，dnpb为平面pbe的法向量，且为平面abcd的法向量，设平面pbe与平面abcd所成的二面角为，则=45，即平面pbe与平面abcd所成的二面角为45【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力20在平面直角坐标系xoy中，设点f（1，0），直线l：x=1，点p在直线l上移动，r是线段pf与y轴的交点，rqfp，pql（1）求动点q的轨迹的方程（2）记q的轨迹的方程为e，曲线e与直线y=kx2相交于不同的两点a，b，且弦ab中点的纵坐标为2，求k的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）求出直线l的方程利用点r是线段fp的中点，且rqfp，|pq|是点q到直线l的距离然后求出动点q的轨迹方程（2）（法一）设a（x1，y1），b（x2，y2），联立消去x，利用韦达定理以及中点坐标个数，求出k即可（法二）设a（x1，y1），b（x2，y2），利用平方差法求解即可【解答】解：（1）依题意知，直线l的方程为：x=1点r是线段fp的中点，且rqfp，rq是线段fp的垂直平分线|pq|是点q到直线l的距离点q在线段fp的垂直平分线，|pq|=|qf|故动点q的轨迹e是以f为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：y2=4x（x0）（2）（法一）设a（x1，y1），b（x2，y2），依题意知，k0，由有，即ky24y8=0，又，k=1又当k=1时，=16+32k0，所以k=1满足题意，k的值是1（法二）设a（x1，y1），b（x2，y2），则，两式相减有，又，则k=1【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力21已知数列an的前n项和sn=，nn*（）求数列an的通项公式；（）设bn=+（1）nan，求数列bn的前2n项和【考点】数列的求和；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】（）利用公式法即可求得；（）利用数列分组求和即可得出结论【解答】解：（）当n=1时，a1=s1=1，当n2时，an=snsn1=n，数列an的通项公式是an=n（）由（）知，bn=2n+（1）nn，记数列bn的前2n项