高中数学竞赛讲义(6)三角函数.doc

1 高中数学竞赛讲义 六 三角函数 一 基础知识一 基础知识 定义 1 角 一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角 若旋转方向为逆时针方向 则角为正角 若旋转方向为顺时针方向 则角为负角 若不旋转则为零角 角的大小是任 意的 定义 2 角度制 把一周角 360 等分 每一等价为一度 弧度制 把等于半径长的圆弧 所对的圆心角叫做一弧度 360 度 2 弧度 若圆心角的弧长为 L 则其弧度数的绝对值 其中 r 是圆的半径 定义 3 三角函数 在直角坐标平面内 把角 的顶点放在原点 始边与 x 轴的正半 轴重合 在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P 设它的坐标为 x y 到原点的距 离为 r 则正弦函数 sin 余弦函数 cos 正切函数 tan 余切函数 cot 正割函数 sec 余割函数 csc 定理 1 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tan sin cos 商数关系 tan 乘积关系 tan cos sin cot sin cos 平方关系 sin2 cos2 1 tan2 1 sec2 cot2 1 csc2 定理 2 诱导公式 sin sin cos cos tan tan cot cot sin sin cos cos tan tan cot cot sin sin cos cos tan tan cot cot sin cos cos sin tan cot 奇变偶不变 符号看象限 2 定理 3 正弦函数的性质 根据图象可得 y sinx x R 的性质如下 单调区间 在区 间上为增函数 在区间上为减函数 最小正 周期为 2 奇偶数 有界性 当且仅当 x 2kx 时 y 取最大值 1 当且仅当 x 3k 时 y 取最小值 1 对称性 直线 x k 均为其对称轴 点 k 0 均为其对称中心 值域为 1 1 这里 k Z 定理 4 余弦函数的性质 根据图象可得 y cosx x R 的性质 单调区间 在区间 2k 2k 上单调递减 在区间 2k 2k 上单调递增 最小正周期为 2 奇偶性 偶函数 对称性 直线 x k 均为其对称轴 点均为其对称中心 有界性 当且仅当 x 2k 时 y 取最大值 1 当且仅当 x 2k 时 y 取最小值 1 值域为 1 1 这里 k Z 定理 5 正切函数的性质 由图象知奇函数 y tanx xk 在开区间 k k 上 为增函数 最小正周期为 值域为 点 k 0 k 0 均为其对 称中心 定理 6 两角和与差的基本关系式 cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan 定理 7 和差化积与积化和差公式 sin sin 2sincos sin sin 2sincos cos cos 2coscos cos cos 2sinsin sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos cos 3 定理 8 倍角公式 sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 tan2 定理 9 半角公式 sin cos tan 定理 10 万能公式 定理 11 辅助角公式 如果 a b 是实数且 a2 b20 则取始边在 x 轴正半轴 终边经 过点 a b 的一个角为 则 sin cos 对任意的角 asin bcos sin 定理 12 正弦定理 在任意 ABC 中有 其中 a b c 分 别是角 A B C 的对边 R 为 ABC 外接圆半径 定理 13 余弦定理 在任意 ABC 中有 a2 b2 c2 2bcosA 其中 a b c 分别是角 A B C 的对边 定理 14 图象之间的关系 y sinx 的图象经上下平移得 y sinx k 的图象 经左右平移 得 y sin x 的图象 相位变换 纵坐标不变 横坐标变为原来的 得到 y sin 的图象 周期变换 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象 振幅变换 y Asin x 0 的图象 周期变换 横坐标不变 纵坐标变为原来 4 的 A 倍 得到 y Asinx 的图象 振幅变换 y Asin x 0 A 叫作振幅 的图 象向右平移个单位得到 y Asinx 的图象 定义 4 函数 y sinx的反函数叫反正弦函数 记作 y arcsinx x 1 1 函数 y cosx x 0 的反函数叫反余弦函数 记作 y arccosx x 1 1 函数 y tanx 的反函数叫反正切函数 记作 y arctanx x y cosx x 0 的 反函数称为反余切函数 记作 y arccotx x 定理 15 三角方程的解集 如果 a 1 1 方程 sinx a 的解集是 x x n 1 narcsina n Z 方程 cosx a 的解集是 x x 2kxarccosa k Z 如果 a R 方程 tanx a 的解集是 x x k arctana k Z 恒等式 arcsina arccosa arctana arccota 定理 16 若 则 sinx x 1 所以 cos 所以 sin cosx 0 又 00 所以 cos sinx sin cosx 5 若 则因为 sinx cosx sinxcos sincosx sin x 所以 0 sinx cosxcos cosx sin cosx 综上 当 x 0 时 总有 cos sinx 0 求证 证明 若 则 x 0 由 0 得 cos cos sin 所以 0 sin cos 所以 0 1 所以 若 则 x 0 由 0 cos sin 0 所以 1 又 0 sin 1 所以 得证 注 以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式 值得注意的是角的讨 论 3 最小正周期的确定 6 例 4 求函数 y sin 2cos x 的最小正周期 解 首先 T 2 是函数的周期 事实上 因为 cos x cosx 所以 co x cosx 其次 当且仅当 x k 时 y 0 因为 2cosx 2 所以若最小正周期为 T0 则 T0 m m N 又 sin 2cos0 sin2sin 2cos 所以 T0 2 4 三角最值问题 例 5 已知函数 y sinx 求函数的最大值与最小值 解法一 令 sinx 则有 y 因为 所以 所以 1 所以当 即 x 2k k Z 时 ymin 0 当 即 x 2k k Z 时 ymax 2 解法二 因为 y sinx 2 因为 a b 2 2 a2 b2 且 sinx 1 所以 0 sinx 2 所以当 sinx 即 x 2k k Z 时 ymax 2 当 sinx 即 x 2k k Z 时 ymin 0 7 例 6 设 0 求 sin的最大值 解 因为 0 0 cos 0 所以 sin 1 cos 2sin cos2 当且仅当 2sin2 cos2 即 tan 2arctan时 sin 1 cos 取得最大 值 例 7 若 A B C 为 ABC 三个内角 试求 sinA sinB sinC 的最大值 解 因为 sinA sinB 2sincos sinC sin 又因为 由 得 sinA sinB sinC sin 4sin 所以 sinA sinB sinC 3sin 当 A B C 时 sinA sinB sinC max 8 注 三角函数的有界性 sinx 1 cosx 1 和差化积与积化和差公式 均值不等式 柯西不等式 函数的单调性等是解三角最值的常用手段 5 换元法的使用 例 8 求的值域 解 设 t sinx cosx 因为 所以 又因为 t2 1 2sinxcosx 所以 sinxcosx 所以 所以 因为 t 1 所以 所以 y 1 所以函数值域为 例 9 已知 a0 1 an n N 求证 an 证明 由题设 an 0 令 an tanan an 则 an 因为 an 所以 an 所以 an 9 又因为 a0 tana1 1 所以 a0 所以 又因为当 0 xx 所以 注 换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性 另外当 x 时 有 tanx x sinx 这是个熟知的结论 暂时不证明 学完导数后 证明是很容易的 6 图象变换 y sinx x R 与 y Asin x A 0 由 y sinx 的图象向左平移个单位 然后保持横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 然后再保持纵坐标不变 横坐标变为原来的 得到 y Asin x 的图象 也可以由 y sinx 的图象先保持横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 再保持纵坐标不变 横坐标变 为原来的 最后向左平移个单位 得到 y Asin x 的图象 例 10 例 10 已知 f x sin x 0 0 是 R 上的偶函数 其图象关于点 对称 且在区间上是单调函数 求和的值 解 由 f x 是偶函数 所以 f x f x 所以 sin sin x 所以 cossinx 0 对任意 x R 成立 又 0 解得 因为 f x 图象关于对称 所以 0 取 x 0 得 0 所以 sin 所以 k Z 即 2k 1 k Z 又 0 取 k 0 时 此时 f x sin 2x 在 0 上是减函数 10 取 k 1 时 2 此时 f x sin 2x 在 0 上是减函数 取 k 2 时 此时 f x sin x 在 0 上不是单调函数 综上 或 2 7 三角公式的应用 例 11 已知 sin sin 且 求 sin2 cos2 的值 解 因为 所以 cos 又因为 所以 cos 所以 sin2 sin sin cos cos sin cos2 cos cos cos sin sin 1 例 12 已知 ABC 的三个内角 A B C 成等差数列 且 试求的值 解 因为 A 1200 C 所以 cos cos 600 C 又由于 所以 0 11 解得或 又 0 所以 例 13 求证 tan20 4cos70 解 tan20 4cos70 4sin20 三 基础训练题三 基础训练题 1 已知锐角 x 的终边上一点 A 的坐标为 2sin3 2cos3 则 x 的弧度数为 2 适合 2cscx 的角的集合为 3 给出下列命题 1 若 则 sin sin 2 若 sin sin 则 3 若 sin 0 则 为第一或第二象限角 4 若 为第一或第二象限角 则 sin 0 上述四 个命题中 正确的命题有 个 4 已知 sinx cosx x 0 则 cotx 5 简谐振动 x1 Asin和 x2 Bsin叠加后得到的合振动是 x 12 6 已知 3sinx 4cosx 5sin x 1 5sin x 2 5cos x 3 5cos x 4 则 1 2 3 4分别是第 象限角 7 满足 sin sinx x cos cosx x 的锐角 x 共有 个 8 已知 则 9 10 cot15 cos25 cot35 cot85 11 已知 0 tan sin 求 cos 的值 12 已知函数 f x 在区间上单调递减 试求实数 m 的取值范围 四 高考水平训练题四 高考水平训练题 1 已知一扇形中心角是 a 所在圆半径为 R 若其周长为定值 c c 0 当扇形面积最大 时 a 2 函数 f x 2sinx sinx cosx 的单调递减区间是 3 函数的值域为 4 方程 0 的实根个数为 5 若 sina cosa tana a 则 a 填大小关系 6 1 tan1 1 tan2 1 tan44 1 tan45 7 若 0 y x0 k 1 求 f x 的单调区间 3 试求最小正整数 k 使得当 x 在任意两个整数 包括整数本身 间变化时 函数 f x 至少取得一次最大值和一次最小值 五 联赛一试水平训练题 一 五 联赛一试水平训练题 一 1 若 x y R 则 z cosx2 cosy2 cosxy 的取值范围是 2 已知圆 x2 y2 k2至少盖住函数 f x 的一个最大值点与一个最小值点 则 实数 k 的取值范围是 3 f 5 8cos 4cos2 cos3的最小值为 4 方程 sinx cosx a 0 在 0 2 内有相异两实根 则 5 函数 f x tanx cotx 的单调递增区间是 6 设 sina 0 cosa 且 sin cos 则的取值范围是 7 方程 tan5x tan3x 0 在 0 中有 个解 8 若 x y R 则 M cosx cosy 2cos x y 的最小值为 9 若 0 0 在一个最小正周期长的区间上的 图象与函数 g x 的图象所围成的封闭图形的面积是 2 若 则 y tan tan cos的最大值是 3 在 ABC 中 记 BC a CA b AB c 若 9a2 9b2 19c2 0 则 4 设 f x x2 x arcsin arctan arccos arccot 将 f f f f 从小到大排列为 5 logsin1cos1 a logsin1tan1 b logcos1sin1 c logcos1tan1 d 将 a b c d 从小到大排列为 6 在锐角 ABC 中 cosA cos sin cosB cos sin cosC cos sin 则 tan tan tan 7 已知矩形的两边长分别为 tan和 1 cos 0 0 恒成立 则的