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讲 讲 义 义 雷敏生 编 2003 年 12 月 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 I 目 录 第一部分 量子物理初步 1 第一章 绪 言 1 1 1 1 经典物理学的困难 2 1 1 2 光的波粒二象性与微观粒子的波粒二象性 5 1 1 3 波函数及其统计意义 8 第二章 薛定谔方程及其简单应用 11 1 2 1 薛定谔方程及其定态形式 11 1 2 2 一维无限深势阱中的粒子 17 1 2 3 一维线性谐振子 21 1 2 4 隧道效应 25 1 2 5 不确定关系 34 第三章 力学量的算符 36 1 3 1 力学量的算符 36 1 3 2 算符的本征值与本征函数 38 1 3 3 算符运算规则 40 1 3 4 力学量平均值的计算 45 第四章 原子系统 50 1 4 1 氢原子 50 1 4 2 电子自旋 59 1 4 3 全同粒子与泡利原理 61 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 II 第二部分 热力学与统计物理基本概念 64 第一章 热力学定律与热力学函数 64 2 1 1 热力学第一定律 64 2 1 2 热力学第二定律与熵增加原理 68 2 1 3 热力学函数 71 2 1 4 麦克斯韦关系 74 第二章 热力学应用 78 2 2 1 气体的节流过程与绝热膨胀过程 78 2 2 2 热动平衡判据 81 2 2 3 单元系的相变 86 第三章 统计物理基本原理 92 2 3 1 粒子微观运动状态的描述 相空间 92 2 3 2 系统运动状态的描述 98 2 3 3 等概率原理 102 2 3 4 最概然分布 105 第四章 三种统计法的简单应用 110 2 4 1 麦克斯韦分子速度分布律 110 2 4 2 能量均分定理 114 2 4 3 金属中的自由电子 116 2 4 4 光子气体 119 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 1 第一部分 量子物理初步 第一章 绪 言 量子物理 或者称为量子力学 是研究微观粒子运动规律的理论 诞生于 20 世纪 20 年代 是 20 世纪最重要的基础理论之一 它几乎 涉及到自然科学以及新技术的大部分领域 它的创立与发展极大地加 速了人类 20 世纪的文明进程 1900 年 德国物理学家普朗克首先提出了量子概念 1905 年 爱因斯坦用量子概念解释了光电效应 1913 年 玻尔用量子论成功地 解释原子的光谱线 在这些成果的基础上 通过一批物理学家 其中 许多是年轻人 的共同努力 建立起了量子力学 如下所列的科学家 就是他们之中的杰出代表 普朗克 德国 获 1918 年 Nobel 物理学奖 60 岁 爱因斯坦 德国 获 1921 年 Nobel 物理学奖 42 岁 玻尔 丹麦 获 1922 年 Nobel 物理学奖 37 岁 德布罗意 法国 获 1929 年 Nobel 物理学奖 37 岁 海森伯 德国 获 1932 年 Nobel 物理学奖 31 岁 薛定谔 奥地利 获 1933 年 Nobel 物理学奖 46 岁 狄拉克 英国 获 1933 年 Nobel 物理学奖 31 岁 泡利 奥地利 获 1945 年 Nobel 物理学奖 45 岁 玻恩 德国 获 1954 年 Nobel 物理学奖 72 岁 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 2 1 1 1 经典物理学的困难 物理学发展到19世纪末20世纪初的时候已经取得了很辉煌的成 就 有的物理学家甚至认为物理学已经发展到了接近顶峰 但是 物 理学也面临着一些的无法解决的困难 最具有代表性的是 1 黑体辐射黑体辐射 黑体 绝对黑体的简称 能够完全吸收一切电磁辐射 的物体称为黑体 困难 辐射场能量按波长 或频率 的分布是 19 世纪 物理学家无法用当时的理论 给予解释的难题 从经典物理出发 曾经提出过两个著名的经典公式 维恩公式 1896 年提出 T c T c u e 5 2 1 1 式中 u 是单位体积辐射场的能量 T 是辐射场温度 c 是光速 是电磁辐射的波长 和 是常数 该公式在短波部分与实验吻合 但在长波段与实验结果偏离 见上图 Wien 德国物理学家 获 1911 年 Nobel 物理学奖 瑞利 金斯公式 1900 年提出 Tku BT 4 8 1 2 式中 kB 1 38 10 23 J K 是玻耳兹曼常数 该公式在长波部分与 实验吻合 但在短波段与实验结果偏差很大 Rayleigh 英国物理学家 获 1904 年 Nobel 物理学奖 能 量 密 度 波长 Wien 线 Planck 线 Rayleigh Jeans 线 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 3 2 光电效应光电效应 实验证明 只有当照射光的频率大于一定值 时 金属中才有光电子逸出 右图 如果光的 频率低于该值 则不论光的强度多大 照射时间 多长 都没有光电子产生 该实验事实用经典物理学理论也无法解释 因为按经典电磁场理 论 光波的能量正比于光强 与频率无关 3 康普顿效应康普顿效应 康普顿 A H Compton 美国物理学家 获 1927 年 Nobel 物理 学奖 1923 年 康普顿用 X 射线照射轻元素发现 X 射线被电子散 射后 散射 X 射线的波长随散射角的增大而增大 康普顿效应 经典电磁场理论对此也无法解释 因为按经典理论 电磁波被粒 子散射后 其波长 频率 不会改变 4 原子结构与原子谱线原子结构与原子谱线 原子的核式结构已经为 粒子散射实验所证实 而且原子的光谱 线是一些分立的线系 例如 氢原子的光谱 巴尔末公式 22 H 1 1 R nn C n n n 1 2 3 n 2 3 4 1 3 上式中 C 是光速 RH是里德堡常数 按经典理论 电子绕原子核作圆周运动是不可能稳定的 因为电 子具有向心加速度 而电荷作加速运动时 就会辐射电磁波 这样 电子的能量将连续不断减少 其运动半径也将逐渐变小 最后电子将 落到原子核上 即原子将坍塌 而且 电子的能量是连续减少的 因此 原子的光谱应该是连续的 因此 对于原子的分立光谱线经典 理论也无法解释 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 4 5 固体比热固体比热 实验表明 固 晶 体的比热随其温度趋于零而趋于零 即 0lim 0 V T C 1 4 此现象也无法用经典理论解释 因为按经典理论的杜隆 珀替定 律 固体比热与温度无关 是一个常数 它约为 24 J mol K PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 5 1 1 2 光的波粒二象性与微观粒子的波粒二象性 一 普朗克的假设 量子概念的诞生 一 普朗克的假设 量子概念的诞生 在黑体辐射的研究中 普朗克于 1900 年假设 黑体发射和吸收 电磁辐射的能量是不连续变化的 其变化的最小单位是 h 并称为 能量子 简称为量子 是电磁辐射频率 h 6 62559 10 34 J S 称为普朗克常数 在这一假设下 普朗克得到了与实验吻合得很好的理论结果 d e c h d Tk h B 1 18 3 3 1 5 这标志着量子概念从此诞生了 二 光的波粒二象性二 光的波粒二象性 1 光的波动性光的波动性 光波动性的特征 光的干涉和衍射现象 2 光的粒子性光的粒子性 1905 年爱因斯坦 A Einstein 发展了普朗克的假设 提出了光量 子的假设 认为光是由光子组成的 其能量是 h h 1 6 并提出了如下的方程 0 2 2 1 Whvm 1 7 式中 是电子的质量 vm是电子脱出金属表面后的速度 是照射光 的频率 W0是电子脱出金属表面所需要作的功 称为脱出功 用该 方程成功地解释了光电效应 光子不但具有确定的能量 而且也有动量 由相对论的知识可知 以速度 v 运动的粒子的能量是 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 6 2 2 2 0 1 c c v E 1 8 式中 0是粒子的静止质量 c 是光速 对于光子 v c 因此 由上 式必有 0 0 即 光子的静止质量为零光子的静止质量为零 再由相对论的能量 E 和 动量 p 之间的关系式 2242 0 2 pccE 得到 E cp 因此 光子 的动量是 n h n c h n c E p rrrr 1 9 式中n r 是光传播方向的单位矢量 3 光的波粒二象性光的波粒二象性 从上面的讨论可见 光具有二重性 它在有些场合表现为波 在 另一些场合表现为粒子 也就是说 光既是波又是粒子 它具有波和 粒子的二重性质 称为波粒二象性 三 微观粒子的波粒二象性三 微观粒子的波粒二象性 1 德布罗意的假设德布罗意的假设 在光的波粒二象性的启示下 1923 年 法国物理学家 de Broglie 提出了一个大胆的假设 一切微观粒子都具有波粒二象性一切微观粒子都具有波粒二象性 即 微观 粒子既是粒子又是波 叫做德布罗意波 或曰物质波 并给出了著 名的 de Broglie 关系 即粒子能量 E 和动量 p 与波的频率 和波长 之间的关系 h hE 1 10 kn h p r h rr 1 11 这里 是圆频率 2 2 h h nk r r 2 称为波矢 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 7 2 粒子波动性的实验验证粒子波动性的实验验证 首先 估算一下自由粒子的德布罗意波长 由德布罗意关系 有 E h v h p h 2 这里是 粒子质量 1 12 以自由电子为例 设电子受到 V 伏特电压加速 其能量为 E eV 这里 e 1 602 10 19库仑 电子的质量为 9 109 10 31千克 这样 V V h 1931 34 106 1101 92 10626 6 e2 2 10 15000 V nm 如果 V 150 伏特 则 0 1nm 由此可见 电子的德布罗意波 长很短 因此 若要以干涉 衍射来验证电子的波动性 其衍射光栅 的光栅常数必须很小 1927 年 C J Davisson 和 L H Germer 利用晶 体对电子进行衍射实验 因为晶体中原子间的距离可以与德布罗意波 长比拟 得到了类似于 X 射线衍射同样的图形 从而第一次证明了 电子具有波动性 Davisson 也因此获得 1937 年 Nobel 物理学奖 此外 原子 分子 中子等微观粒子的衍射现象都相继得到实验 证实 从而完全证明了 de Broglie 关于微观粒子也具有波粒二象性的 假设 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 8 1 1 3 波函数及其统计意义 一 波的数学描述 一 波的数学描述 频率为 波长为 的平面机械波 在某介质中沿 x 方向传播 人们通常用介质 x 处的质点偏离平衡位置的位移 y 随时间 t 的变化关 系 函数 来描述它 即 t x Ay 2cos 1 13 式中 A 是 x 点处质点的振幅 对于三维情况 平面波可写成 t nr A rr 2cos 1 14 这里n r 表示波传播方向单位矢量 r r 是位置矢量 如果用波矢nk r r 2 表示 并注意圆频率 2 则 1 14 式可写成 trkA r r cos 1 15 然而 更普遍的波的数学描述形式是将它写成复指数形式 trki Ae r r 1 16 上式的 实际上是位置和时间的函数 tr r 称为波函数 二 自由粒子的波函数二 自由粒子的波函数 因为自由粒子的能量和动量都是常数 所以由德布罗意关系可 知 与自由粒子联系的波 其频率和波矢 或波长 都不变 即它是 一个平面波 以 表示 t nr i A rr 2 e 1 17 或者 用德布罗意关系代入 则可得 Etpr i Ae rr h 1 18 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 9 这就是自由粒子的波函数 在量子力学中 描述粒子的波函数通常用复数形式 三 波函数的物理意义 三 波函数的物理意义 为人们所普遍接受的对于波函数的解释是由波恩 M Born 首 先提出来的 Born 也因此而获 1954 年 Nobel 物理学奖 Born 给了波函数一个统计解释 他认为 粒子的波函数在空间某 一点的强度 振幅绝对值的平方 和在该点找到粒子的概率 几率 成比例 所以 描述微观粒子的波函数是一种几率波 从电子的衍射图形可以看到 在衍射极大的地方 就是波函数的 2 取极大值的地方 实际上每个电子究竟投射到什么地方 是不确 定的 随机的 衍射极大处就表示电子投射到这里的几率极大 所以 落到这里的电子就很多 反之亦然 对于经典粒子 我们用粒子的坐标和动量来描述粒子的运动状 态 在量子力学中 由于微观粒子具有波粒二象性 所以它的运动状 态 量子状态 简称为状态或态 是用波函数来描述的 四 波函数的归一化条件四 波函数的归一化条件 既然波函数是描述粒子在空间某点出现的概率 那么 任何一个 粒子必定会出现在空间中的某一点 因此 粒子在各处出现的几率的 总和应等于 1 设波函数 tzyx 或 tr r 描写粒子的量子状态 波的强度是 2 以 dP r r t 表示在时刻 t 坐标r r 到r r dr r 范围内找到粒子 的几率 按波函数的统计解释 有 d d 2 2 AtrP r 1 19 这里zyxrddddd r 是体积元 A2为比例常数 因此 几率密度为 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 10 2 2 d d trA trP trp r r r 1 20 由于在整个空间总能找到粒子 所以应有 1d 2 2 trA r 1 21 于是 d 1 2 A 1 22 若令 tr r A tr r 1 23 则有 1dd 2 Atr r 1 24 因此 1 23 式所表示的波函数称为归一化波函数 1 24 称为归 一化条件 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 11 第二章 薛定谔方程及其简单应用 本章介绍微观粒子所遵循的运动方程 薛定谔方程 其作用和 地位就象经典物理中牛顿运动方程那样 并且介绍它的几个简单应用 实例 1 2 1 薛定谔方程及其定态形式 一 薛定谔方程的建立 一 薛定谔方程的建立 1 自由粒子的方程自由粒子的方程 自由粒子的波函数是已知的 见 1 18 式 e Etrp i Atr rr h r 2 1 对上式求时间 t 的偏导数 t e tErp i A r r h tErp i t rr h e tErp i A r r h E i h E i h 即 E t i h 2 2 再对 2 1 式求坐标的二次偏导数 注意 对坐标求偏导数应该 分解成三个坐标分量进行 xx x 2 2 而 xx e tErp i A r r h 因为 rp rr kzj yi xkpjpip zyx rrrrrr zpypxp zyx PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 12 所以 e tEzpypxp i zyx A xx h e tErp i A r r h x tEzpypxp i zyx h x p i h 所以 xx x 2 2 x p i x h x p i h x p i h 2 2 1 x p h 同理 2 2 y 2 2 1 y p h 2 2 z 2 2 1 z p h 2 2 2 2 2 2 xxx 222 2 1 zyx ppp h 2 2 h p 2 3 令 2 2 2 2 2 2 2 zyx 2 4 称为拉普拉斯算符 则 2 3 式可改写为 2 2 2 h p 2 5 我们知道 自由粒子的能量为 2 2 p E 2 6 其中 为自由粒子的质量 因此有 2 2 2 h E PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 13 或者 2 2 h 2 E 2 7 由 2 2 和 2 7 式得到 t ih 2 2 h 2 2 8 这就是自由粒子的运动方程 即波函数所满足的 微分 方程 2 算符的引入算符的引入 下面我们将 2 2 2 5 式变形 为此 先引入一个算符 z k y j x i rrr 2 9 这样 2 2 2 2 2 2 2 zyx 这正是 2 4 式 由于动量 p r 实际上是个矢量 ppp rr 2 因此 2 5 式可写成 2 p pp rr 22 h hhii 2 10 而 2 2 式为 t iE h 2 11 如果 E t i h 2 12 p r h i 2 12 它们分别称为能量算符与动量算符 这样 自由粒子方程可以通 过如下方法 将物理量转换为算符 并作用在波函数上 即 2 2 2 1 2 1 hhi t i pE PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 14 作用于粒子波函数得 t i h 2 2 h 2 这正是 2 8 式 3 外力场中的粒子方程外力场中的粒子方程 在外力场中 粒子的能量为 E 2 2 p U r r 2 13 其中 U r r 是粒子的势能 也按 2 12 式的做法 将 E 和 2 2 p 转 变成算符 同时将 U r r 也看成算符 然后 将这些算符作用波函数 上 则可得到 t i h 2 2 h 2 U r r 2 14 该方程就是处于势场 U r r 中的粒子所满足的运动方程 薛定 谔方程 显然 描述粒子运动状态的波函数 tr r 的具体形式与 U r r 的 具体形式有关 需要说明的是 上面只是建立了薛定谔方程 并不是推导 也不 是证明 薛定谔方程的正确性只能由该方程的解是否与实验事实一致 来检验 4 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 当 U r r 中不显含 t 即与时间无关 时 方程 2 14 可用分离 变量法简化 设 tr r r r f t 2 15 这里 r r 只是位置r r 的函数 f t 只是时间 t 的函数 然后将上式代 入 2 14 式就可得 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 15 左边 t i h r r f t r r t tf i h 右边 2 2 h 2 r r f t U r r r r f t 2 2 2 rrUr rrrh f t r r t tf i h 2 2 2 rrUr rrrh f t 分离变量可得 t tf tf i 1 h 1 r r 2 2 2 rrUr rrrh 上式左边只是 t 的函数 上式右边只是r r 的函数 而且 t 和r r 是 相互独立的变量 因此 只有当两边都等于同一个常量时 上等式才 能保证始终成立 现在 用 E 表示该常量 则有 t tf tf i 1 h E 1 r r 2 2 2 rrUr rrrh E 或者 t tf i d d h E f t 2 16 2 2 2 rrUr rrrh E r r 2 17 方程 2 17 称为定态薛定谔方程 常量 E 就是粒子的能量 方程 2 16 可以直接解出 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 16 d tf tf h i E d t 积分上式得 lntf h i E t c 即 f t C tE i h e 2 18 式中 C 为积分常数 以后由归一化条件确定 粒子的波函数为 tr r r r tE i h e 2 19 归一化常数 C 包含在 r r 之中 二 波函数的标准条件二 波函数的标准条件 描述粒子运动状态的波函数 tr r 要满足一定的条件 波函 数的标准条件 在r r 的变化范围内 它必须满足 有限 单值 连续 波函数的有限性和单值性是很明显的 因为 2 有明确的物理意 义 所以它必须有限 而且单值 否则 波函数的统计意义就说不通 了 另外 由于薛定谔方程中有 tr r 对r r 的二阶偏导数 所以 tr r 和它的一阶偏导数都必须处处连续 因为不连续的函数是不存在偏 导数的 三 态叠加原理三 态叠加原理 态叠加原理是量子力学中的一个重要原理 其内容如下 如果 1 2 n 是薛定谔方程的特解 则它们的线性组 合 c1 1 c2 2 cn n n nn c 2 20 也必定是方程的解 其中 c1 c2 cn为叠加系数 且均为复数 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 17 1 2 2 一维无限深势阱中的粒子 一 粒子的方程及其解 一 粒子的方程及其解 1 势场势场 0 0 0 axx ax xU 2 21 显然 它代表了一维无限深势阱 2 运动方程运动方程 因为阱外的势场为无限大 而且粒子的能量不可能为无限大 所 以粒子不可能运动到阱外 只能在势阱中运动 即 0 x a 势能函数 U x 中不含 t 属定态问题 所以 势阱中粒子的运动 方程为 2 22 d d 2 x h E 2 22 令 2 k 2 2 h E 2 23 则运动方程可化成 0 d d 2 2 2 k x 2 24 2 方程的解方程的解 方程 2 24 是一个二阶常微分方程 它的一般 通 解为 x A sin kx B cos kx 0 x 且 a 也很大 宏观粒子本身的线 度就很大 所以 根本观察不到盒中粒子能量的不连续性质 三 波函数与粒子的几率分布 三 波函数与粒子的几率分布 由 2 29 式可知粒子的波函数为 x n x a n a sin 2 n 1 2 3 粒子出现的几率为 P 2 x n x a n a 2 sin 2 波函数及粒子出现的几率如下图所示 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 21 1 2 3 一维线性谐振子 这是一个非常有用的模型 因为许多实际应用问题往往都可以用 线性谐振子来模拟 例如 晶体中原子的振动等 一 粒子的运动方程 一 粒子的运动方程 1 势场势场 U x 2 1 k x2 2 31 因为势场中不显含 t 所以该问题属于定态问题 2 运动方程运动方程 2 2 h 2 2 d d x 2 1 k x2 E 2 32 这就是一维 量子 线性谐振子所遵从的定态薛定谔方程 二 方程的解二 方程的解 1 变量代换变量代换 令 k 2 2 33 则 3 32 式可变为 2 2 h 2 2 d d x 2 2 2 xE 0 2 34 引入无量纲变量 即 h x x h 2 35 xd d d d xd d d d 2 2 d d x xd d xd d xd d d d d d d d xd d 2 2 2 d d PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 22 这样 2 34 式可化为 2 2 h 2 2 2 d d 2 22 2 E 0 经简化 可得 2 2 d d 2 2 h E 0 若令 h E2 2 36 则上方程可最终化为 2 2 d d 2 0 2 37 2 方程的解方程的解 上式是一个变系数二阶常微分方程 其解可以假设为 C 2 2 e H 2 38 其中 C 为常数 H为待求函数 把上解代入 2 37 式就可得到 H 所满足的方程 d d C d d ee 22 22 H H C d dH H 2 2 e 2 2 d d C d d d dH H 2 2 e C d d d dH H 2 2 e d dH H d d 2 2 e C 2 2 2 2 2 e d d d d 2 H H H H 将上式代入 2 37 式 则可得到 2 2 d d H d d 2 H 1 H 0 2 39 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 23 该方程的解具有幂级数的形式 而且 该幂级数只含有有限项 其条件是 为奇数 2n 1 n 0 1 2 2 40 H 的具体表达式为 n H n 1 2 e n n d d 2 e 2 41 它称为厄密 Hermitian 多项式 其最高次幂是 n 最后 我们得到 方程 2 37 的解为 Cn 2 2 e n H 2 42 常数由归一化条件确定为 Cn 2 n n n 0 1 2 2 43 下面 我们给出前几个厄密多项式 它们分别为 0 H 1 1 H 2 2 H 24 2 3 H 128 3 4 H 124816 24 5 H 12016032 35 最后 我们可以得到谐振子的波函数为 0 x 22 2 1 e x 1 x 2 x 22 2 1 e x 2 44 2 x 2 12 22 x 22 2 1 e x PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 24 三 谐振子的能量 三 谐振子的能量 由 2 352 式以及 2 39 式 可以得到 E h 2 1 12 2 1 n h 即 En 2 1 n h n 0 1 2 2 45 其中 E0 h 2 1 2 46 称为零点能 或基态能 此式说明 即使温度 0K 时 微观粒子也 不会停止振动 也具有一定的能量 这是宏观振子所没有的现象 而且 2 0 x 0 这也说明 即使温度 0K 时 微观粒子也 不会静止在某一点不动 四 谐振子的概率分布四 谐振子的概率分布 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 25 1 2 4 隧道效应 一 预备知识 一 预备知识 1 几率流密度几率流密度 在时刻 t 空间r r 处的单位体积内 微观粒子出现的几率称为几几 率密度率密度 按波函数的统计意义可知 见 1 20 1 23 式 它应为 trP r tr r tr r 它对时间的变化率为 t P t t 2 47 波函数 tr r 应满足薛定谔方程 见 2 14 式 t 2 2 h i 1 rU i r h 取其共轭形式 可得 t 2 2 h i 1 rU i r h 将上面两式代入 2 47 得到 t P 1 2 2 rU i ir h h 2 1 2 rU i ir h h 2 h i 2 2 2 h i 2 2 2 h i t P 2 h i PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 26 令 J r 2 h i 2 481 最后得 t P J r 0 2 482 这里的J r 就称为几率流密度 附注附注 流体力学中的连续性方程为 t v r 0 2 49 式中 为流体的质量密度 v r 是流速 因而v r 称为质量流密度 它实际上是单位时间内 流过垂直流速方向上单位面积的流体质量 对照 2 482 和 2 49 两式 J r 称为几率流密度是合理的 其 意义是 单位时间内流过垂直于几率流动方向上单位面积的几率 如何理解 几率的流动 呢 因为波函数绝对值的平方表示粒子 在位置r r 处 t 时刻出现的几率 而且 随着时间的变化 该处的几 率是会变化的 假如该处的几率随时间增加 则可以理解为 别的地 方的几率流到这一点来了 反之亦然 2 粒子流密度粒子流密度 若入射的总粒子数为 N 则在位置r r 处 单位体积内的粒子数应 该为 PN N P 因此 单位时间内流过垂直于粒子运动方向上单位面 积的粒子数 即粒子流密度 应为J r N N J r 用 N 乘 2 482 式就可得到粒子流密度满足的方程 t PN N J r 0 2 50 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 27 二 一维形方势垒 二 一维形方势垒 一维方形势垒如右图所示 U0 粒子将顺利越过势垒 没有反射 若 E U0 粒子也可能在 x 0 界面处 被部分地反射 若 E U0的情况的情况 1 运动方程及解运动方程及解 粒子在三个区域的运动方程分别如下 I 区 2 2 h 2 1 2 d d x E 1 x 0 2 521 II 区 2 2 h 2 2 2 d d x U0 2 E 2 0 x a 2 522 III 区 2 2 h 2 3 2 d d x E 3 x a 2 523 为书写简便 令 2 1 k 2 2 h E 2 2 k 2 0 2 h UE 2 53 于是 运动方程 2 52 式可化成如下简洁的形式 2 31 2 d d x 31 2 1 k 0 x 0 x a 2 541 2 2 2 d d x 2 2 2 k 0 0 x a 2 542 0 a x U0 E U0 U x E U0 但是在势垒边界 x 0 处 还是有 一部分粒子流被势垒反射了 这显然是经典理论所无法理解的 四 四 E U0的情况的情况 运动方程仍为 2 52 的三式 但是 此时的 k2将成为虚数 因 为由 2 53 的第二式可得 2 k 2 0 2 h UE h 2 0 EU i i 3 k 这里 3 k h 2 0 EU 2 63 运动方程的解的形式仍为 2 55 的三式 但是 须将 2 552 式中的 2 k i 3 k 即 1 x xkixki AA 11 e e x 0 2 641 2 x xkxk BB 33 e e 0 x a 2 642 3 x xki C 1 e x a 2 643 请注意 这里的常数 A A B B C 与前面的情况不同 不 过仍然可以用与前面类似的方法定出 D 和 R 下面介绍 D 的简单求法 将 2 58 式中的 2 k i 3 k 就可得到 E U0时的 C 即 C akak aki ikkikk kik 33 1 e e e4 2 31 2 31 31 A akak aki kikkkkikkk kik 33 1 e 2 e 2 e4 31 2 3 2 131 2 3 2 1 31 A PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 32 ee 2 ee e4 3333 1 31 2 3 2 1 31 akakakak aki kikkk kik A akkikakkk kik aki 3313 2 3 2 1 31 ch4sh 2 e4 1 A 上式中 sh 和 ch 是双曲函数 它们的定义式为 sh x ee 2 1 xx ch x ee 2 1 xx C akkikakkk kik aki 3313 2 3 2 1 31 ch2sh e2 1 A C C akkikakkk kik aki 3313 2 3 2 1 31 ch2sh e2 1 A akkikakkk kik aki 3313 2 3 2 1 31 ch2sh e2 1 A 考虑到双曲函数的性质 ch 2 x sh 2 x 1 将上式的分母简化后可 得 当 E U0时的透射系数 D D 2 2 A C 2 3 2 13 222 3 2 1 2 3 2 1 4sh 4 kkakkk kk 2 65 倘若 E 1 则有 aki 3 e aki 3 e sh k3a ee 2 1 3 3 ak ak ak3 e 2 1 这样 透射系数可近似为 D ak kk kk 3 2 22 3 2 1 2 3 2 1 e 16 将 k1 k3 见 2 53 式 代入上式 得到 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 33 D aEU U EUE 2 2 2 0 0 0 e 16 h D0 aEU 2 2 0 e h 2 66 由此可见 粒子透射系数随势垒宽度 a 的加宽 而迅速 指数 地下降 以电子透射为例 给出一些数量上的概念 设势垒高度 U0 1 10eV 电子能量 E 0 10eV 则 a nm 0 10 0 20 0 50 1 00 5 00 D 0 77 0 14 0 007 4 5 5 10 2 22 10 显然 当势垒宽度为 5nm 时 电子的透射几率几乎为零 微观粒子的隧道效应已经得到了实际应用 例如 隧道二极管 金属 半导体接触 扫描隧道显微镜等等 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 34 1 2 5 不确定关系 不确定关系又称为测不准关系 是量子物理中的基本原理之一 来源于微观粒子的波粒二象性 它是海森伯 W Heisenberg 于 1927 年提出来的 某一时刻微观粒子位置的不确定程度 x 与同一时刻粒子动量的 不确定程度 px的乘积必大于等于 2 h 即 x px 2 h 2 67 电子束的衍射实验表明了上述结论的正 确性 如右图所示 屏上的孔径愈小 则电 子的位置不确定程度 x 愈小 电子通过屏 孔后的偏离中心的可能性愈大 也就是说 电子的 px也愈大 反之亦然 实际上 描述微观粒子的德布罗意波是一个波包 或称为波群 这就暗示着 我们在测量粒子时 其精度就存在一个基本的极限 如 果波包很窄 粒子的位置就很容易确定 或者说 位置的测量精度比 较高 但是 此时它的波长就不可能比较准确地确定 也就是说 粒 子动量的测量精度就很低了 注意 波长倒数的 2 倍就是波矢 k 而波矢 k 乘上普朗克常数就是粒子的动量 反之 如果波包很宽 波 长可以很好地测量 但是 此时粒子究竟处在哪里呢 也就是说 它 的位置很难确定 因为整个波包才代表粒子 值得注意的是 1 不确定关系是微观粒子遵循的一个普遍规律 它给出了微观 粒子的位置不确定程度 x 与动量不确定程度 px之间的关系 它是 粒子的波动性引起的 不是因测量仪器引起的 另外 除了 2 67 px x PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 35 式外 对于 y z 分量也有 y py 2 h 2 68 z pz 2 h 2 69 但是 又必须注意 切不可将上面的不确定关系随意地推广 例 如 x y 2 h px py 2 h 等是不成立的不成立的 2 因为微观粒子是以几率的形式出现的 所以 x 和 px实际 上是一个统计平均的概念 即 x 2 xx 22 2xxxx 22 2xxxx 22 xx 2 70 px 2 2 xx pp 2 71 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 36 第三章 力学量的算符 在量子力学中 与经典力学相对应的力学量是以运算符号 简称 为算符 的形式出现的 正如我们在 1 2 1 中建立薛定谔方程中所 做的那样 微观粒子力学量的观测值则是力学量算符在所处量子态 tr r 中的平均值 1 3 1 力学量的算符 一 什么是算符 一 什么是算符 算符是指作用在一个函数上得到另一个函数的运算符号 通常 算符以F 表示 则一般的算符可以表示为 vuF 例如 xd d 是微商算符 它作用于某函数 u 就是对 u 求 x 的微商 x 也可以是算符 它作用于函数 u 上就是与 u 相乘 二 力学量的算符二 力学量的算符 在前面 我们曾经引入了能量算符 t i h 动量算符 h i 它们 的运算效果分别与粒子的能量 动量等效 E t i h 3 1 p r h i 3 2 另外 算符 2 2 h 2 的运算效果与粒子的动能等效 2 2 p 2 2 h 2 3 3 由此可见 在量子力学中出现的力学量都有与该力学量在运算效果上 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 37 等效的算符 换言之 在量子力学中粒子的力学量是用算符表示的 现将力学量的算符归纳如下表 以力学量上方加符号 表示 表中最后一式所表达的算符称为哈密顿算符 如果 U 中不显含时 间 t 它也称为能量算符 因为任何经典力学量都可以表达为r r 和 p r 的函数 所以其它力学 量的算符 都可以由表中的各算符导出 只要将r r p r 转换成相应的 算符即可 例如 prA rr h r irA 3 4 力学量 算 符 能量 E E t i h 3 5 动量 p p h i z k y j x ii rrr h kpjpip zyx rrr 2 p hhii 22 h 3 6 3 7 动能 T 2 2 1 p m T 2 2 h 2 3 8 坐标 r r r kzjyix rrr kzjyix rrr r r 3 9 势能 U rU r U r r 3 10 哈密顿量 H T U H 2 2 h 2 rU r 3 11 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 38 1 3 2 算符的本征值与本征函数 一 算符的本征值问题 一 算符的本征值问题 如果一个算符 A 作用在一个函数 上 其结果就等于 乘上一个 常数 即 A 3 12 则该方程称为算符 A 的本征方程 称为算符 A 的本征值 函数 称为算符 A 的 属于本征值 的本征函数 例如 我们在 1 2 1 中 曾经得到了定态薛定谔方程 2 17 式 如果用算符来表示 则可写成 H r r E r r 3 13 式中H 2 2 h 2 rU r 是哈密顿算符 上式就是H 的本征方程 一般地说 本征方程 3 12 有一系列的特解 1 2 n 而且 力学量 A 在这些态中的相应本征值为 1 2 n 它们均 能满足本征方程 3 12 即 A n n n 3 14 此式说明 在态 n 中 力学量 A 具有确定的值 且一定是 n 而绝对不会是任何别的值 这时 每一个量子态 n 都是算符 A 的本征 态 它们 n 称为算符 A 的 属于本征值 n 的本征函数 这一系列的 n 组成 A 的本征函数系 一系列的 n 组成 A 的本征 值谱 例如 一维无限深势阱 因为此时势阱内 U x 0 所以 H T U 2 2 h 2 2 d d x PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 39 这样 定态薛定谔方程 2 22 式就可以写成 H x E x 显然 这是一个H 的本征方程 H 的本征函数为 2 29 式 即 x n x a n a sin 2 n 1 2 3 或者 1 x x aa sin 2 2 x x aa 2 sin 2 3 x x aa 3 sin 2 相应的粒子能量为 E1 2 22 2 a h E2 2 22 2 4 a h E3 2 22 2 9 a h 由上可见 x n 组成H 的本征函数系 En组成H 能量 的本 征值谱 它是一个分立谱 二 简并和简并度二 简并和简并度 在解算符 A 的本征方程时 如果得到与 A 的本征值 n 对应的本征 函数不只一个 而是有 f 个线性无关的本征函数 1n 2n fn 这 种情况称为简并简并 并且称该本征值 n 是 f 度简并的 f 叫做简并度 它是一个无量纲数 在简并情况下 粒子处于这 f 个态中的任意一个态 in 算符 A 的 本征值都是 n 即 A in n in i 1 2 f 3 15 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 40 1 3 3 算符运算规则 一 算符的运算规则 一 算符的运算规则 1 算符相等算符相等 如果算符 A 和B 分别作用在任意函数 u 上 总有 A u B u 3 161 则称算符 A 和B 相等 即运算效果相同 记为 A B 3 162 注意注意 如果 A u B u 只对一个或某些特定的函数成立 还不能认 为 A B 例如 xd d xn nxn 1 x n xn nxn 1 但绝不能说算符 xd d 与算符 x n 相等 2 算符相算符相加加 设有算符 A B C 且 u 为任意函数 如果总有 A u B u C u 3 171 则说明算符 A B 的运算效果总是与算符C 的运算效果相同 我们就 称算符 A B 等于算符C 记为 A B C 3 172 3 算符相算符相乘乘 设有算符 A B C 当B 先作用于任意函数 u 上 得到另一个 函数B u 再将算符 A 作用于这个函数B u 上 得到函数 A B u 如果 总有 A B u C u 3 181 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 41 即算符B 和 A 连续运算的效果与算符C 的运算效果相同 则 我们称 算符 A 和B 的乘积等于C 记为 C A B 3 182 如果 n 个算符 A 连续作用 即 n 个 A 连乘 则记为 n A A A A 3 19 特别要注意的是 两个算符乘积的运算效果一般与它们的作用先 后次序有关 也就是说 一般情况下 A B B A 3 20 该情况称为 A 与B 不可对易 即不能交换位置 但是 如果 A B u B A u 则称算符 A 和B 是可对易的 记为 A B B A 3 21 以上就是算符的运算规则 举例举例 试证明 x x p x p x h i 证 x x p x p x x x p x p x x x i h x i h x x xi h x x i h x xi h h i x xi h x x p x p x h i 即 x x p x p x h i 二 二 线线性性厄米厄米算符算符 1 线性算符线性算符 对于任意函数 u1和 u2 如果算符 A 满足 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 42 A c1 u1 c2 u2 c1A u1 c2A u2 3 22 则称算符 A 为线性算符 c1和 c2是任意常数 在量子力学中 表示力学量的算符必须是线性算符 这实际上是 态叠加原理所要求的 2 厄米算符厄米算符 对于两个任意函数 u 和 v 如果算符 A 满足下式 d v uA d vAu 3 23 则称算符 A 为厄米算符 上式中的积分是对所有变量进行 积分 范围遍及变量的整个变化区域 在量子力学中 表示力学量的算符必须是厄米算符 因为在量子力学中 力学量是以算符的形式出现的 力学量 A 的 确定值一定是该算符在态 中的本征值 力学量的确定值当然是实 数 而厄米算符的本征值一定是实数 上述结论很容易证明 只要令厄米算符定义式中的函数 v 和 u 相 同 且是算符 A 的本征函数 即 d A d A 利用算符 A 的本征方程 A 及其共轭形式 可得 d d 因此 满足该式的数只能是实数 所以 量子力学中代表力学量的算符必须是线性厄米算符 三 三 厄米厄米算符本征函数的性算符本征函数的性质质 1 正交正交性性 如果两个函数 1 r r 和 2 r r 满足下述条件 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 雷敏生 近代物理概论讲义 43 d 2 1 rr rr 0 在数学上 则称这两个函数正交 厄米算符的本征函数满足上述条件 所以厄米算符的本征函数是 正交的 即 d nm 0 3 241 积分遍及函数 的