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相交线与平行线讲义一般情况相交成直角相交线相 交两条直线第三条所截两条直线被邻补角垂线邻补角互补点到直线的距离同位角、内错角、同旁内角平行线平行公理及其推论 平行线的性质平行线的判定平移对顶角对顶角相等垂线段最短存在性和唯一性两条平行线的距离平移的特征【知识框图】【知识点一】相交线的性质：两条直线相交，有且只有一个交点。例1、两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（ ）A、一定有一个锐角 B、一定有一个钝角 C、一定有一个直角 D、一定有一个不是钝角 例2、在一个平面上任意画3条直线，最多可以把平面分成的部分是（ ）A、4个 B、6个 C、7个 D、8个 例3、在同一个平面内，四条直线的交点个数不能是（ ）A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 例4、一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成 块例7例5、在一个平面内，任意四条直线相交，交点的个数最多有（ ）A、7个 B、6个 C、5个 D、4个例6、平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（ ）A、24条 B、21条 C、33条 D、36条 例7、如右图，两条非平行的直线AB，CD被第三条直线EF所截，交点为PQ，那么这3条直线将所在平面分成（ ）A、5个部分 B、6个部分 C、7个部分 D、8个部分 【知识点二】对顶角、邻补角：对顶角定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角。邻补角定义：两个角有一个公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。例1对顶角的性质：对顶角相等。邻补角的性质：邻补角互补。例1、如右图，直线相交于点，若1等于40，则2等于（）A、50 B、60 C、140 D、160例2例2、如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分EOC，EOC=100，则BOD的度数是（）A、20 B、40 C、50 D、80 例3、如图，直线AB，CD相交于O点，若1=30，则2，3的度数分别为（）例4例3A、120，60 B、130，50 C、140，40 D、150，30 例4、如右图，图中有 对对顶角例5、（1）延长射线OM； （2）平角是一条射线；（3）线段、射线都是直线的一部分；（4）锐角一定小于它的余角；（5）大于直角的角是钝角；（6）一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是90； （7）相等的两个角是对顶角； （8）若A+B+C=180，则这三个角互补；（9）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直以上说法正确的有（）A、2个 B、3个 C、4个 D、5个例6、命题邻补角互补；对顶角相等；同旁内角互补；两点之间线段最短；直线都相等；任何数都有倒数；如果，那么；如果A+B=90，那么A与B互余其中真命题有（）A、3个 B、4个 C、5个 D、6个 例7，平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？【知识点三】垂线：垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。垂线的性质一：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂线的性质二：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，即垂线段最短。例1、如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是AOD内一点，已知OEAB，BOD=45，则COE的度数是（）A、125 B、135 C、145 D、155例2、如图，直线与相交于点，OM，若=44，则=（）例2例1A、56 B、46 C、45 D、44 例3、在直线AB上任取一点O，过点作射线OC，OD，使OCOD，当AOC=30时，BOD的度数是（）A、60 B、120 C、60或90 D、60或120 例4、已知，OAOC，且AOB：AOC=2：3，则BOC的度数为（）A、30 B、150 C、30或150 D、90 例5、如右图，ABC中，C=90，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能是（）A、2.5 B、3 C、4 D、5【知识点四】点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。例1、下列说法中，正确的是（）A、一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线例2B、P是直线外一点，A，B，C分别是上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则点P到的距离一定是1 C、相等的角是对顶角 D、钝角的补角一定是锐角 例2、如图，在ABC中，ACBC，CDAB，则图中能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（）A、2条 B、3条 C、4条 D、5条例3、如图，在平面内，两条直线相交于点，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”根据上述规定，“距离坐标”是（2，1）的点共有（）个例3A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 例5、若点A到直线的距离为7cm，点B到直线的距离为3cm，则线段AB的长度为（）A、10cm B、4cm C、4cm或10cm D、至少4cm 【知识点五】同位角、内错角、同旁内角同位角定义：两条同位角都在两条被截线同一方，并在截线的同侧，这样的一对角叫做同位角。形如字母F.内错角定义：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的两侧，这样的一对角叫做内错角。形如字母Z.同旁内角定义：两个角都在被截线之间，并且在截线的同侧，这样的一对角叫做同旁内角。形如字母C.例1有下列命题：两条直线被第三条直线所截，同位角相等；两点之间，线段最短；相等的角是对顶角；两个锐角的和是锐角；同角或等角的补角相等正确命题的个数是（）例3A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 例2、已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，则EMB的同位角是（）A、AMF B、BMF C、ENC D、END 例3、下列命题中，正确的是（）A、任何数的平方都是正数 B、相等的角是对顶角 C、内错角相等 D、直角都相等 例4、）有下列命题：两条直线被第三条直线所截，内错角相等；两点之间，线段最短；对顶角相等；两个锐角的和不一定是锐角；同角或等角的补角相等正确命题的个数是（）A、2个 B、3个 C、4个 D、5个例7例5、下列所示的四个图形中，1和2是同位角的是（）A、 B、 C、 D、 例6、如右图所示，同位角共有（）A、6对 B、8对 C、10对 D、12对例8例7、某城市有四条直线型主干道分别为，和相交，和相互平行且与相交成如图所示的图形，则共可得同旁内角（）对A、4 B、8 C、12 D、16【知识点六】平行线平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行线的表示方法：如果直线AB平行于直线CD，我们可以写成：ABCD.例1、下列命题中，真命题是（）A、互补两角若相等，则此两角都是直角 B、直线是平角 C、不相交的两条直线叫做平行线 D、和为180的两个角叫做邻补角 例2、下列说法不正确的是（）A、过任意一点可作已知直线的一条平行线 B、同一平面内两条不相交的直线是平行线 C、在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D、平行于同一直线的两直线平行 例3、下列语句：同一平面上，三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（）A、是正确的命题 B、是正确命题 C、是正确命题 D、以上结论皆错 例4、下列语句中：一条直线有且只有一条垂线；不相等的两个角一定不是对顶角；两条不相交的直线叫做平行线；若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；不在同一直线上的四个点最多可画6条直线；如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角其中错误的有（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 例5、下列语句正确的是（）A、平角是直线 B、画5cm长的射线 C、平行线就是不相交的两条直线 D、在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行 【知识点七】平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。例1、下列说法正确的是（）A、同位角相等 B、在同一平面内，如果ab，bc，则ac C、相等的角是对顶角 D、在同一平面内，如果ab，bc，则ac 例2、下列说法：（1）两点之间的距离是两点间的线段；（2）如果两条线段没有交点，那么这两条线段所在直线也没有交点；（3）邻补角的两条角平分线构成一个直角；（4）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（5）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行其中正确的是（）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个例3、下列说法中可能错误的是（）A、过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C、两条直线相交，有且只有一个交点 D、若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直 例4、下列选项中正确的是（）A、相等的角是对顶角 B、两直线平行，同旁内角相等 C、直线外一点到这条直线的垂线段，叫点到直线的距离 D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 例5、过一点画已知直线的平行线（）A、有且只有一条 B、不存在 C、有两条 D、不存在或有且只有一条 例6、经过一点A画已知直线a的平行线，能画（）A、0条 B、1条 C、2条 D、不能确定 【知识点八】平行线的判定（5种方法）定义；平行公理及其推论；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。例1、对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到ab的是（）A、1=2 B、2=4 C、3=4 D、1+4=180例2、图中有直线L截两直线L1，L2后所形成的八个角由下列哪一个选项中的条件可判断L1L2（）A、2+4=180 B、3+8=180 C、5+6=180 D、7+8=180 例4例3、如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BCAD的是（）A、3=4 B、A+ADC=180 C、1=2 D、A=5 例4、如图，已知1=70，要使ABCD，则须具备另一个条件（）A、2=70 B、2=100 C、2=110 D、3=110 例1例3例2例5、某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（）A、第一次左拐30，第二次右拐30 B、第一次右拐50，第二次左拐130 C、第一次右拐50，第二次右拐130 D、第一次向左拐50，第二次向左拐120 例6例6、如图，要得到ab，则需要条件（）A、2=4 B、1+3=180 C、1+2=180 D、2=3 例7、如图，3=4，则下列条件中不能推出ABCD的是（）A、1与2互余 B、1=2 C、1=3且2=4 D、BMCN 例7例8、下列与垂直相交的说法：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直；同一平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直，其中说法错误的个数有（）A、3个 B、2个 C、1个 D、0个【知识点九】平行线的性质性质一：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等；性质二：如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等；性质三：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补。例1、如图，直线AB、CD相交于点E，DFAB若AEC=100，则D等于（）A、70 B、80 C、90 D、100例2、如图，直线AB、CD相交于点E，DFAB若D=70，则CEB等于（）A、70 B、80 C、90 D、110 例3、如图，直线l1，l2被直线l3所截，且l1l2，若1=72，2=58，则3=（）A、45 B、50 C、60 D、58 例4、如图，ABCD，AD和BC相交于点O，A=40，AOB=75则C等于（）例3例1例2A、40 B、65 C、75 D、115 例4例5、如图所示，ABEFDC，EGDB，则图中与1相等的角（1除外）共有（）A、6个 B、5个 C、4个 D、2个例6、如图，DHEGBC，DCEF，那么与EFB相等的角（不包括EFB）的个数为（）例8例7例6A、2个 B、3个 C、4个 D、5个例5例7、已知：如图所示，ABCDEF，BCAD，AC平分BAD，则图中与ACB相等的角有（）A、2个 B、3个 C、4个 D、5个例8、如图，为、的截线，1=70，则下列结论中不正确的个数有：5=70；3=6；2+6=220；4+7=180（）例1【知识点十】综合运用平行线的判定与性质例1、如图，直线AB，CD被直线所截，若1=390，则（）A、2=3 B、2=4 C、1=4 D、3=4例2、如图，已知1=2=3=65，则4的度数为 . 例3、如图所示，直线a，b被c，d所截，且ca，cb，1=70，则2= 例3例4、如图，已知1=2=3=62，则4= 度例5例4例2例5、如图所示，ABEF，CDEF，1=F=30，那么与FCD相等的角有（）例6A、1个 B、2个 C、3个 D、4个例6、如图，若1=2，图中与3相等的角有（）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 练习： 1、如图，平