七年级数学下册 第8章 幂的运算 04 关于“因式分解”教学中的几个问题知识拓展 （新版）苏科版 (2)(1).doc

关于“因式分解”教学中的几个问题一、什么叫做因式？如果多项式f(x)能够被非零多项式g(x)整除，即可以找出一个多项式q(x)，使得f(x)q(x)g(x)，那么g(x)就叫做f(x)的一个因式当然，这时q(x)也是f(x)的一个因式，并且q(x)、g(x)的次数都不会大于f(x)的次数注意：g(x)0，但q(x)可以等于0（当f(x)0时）例如，因为(x1)(x1)x21，把左边、右边交换，得到x21(x1)(x1)，所以x1，x1都是x21的因式 由于任何一个多项式f(x)都可以写成一个非零数a及多项式f(x)的积，即 f(x)af(x)，所以任何一个非零数a及多项式f(x)也都可以看成f(x)的因式我们把这种因式看作平凡因式，并规定在分解因式时都不予考虑 例如，因为x211(x21)2()(2 x22)可知1，x21，2，2x22 也都是x21 的因式，这种因式都看作平凡因式，在分解因式时不予考虑如果把x21因式分解，就只能得到唯一的结果x21(x1)(x1)（因为有乘法交换律，所以x21(x1)(x1)与x21(x1)(x1)是同样的结果），其中x1，x1都不是平凡因式在高等代数中可以证明，如果对平凡因式都不予以考虑，那么任何一个一元多项式在每个确定的数的范围内，其分解因式的结果是唯一的二、什么叫做多项式中各项的公因式？多项式的公因式是指这个多项式中各项都具有的公共因式它可以是一个单项式，也可以是一个多项式，还可以是一个单项式与一个多项式的积（这里我们为了叙述上的方便，把单项式与多项式区别对待）如果公因式是单项式，那么公因式可能不止一个当多项式中各项的系数是正整数时，在有理数范围内谈到它各项的公因式，是指寻找这样的公因式：它的系数必须是这个多项式中各项系数的最大公约数，它所具有的字母必须是这个多项式中各项都具有的公共字母，每个字母的指数必须是这个多项式中各项所含的同一字母的最低次幂的指数一句话，就是各项系数的最大公约数与各项所含的相同字母的最低次幂的积如果公因式是多项式，那么这个多项式一定是原多项式中各项的一个公因式这个多项式的项数、各项所含的字母及其指数、各项的系数等，在原多项式的各项中一定都是相同的，所以能够寻找出来三、在用提公因式法分解因式时，除了教科书上提到的以外，还要注意什么？当多项式中各项的系数不都是整数时，在有理数范围内提取各项的公因式，其系数也可以不是整数（这时当然不能说取“各项系数的最大公约数”）例如a32a2b2b2(a24ab4b2)我们知道，这里把提出来，有一个好处，就是(a24ab4b2)(a2b)2，所以原式a(a2b)2如果不提出这个，那么因式a22ab2b2在有理数范围内就不能用完全平方公式进行分解，而用十字相乘法将其分解为(ab)(a2b)却不是那么容易想得到的四、在运用乘法公式把多项式分解因式时，要注意些什么？1必须让学生熟记教科书上给出的公式2从所给多项式的项数入手，分辨运用哪一个乘法公式：如果原多项式是二项式，那么可考虑是否能运用平方差公式来分解；如果原多项式是三项式，那么可考虑是否能运用完全平方公式来分解3学生初学时，在运用公式前，可以让他们先将要分解的多项式去“套”公式的原形例如要把a2abb2分解因式，先将其写成：(a)22ab(b)2形式，这样就能比较清晰地看出，应该用完全平方公式把它分解成(ab)2 4运用公式前，还要先将原多项式中各项的公因式提出，使各项不含公因式5运用公式后，应注意将结果化简，并看看能否再分解下去，要一直分解到不能再分解为止例如多项式(y21)216(y21)64用完全平方公式分解为(y21)8)2后，必须继续将其分解下去，即原式(y218)2(y29)2(y3)2(y3)26如果学生学有余力，可以让他们再做一些补充题，学习怎样通过运用公式法进行因式分解，来简化某些计算，从而加深对公式的理解7为了解题迅速、正确，应要求学生熟记120这20个自然数的平方数，并能立即从这些平方数中说出它们是哪一个数的平方五、分组分解法的指导思想是什么？当一个多项式的各项没有公因式可提出，并且对它不能直接运用公式时，我们往往想到能否利用分组分解的办法这里“分组”只是因式分解的一个步骤，它的目的在于分组后，或者在有的组的内部，或者在组与组之间，造成新的情况，例如，可以提公因式，可以运用公式等等，从而使原先不易解决的问题变成了比较容易解决的问题可以利用分组分解法分解因式的情况大体分为三种：第一种是分组后能直接提公因式；第二种是分组后能直接运用公式教科书上没有专门对这两种情况做介绍，至于第三种情况，可以叫做“拆项后能够分组分解”，如，要把x211x24的一次项“11x”拆成两项“3x”和“8x”，再用分组分解法；既要“添项”（这里是添“0”），又要“拆项”（即把“0”拆成两个系数互为相反数的二次项，目标是分组后运用公式），然后再用分组分解法正如我们在运用“拆项”、“添项”方法的题目中所指出的，“拆项”具有“一分为二”的思想，它正好与“合并同类项”相反，显示出“有分必有合，有合必有分”的互逆过