成人高考数学精讲第24讲讲义.doc

典型例题例1已知经过点和点的直线的斜率是，则解：，例2经过点，倾斜角的正弦等于的直线方程是解：，。经过点，倾斜角的正弦等于的直线方程是或例3经过点，且过直线和的交点的直线方程是解：先求出与的交点，经过点，且过直线和的交点的直线方程是例4过点且平行于直线的直线方程是解：两条直线若平行，它们的斜率应当相等。直线的斜率为，过点且平行于直线的直线方程是：，例5过点且垂直于过，两点的直线的直线方程是解：两条直线若垂直，则它们的斜率互为“负倒数”，或者它们的斜率的乘积为，所求直线的斜率，过点且垂直于过，两点的直线的直线方程是：，例6若直线过第一、二、三象限，则（）（A），（B），（C），（D），解：选（A）分析：用特例分析方法，大家知道，是正比例函数，当时特例，它表示过原点的一条直线，且为一、三、象限的角平分线。而是一次函数，当时的特例，它是经过第一、二、三象限，且平行于的一条直线。请大家画出图形（略），把斜截式形式的直线方程改写为直线方程的一般式：，则，显然，如果本题不是单一选择题，而是这样的讨论题：若直线过第一、二、三象限，则，系数之间应当满足什么关系？就不能用特例分析法来分析，而应当改用一般分析法来讨论，具体的分析过程略去。例7已知为任意实数，则直线一定经过点（）（A）（B）（C）（D）解：选（B）分析：将选择分支的点的坐标依次代入中，若能满足，则该点必定为所选。把代入，我们考察选择分支一般都是按照顺序（A），（B），（C），（D）进行，如果，正确的答案是选（D）的话，手工计算的工作量就比较大了。例8直线方程与两条坐标轴围成的三角形面积等于解：可以将直线方程改写为截距式：，则直线与与两条坐标轴围成的三角形面积为（面积单位）。，（面积单位）。*例9若，那么直线一定经过（）。A一、三象限B一、二、四象限C二、三象限D二、三象限答案：B分析：用特例法，设，那么直线，即（截距式），该直线与轴与轴的截距都等于1，故直线一定经过一、二、四象限，从而直线也一定经过一、二、四象限。例10直线与直线的位置关系是（）。A平行B垂直C相交但不垂直D不能确定，与的取值有关答案：C分析：因为故两条直线不平行，排除A；又因为直线的斜率为，直线的斜率为，这两条直线的斜率的乘积，可知两条直线不垂直，排除B；故两条直线的位置关系是相交但不垂直。注意：把直线方程的一般式转化为斜截式之后，就能确定出直线的斜率。例如：（一般式），（斜截式）。研究两条直线的位置关系时，经常要把直线转化为斜截式。通过两直线的斜率和截距的关系，来判断它们的位置关系，所以务必要熟练掌握把直线方程转化为斜截式的方法。例11直线与直线平行，那么（）。A，且B，且C，且D，且答案：B分析：若，即，且，则两条直线平行。例12已知点那么（）。ABCD没有垂直关系答案：C分析：先在直角坐标系中画出这三个点从图上看过去，似乎是与垂直的，再实际计算一下，因为，故分析二：，显然有。由勾股定理可知，故例13已知点则线段的垂直平分线的方程是（）。ABCD答案：C分析：设的中点为，由中点公式，又，垂直平分线的斜率，则线段的垂直平分线的方程是，即，（点斜式），再把点斜式转化为一般式，分析二：设线段的垂直平分线上的任意一点为，把垂直平分线看成到已知两点距离相等的动点的轨迹，用求轨迹方程的方法来求此直线方程。设线段的垂直平分线上的任意一点为，则，所以，上式两边分别平方，例14已知直线的斜率是方程的两个根，那么与所成的角是（）。ABCD答案：C分析：设直线的斜率分别为，求解方程，用十字相乘法，设的夹角为，则由于，所以注意：两条直线相交构成四个角，它们的夹角是指其中不大于直角的角，因此本题是求时取绝对值。如果求得两条直线夹角的度数，就能得到两条直线相交构成的每一个角的度数。例15直线关于轴对称的直线方程是（）。ABCD答案：A分析：把直线转化为截距式，在直角坐标系中画出直线的图象，显然，它经过二、三、四象限，因为直线与轴的交点为，该点关于原点的对称点为，又因为直线与轴的交点为，过点与点作直线，写出截距式方程，再把它转化为一般式，故，直线与直线关于轴对称。注意：类似地，我们还可以找出直线关于轴对称的直线方程。例16线段的端点是，则所在直线方程的一般式为答案：分析：，把与代入点斜式，再转化为一般式，注意：求直线方程的一般式，一般是先求得它的特殊形式中的某一种，然后通过同解变形转化为一般式。表示同一条直线的方程的形式不是唯一的，不过它们都可以通过同解变形互化。可以看作是同一个方程。例17直线的方程为，那么直线的斜率是，倾斜角是，在轴上的截距是，在轴上的截距是答案：分析：把直线的方程为转化为截距式，则直线在轴上的截距是3，在轴上的截距是6。直线的斜率是。直线的倾斜角是因为，故注意：若把直线的方程为转化为斜截式，也可以求出直线的斜率是例18已知点过点分别平行、垂直于直线的直线方程是、答案：、分析：，过点分别平行直线的直线斜率与相同，故该直线方程的点斜式为，转化为一般式，；过点分别平行直线的直线斜率与互为负倒数，即，故过点垂直于直线的直线方程的点斜式为，转化为一般式，例19已知直线