广东省深圳市高级中学高二数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年广东省深圳市高级中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，满分45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1“x=1”是“x2x=0”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件2若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）a2b1cd3若偶函数f（x）在（，0内单调递减，则不等式f（1）f（x）的解集是（）a（，1）b（1，+）c（1，1）d（，1）（1，+）4已知向量，如果向量与垂直，则的值为（）a1bc5d5已知双曲线=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（）a5x2=1b5x2=1c=1d=16设x0，y0，且2x+y=20，则lgx+lgy的最大值是（）a50b2c1+lg5d17一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：年龄x6789身高y118126136144由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8x+，预测该学生10岁时的身高为（）a154b153c152d1518设集合a=0，1），b=1，2，函数f（x）=x0a，且ff（x0）a，则x0的取值范围是（）a（）b（log32，1）c（）d0，9设不等式组所表示的平面区域是1，平面区域是2与1关于直线3x4y9=0对称，对于1中的任意一点a与2中的任意一点b，|ab|的最小值等于（）ab4cd2二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）10已知a，b，c分别是abc的三个内角a，b，c所对的边，若a=1，b=，三内角a，b，c成等差数列，则sina=11在平面直角坐标系xoy中，已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x5y+c=0的距离为1，求实数c的取值范围三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共48分）12已知向量与互相垂直，其中（1）求sin和cos的值；（2）若，求cos的值13已知数列an是等差数列，bn是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3（1）求数列an和bn的通项公式；（2）数列cn满足cn=anbn，求数列cn的前n项和sn14已知矩形abcd中，bc=1以ab的中点o为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy（1）求以a，b为焦点，且过c，d两点的椭圆的标准方程；（2）过点p（0，2）的直线l与（1）中的椭圆交于m，n两点，是否存在直线l，使得以线段mn为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由15已知函数f（x）=+2ax23a2x+1，0a1（）求函数f（x）的极大值；（）若x1a，1+a时，恒有af（x）a成立（其中f（x）是函数f（x）的导函数），试确定实数a的取值范围一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）16设z=1+i，则=（）a1ib1+ic1id1+i17阅读如图所示的程序框图，输出的s值为（）a0bcd18张先生知道清晨从甲地到乙地有好、中、差三个班次的客车但不知道具体谁先谁后他打算：第一辆看后一定不坐，若第二辆比第一辆舒服，则乘第二辆；否则坐第三辆问张先生坐到好车的概率和坐到差车的概率分别是（）a、b、c、d、二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为 辆20观察下列数的特点：在1，2，2，3，3，3，4，4，4，4中，第100项的值是三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共22分）21某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表：初一年级初二年级初三年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19（1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？（3）已知y245，z245，求初三年级中女生比男生多的概率22在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520个女性中6人患色盲，根据以上的数据得到一个22的列联表患色盲不患色盲总计男480女520总计1000（）请根据以上的数据完成这个22的列联表；（）若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率会是多少？参考数据： =0.02714； =4.90618； =0.017912015-2016学年广东省深圳市高级中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，满分45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1“x=1”是“x2x=0”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题；对应思想；综合法；简易逻辑【分析】根据集合的包含关系结合充分必要条件的定义判断即可【解答】解：由“x2x=0”解得：x=0或x=1，“x=1”是“x2x=0”的充分不必要条件，故选：a【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题2若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）a2b1cd【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题【分析】由题意可知图形的形状，求解即可【解答】解：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为【点评】本题考查立体图形三视图及体积公式，是基础题3若偶函数f（x）在（，0内单调递减，则不等式f（1）f（x）的解集是（）a（，1）b（1，+）c（1，1）d（，1）（1，+）【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】函数思想；转化思想；函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可【解答】解：偶函数f（x）在（，0内单调递减，函数f（x）在0，+）内单调递增，则不等式f（1）f（x）等价为f（1）f（|x|），即|x|1，即x1或x1，故选：d【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键4已知向量，如果向量与垂直，则的值为（）a1bc5d【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题【分析】由向量=（4，3），=（2，1），知+=（42，3+），由向量与垂直，可得2（42）+1（3+）=0，解得=1，故2=（10，5），由此可求其模长【解答】解：向量=（4，3），=（2，1），+=（42，3+），向量与垂直，2（42）+1（3+）=0，解得=1，2=（8，6）（2，1）=（10，5），则|2|=5故选d【点评】本题考查平面向量的坐标运算，是基础题解题时要认真审题，注意数量积判断两个平面向量的垂直关系的应用5已知双曲线=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（）a5x2=1b5x2=1c=1d=1【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为（1，0），从而得出左焦点为f（1，0），再设出双曲线的方程，利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组，解出a、b的值即可得到该双曲线的方程【解答】解：抛物线方程为y2=4x，2p=4，得抛物线的焦点为（1，0）双曲线的一个焦点与抛物y2=4x的焦点重合，双曲线的左焦点为f（1，0），设双曲线的方程为（a0，b0），可得a2+b2=1双曲线的离心率等，=，即由联解，得a2=，b2=，该双曲线的方程为5x2=1故选b【点评】本题重点考查双曲线的几何性质，考查抛物线的几何性质，正确计算双曲线的几何量是解题的关键6设x0，y0，且2x+y=20，则lgx+lgy的最大值是（）a50b2c1+lg5d1【考点】对数的运算性质【专题】计算题；转化思想；定义法；不等式【分析】由已知条件，可以得到2x+y=202，进而得到xy的最大值为50，也就得出lg（xy）的最大值【解答】解：x0，y0，且2x+y=202x+y=202，（当且仅当2x=y时，等号成立）xy50lgx+lgy=lg（xy）lg50=1+lg5即lgx+lgy的最大值为1+lg5故选：c【点评】本题主要利用均值不等式求解对数函数的最值问题，属于基础题7一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：年龄x6789身高y118126136144由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8x+，预测该学生10岁时的身高为（）a154b153c152d151【考点】线性回归方程【专题】概率与统计【分析】先计算样本中心点，进而可求线性回归方程，由此可预测该学生10岁时的身高【解答】解：由题意， =7.5， =131代入线性回归直线方程为，131=8.87.5+，可得=65，x=10时， =153故选b【点评】本题考查回归分析的运用，考查学生的计算能力，确定线性回归直线方程是关键，属于基础题8设集合a=0，1），b=1，2，函数f（x）=x0a，且ff（x0）a，则x0的取值范围是（）a（）b（log32，1）c（）d0，【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值域【专题】计算题；压轴题【分析】利用当x0a，且ff（x0）a，列出不等式，解出 x0的取值范围【解答】解：0x01，f（x0）=1，2 ）=bff（x0）=f（）=42ff（x0）a，0421 0x01故选a【点评】本题考查求函数值的方法，以及不等式的解法，解题的关键是确定f（x0）的范围9设不等式组所表示的平面区域是1，平面区域是2与1关于直线3x4y9=0对称，对于1中的任意一点a与2中的任意一点b，|ab|的最小值等于（）ab4cd2【考点】简单线性规划的应用【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域1，根据对称的性质，不难得到：当a点距对称轴的距离最近时，|ab|有最小值【解答】解：由题意知，所求的|ab|的最小值，即为区域1中的点到直线3x4y9=0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3x4y9=0的距离最小，故|ab|的最小值为，故选b【点评】利用线性规划解平面上任意两点的距离的最值，关键是要根据已知的约束条件，画出满足约束约束条件的可行域，再去分析图形，根据图形的性质、对称的性质等找出满足条件的点的坐标，代入计算，即可求解二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）10已知a，b，c分别是abc的三个内角a，b，c所对的边，若a=1，b=，三内角a，b，c成等差数列，则sina=【考点】正弦定理；等差数列的性质【专题】计算题【分析】由三角形的三个内角成等差数列，利用等差数列的性质及三角形的内角和定理求出b的度数，进而得出sinb的值，再由a与b的值，利用正弦定理即可求出sina的值【解答】解：三角形内角a，b，c成等差数列，a+c=2b，又a+b+c=，b=，又a=1，b=，则根据正弦定理=得：sina=故答案为：【点评】此题考查了等差数列的性质，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及性质是解本题的关键11在平面直角坐标系xoy中，已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x5y+c=0的距离为1，求实数c的取值范围【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】求出圆心，求出半径，圆心到直线的距离小于半径和1的差即可【解答】解：圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x5y+c=0的距离小于1，即=1，则c的取值范围是（13，13）所求c（13，13）【点评】此题考查了圆与直线的位置关系，圆心到直线的距离小于半径和1的差，此时4个，等于3个，大于这个差小于半径和1的和是2个三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共48分）12已知向量与互相垂直，其中（1）求sin和cos的值；（2）若，求cos的值【考点】同角三角函数基本关系的运用；平面向量数量积的性质及其运算律【专题】三角函数的求值；平面向量及应用【分析】（1）根据两向量垂直，求得sin和cos的关系代入sin2+cos2=1中求得sin和cos的值（2）先利用和的范围确定的范围，进而利用同角三角函数基本关系求得cos（）的值，进而利用cos=cos（）根据两角和公式求得答案【解答】解：（1）与互相垂直，则，即sin=2cos，代入sin2+cos2=1得，又，（2）0，则cos（）=，cos=cos（）=coscos（）+sinsin（）=【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用，两角和的余弦公式，向量的计算等考查了学生综合分析问题和解决问题的能力13已知数列an是等差数列，bn是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3（1）求数列an和bn的通项公式；（2）数列cn满足cn=anbn，求数列cn的前n项和sn【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和【专题】综合题【分析】（1）利用等比数列的通项公式，可求确定公比，从而可求bn的通项公式，利用a1+a2+a3=b2+b3，可得数列的公差，从而可求数列an的通项公式；（2）利用错位相减法可求数列cn的前n项和sn【解答】解：（1）设an的公差为d，bn的公比为q由=54，得，从而q=3因此（3分）又a1+a2+a3=3a2=b2+b3=6+18=24，a2=8从而d=a2a1=6，故an=a1+（n1）6=6n4（6分）（2）令（9分）两式相减得=（3n2）3n=，又（12分）【点评】本题考查数列的通项，考查等差数列与等比数列的综合，考查错位相减法求数列的和，确定数列的通项是关键14已知矩形abcd中，bc=1以ab的中点o为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy（1）求以a，b为焦点，且过c，d两点的椭圆的标准方程；（2）过点p（0，2）的直线l与（1）中的椭圆交于m，n两点，是否存在直线l，使得以线段mn为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由【考点】椭圆的标准方程；直线的一般式方程；直线与圆相交的性质；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题；压轴题【分析】（1）由题意可得点a，b，c的坐标，设出椭圆的标准方程，根据题意知2a=ac+bc，求得a，进而根据b，a和c的关系求得b，则椭圆的方程可得（2）设直线l的方程为y=kx+2与椭圆方程联立，根据判别式大于0求得k的范围，设m，n两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，进而根据若以mn为直径的圆恰好过原点，推断则，得知x1x2+y1y2=0，根据x1x2求得y1y2代入即可求得k，最后检验看是否符合题意【解答】解：（1）由题意可得点a，b，c的坐标分别为设椭圆的标准方程是则2a=ac+bc，即，所以a=2所以b2=a2c2=42=2所以椭圆的标准方程是（2）由题意知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+2由得（1+2k2）x2+8kx+4=0因为m，n在椭圆上，所以=64k216（1+2k2）0设m，n两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）则，若以mn为直径的圆恰好过原点，则，所以x1x2+y1y2=0，所以，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，所以，即，得k2=2，经验证，此时=480所以直线l的方程为，或即所求直线存在，其方程为【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的关系在设直线方程时一定要看斜率的存在情况，最后还要检验斜率k是否符合题意15已知函数f（x）=+2ax23a2x+1，0a1（）求函数f（x）的极大值；（）若x1a，1+a时，恒有af（x）a成立（其中f（x）是函数f（x）的导函数），试确定实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数最值的应用【专题】计算题；综合题【分析】（i）对函数求导，结合f（x）0，f（x）0，f（x）=0可求解（ii）由题意可得ax2+4ax3a2a在1a，1+a恒成立，结合二次函数的对称轴x=2a与区间1a，1+a与的位置分类讨论进行求解【解答】解：（）f（x）=x2+4ax3a2，且0a1，（1分）当f（x）0时，得ax3a；当f（x）0时，得xa或x3a；f（x）的单调递增区间为（a，3a）；f（x）的单调递减区间为（，a）和（3a，+）（5分）故当x=3a时，f（x）有极大值，其极大值为f（3a）=1（6分）（）f（x）=x2+4ax3a2=（x2a）2+a2，）当2a1a时，即时，f（x）在区间1a，1+a内单调递减f（x）max=f（1a）=8a2+6a1，f（x）min=f（1+a）=2a1af（x）a，此时，（9分）当2a1a，且2aa+1时，即，f（x）max=f（2a）=a2af（x）a，即此时，（12分）当2a1+a时，得a1与已知0a1矛盾（13分）综上所述，实数a的取值范围为（14分）【点评】本题综合考查了函数的导数的运用及二次函数在闭区间上的最值问题，（ii）的求解的关键是要对二次函数的对称轴相对区间的位置分类讨论，体现了分类讨论的思想在解题中的应用一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）16设z=1+i，则=（）a1ib1+ic1id1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：z=1+i，=+（1+i）2=+2i=1i+2i=1+i，故选：d【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题17阅读如图所示的程序框图，输出的s值为（）a0bcd【考点】循环结构【专题】计算题【分析】通过循环找出循环的规律，当n=12时退出循环，得到结果【解答】解：第1次循环s=sin，n=2；第2次循环s=sin+sin，n=3；第3次循环s=sin+sin+sin，n=4；第4次循环s=sin+sin+sin+sin，n=5；循环的规律是n增加“1”，s增加角为等差数列公差为的正弦函数值，循环11次结束，所以s=sin+sin+sin+sin+sin=sin+sin+sin+=1+故答案为：1+【点评】本题考查循环框图的应用，判断出循环的规律是解题的关键，注意三角函数的周期的应用，考查计算能力18张先生知道清晨从甲地到乙地有好、中、差三个班次的客车但不知道具体谁先谁后他打算：第一辆看后一定不坐，若第二辆比第一辆舒服，则乘第二辆；否则坐第三辆问张先生坐到好车的概率和坐到差车的概率分别是（）a、b、c、d、【考点】等可能事件的概率【专题】计算题【分析】本题考查的知识点是古典概型，设三辆车的等次为：下 中 上，我们分6种情况，下 中 上 他没乘上上等车；下 上 中 他乘上上等车；中 下 上 他乘上上等车；中 上 下 他乘上上等车；上 下 中 他没乘上上等车；上 中 下 他没乘上上等车；一共6种情形，然后代入古典概型公式计算，即可得到答案【解答】解：设三辆车的等次为：下 中 上，它们的先后次序分下列6种情况，下 中 上 他乘上中等车下 上 中 他乘上上等车 中 下 上 他乘上上等车中 上 下 他乘上上等车 上 下 中 他乘上中等车上 中 下 他乘上下等车他乘上上等车的情况数为：3那么他乘上上等车的概率为 他乘上下等车的情况数为：1那么他乘上下等车的概率为故选c【点评】古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为 76辆【考点】频率分布直方图【专题】计算题【分析】先根据“频率=组距”求出时速不低于60km/h的汽车的频率，然后根据“频数=频率样本容量”进行求解【解答】解：时速不低于60km/h的汽车的频率为（0.028+0.01）10=0.38时速不低于60km/h的汽车数量为2000.38=76故答案为：76【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，频数=频率样本容量，属于基础题20观察下列数的特点：在1，2，2，3，3，3，4，4，4，4中，第100项的值是14【考点】归纳推理【专题】规律型；等差数列与等比数列；推理和证明【分析】由已知中的数列，可得1有1个，2有2个，3有3个，n有n个，进而可得答案【解答】解：在1，2，2，3，3，3，4，4，4，4中，1有1个，2有2个，3有3个，n有n个，当n=13时，共有1+2+13=91项当n=14时，共有1+2+14=105项故第100项是14，故答案为：14【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共22分）21某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表：初一年级初二年级初三年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随