函数单调性讲义.doc

龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.难点磁场()设a0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，+)上是增函数.案例探究例1已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)f(x1).f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.f(x)在(1，1)上为减函数.例2设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0x1x2,则x2x10，f(x)在区间(,0)内单调递增，f(x2)f(x1),f(x)为偶函数，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)f(x1).f(x)在(0，+)内单调递减.由f(2a2+a+1)3a22a+1.解之，得0a3.又a23a+1=(a)2.函数y=()的单调减区间是，+结合0a3,得函数y=()的单调递减区间为，3).锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.歼灭难点训练一、选择题1.()下列函数中的奇函数是( )A.f(x)=(x1)B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=2.()函数f(x)=的图象( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=1对称二、填空题3.()函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_.4.()若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0x11).(1)证明：函数f(x)在(1，+)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.6.()求证函数f(x)=在区间(1，+)上是减函数.7.()设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1x2)=；(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.8.()已知函数f(x)的定义域为R，且对m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,当x时，f(x)0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切xR,有f(x)=f(x),即+aex.整理，得(a)(ex)=0.因此，有a=0,即a2=1,又a0,a=1(2)证法一：设0x1x2,则f(x1)f(x2)=由x10,x20,x2x1,0,1e0,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2)f(x)在(0,+)上是增函数证法二：由f(x)=ex+ex，得f(x)=exex=ex(e2x1).当x(0,+)时，ex0,e2x10.此时f(x)0,所以f(x)在0，+)上是增函数.歼灭难点训练一、1.解析：f(x)= =f(x)，故f(x)为奇函数.答案：C2.解析：f(x)=f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C二、3.解析：令t=|x+1|,则t在(,1上递减，又y=f(x)在R上单调递增，y=f(|x+1|)在(,1上递减.答案：(,14.解析：f(0)=f(x1)=f(x2)=0,f(0)=d=0.f(x)=ax(xx1)(xx2)=ax3a(x1+x2)x2+ax1x2x，b=a(x1+x2),又f(x)在x2,+单调递增，故a0.又知0x1x,得x1+x20,b=a(x1+x2)0.答案：(,0）三、5.证明：(1）设1x1x2+,则x2x10, 1且0,0,又x1+10,x2+100,于是f(x2)f(x1)=+ 0f(x)在(1，+）上为递增函数.(2）证法一：设存在x00(x01)满足f(x0)=0,则且由01得01,即x02与x00矛盾，故f(x)=0没有负数根.证法二：设存在x00(x01)使f(x0)=0,若1x00,则2,1,f(x0)1与f(x0)=0矛盾，若x01,则0, 0，f(x0)0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.6.证明：x0,f(x)=,设1x1x2+,则.f(x1)f(x2),故函数f(x)在(1，+）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）7.证明：(1）不妨令x=x1x2,则f(x)=f(x2x1)= =f(x1x2)=f(x).f(x)是奇函数.(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).f(x+a)=fx(a)=.f(x+4a)=f(x+2a)+2a=f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.8.(1）证明：设x1x2,则x2x1,由题意f(x2x1)0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f()1=f(x2x1)0,f(x)是单调递增函数.(2) 解：f(x)=2x+1.验证过程略.菡数是高中数学的重要内容，函数的单调性又是函数的重要性质。在求解某些数学问题时，若能根据题目的结构特征，构造出一个适当的单调函数，往往能化难为易，化繁为简，获得巧解和妙解。下面举例说明。一. 巧求代数式的值例1. 已知，求的值。解：已知条件可化为设，则而在R上是增函数则有，即所以点评：本题关键是将条件转化为，再构造相应函数，利用单调性求解。拓展练习：已知方程的根为，方程的根为，求+的值。（答案：）二. 妙解方程例2. 解方程解：易见x=2是方程的一个解原方程可化为而（因为）在R上是减函数，同样在R上是减函数因此在R上是减函数由此知：当时，当时，这说明与的数都不是方程的解，从而原方程仅有唯一解。拓展训练：解方程。（答：）点评：解该类型题有两大步骤：首先通过观察找出其特解，然后等价转化为的形式，最后根据的单调性得出原方程的解的结论。三. 妙求函数的值域例3. 求函数的值域。解：令，则因为，所以而在内递增所以又而所以为所求原函数的值域。四. 巧解不等式例4. 解不等式解：设原不等式可化为则，即设显然是R上的减函数，且，那么不等式即因此有，解得点评：解不等式其实质是研究相应函数的零点，正负值问题。用函数观点来处理此类问题，不仅可优化解题过程，且能让我们迅速获得解题途径。拓展训练：解不等式。（答：）五. 巧证不等式例5. 设，求证。证明：当m，n中至少有一个为0时，则有，结论成立。设因为在上单调递增所以与必同号，或同为0（当且仅当时）从而因此，原不等式成立（当且仅当或，或时取“=”号）。点评：原不等式等价于，这可由幂函数在上递增而得到。本题可拓展：令，则。六. 巧解恒成立问题例6. 已知函数对区间上的一切x值恒有意义，求a的取值范围。解：依题意，对上任意x的值恒成立整理为对上任意x的值恒成立。设，只需而在上是增函数则所以七. 巧建不等关系例7. 给定抛物线，F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A，B两点，设。若，求l在y轴上的截距的变化范围。解：设由，得联立（1）（2）（3）（4），解得所以或所以的方程为或当时，在y轴的截距为令，则所以在4，9上是减函数故所以直线在y轴上截距的取值范围是：八. 巧解数列问题例8. 已知数列是等差数列，。（1）求数列的通项公式；（2）设数列的通项，Sn是数列的前n项和，试比较与的大小，并证明你的结论。解：（1）由，有得因此（2）设（n为正整数）所以即在上是递增的从而即所以当时，当时，1)两个“同性”的函数的和或差的奇偶性不变； 2)两个“同性”的函数的积或商（商中除式不能为零）是偶函数； 3)两个“异性”的函数的和或差是非奇非偶函数； 4