寒假讲义4——(教师).doc

新年华学校中考数学之王讲义 聪明挑战中考数学之王专题2D01：几何中的最短距离专题纵贯线【引子1】两点之间的距离（1） 两点之间线段最短（2） 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（3） 会用勾股定理求平面直角坐标系中两点间的距离【练1】如图，A、B、C、D四户人家，现在要打一口井四家共用，每家出一个进水管接到水井里，要让四家的水管总长度最短，那么水井的位置应该打在哪里？（水管接入水井中的部分忽略不计）AC，BD交点【引子2】点到直线的距离与平行线间的距离（1） 会过已知一点向已知直线作垂线（2） 点到直线上点的距离，垂线段最短（3） 会求平行线间的距离【练2】（07山西）如图,在平面内,两条直线l1、l2相交于点O,对于平面内任意一点M,若p、q分别是点M到直线l1、l2的距离,则称(p,q)为点M的“距离坐标”.根据上述规定,“距离坐标”是(2,1)的点共有_4_个. 做平行线MOpql1l2【例1】如图,l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可选择的地址有几处？将中转站的位置在题目中做出来（4个：一个内心，三个旁心）【例2】定义:到凸四边形一组对边距离相等,到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点.如图1,则点就是四边形的准内点. (1)如图2, 与的角平分线相交于点.求证:点是四边形的准内点.(2)分别画出图3梯形和图4平行四边形的准内点.(作图工具不限,不写作法,但要有必要的说明)(3)判断下列命题的真假,在括号内填“真”或“假”.任意凸四边形一定存在准内点.( 真 )任意凸四边形一定只有一个准内点.( 真 )若是任意凸四边形的准内点,则或.( 假 ) 【例3】如图,ABC中,P为一动点，当点P在BC边上的时候，不难得出AB + AC PB+ PC,根据本题回答下面问题。 图（1）将原图中点P移至ABC内,得图,试观察比较BPC的周长与ABC的周长的大小,并说明理由图延长BP交AC于D，通过两边之和大于第三边导出 (2)将图中点P变为两个点P1、P2得图,试观察比较四边形BP1P2C的周长与ABC的周长的大小,并说明理由 图 延长BP1，CP2可以转化成上图 (3)将图中的点P1、P2移至ABC外,并使点P1、P2与点A在边BC的异侧,且P1BCABC,P2CBACB,得图,试观察比较四边形BP1P2C的周长与ABC的周长的大小,并说明理由 图向上翻着转化成上图【例4】类型1：已知直线l同侧有两个定点A、B（1）在直线l上找一点P，使PA=PB （2）在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小类型2：已知直线异侧有两个定点A、B，在直线l上找一点P，使的值最大【练3】一束光线射入x轴的点C后进行反射，如果反射的路径经过点A（0，1）和点B（4，3），请确定点C的位置，并写出入射线的解析式。【练4】已知直线 与 轴交于点A ,与 轴交于点D,抛 与直线交于点A,E两点, 与 轴交于点B,C两点，且B点坐标是(1，0)(1)在抛物线对称轴上求一点M 使MA+MB的值最小,求出点M 坐标(2)在抛物线对称轴上求一点M 使/MA-MC/的值最大,求出点M 坐标【例5】小明的学校举行趣味游戏比赛，如右图所示，小明站在A处，BD、CD分别是放着苹果和梨的两张长桌，小明要在最短的时间内分别拿到一个苹果和一个梨，然后再回到A处，请你帮小明设计一路线，使小明赢得游戏【练4】如图所示：在O中，圆的半径长为2，圆心角AOB=60，OA,OB为两条射线，点C是劣弧AB的一个三等分点，D、E分别是射线OA、OB上的动点，求CDE周长的最小值。追加问题：C在弧AB上运动到其他点的情况如何？答案都是【例6】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点，将射线AM绕着点A顺时针旋转得到射线AN。点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点C在MAN的内部。（1）求线段AC的长； （2）当AM/x轴且四边形ABCD为梯形时，求BCD的面积；（3）求BCD周长的最小值；解:（1）直线 y = -x +2与x轴、y轴分别交于C、A两点， 点C的坐标为（2，0），点A的坐标为（0，2）.-1分 AC=4. -2分（2）如图1，当ADBC时，依题意，可知DAB = 45， ABO = 45. OB = OA= 2. OC = 2， BC = 2-2. SBCD=BCOA = 2-2.-3分如图2，当ABDC时.可得SBCD = SACD .设射线AN交x轴于点E. ADx轴， 四边形AECD为平行四边形. SAEC = SACD . SBCD=SAEC =CEOA= 2-2.综上所述，当AMx轴，且四边形ABCD为梯形时，SBCD= 2-2. -4分（3）如图3，作点C关于射线AM的对称点C1，点C关于射线AN的对称点C2. -5分由轴对称的性质，可知CD=C1D，CB=C2B. C2B + BD + C1D= CB + BD +CD.连结AC1、AC2，可得C1AD=CAD，C2AB=CAB，AC1=AC2=AC=4. DAB = 45， C1AC2 =90.连结C1C2. 两点之间线段最短， 当B、D两点与C1、C2在同一条直线上时，BCD的周长最小，最小值为线段C1C2 的长.BCD的周长的最小值为4.【例7】已知在平面直角坐标系中，点A(2，-3)、B（4，-1），点M、N在x轴上，坐标分别为M（a，0），N（a+3，0）（1） 当a取什么值的时候，以A、B、M、N四点为顶点组成的四边形是梯形？a=0.5或a=6.5（2） 当a取什么值的时候，以A、B、M、N四点为顶点组成的四边形周长最短？a=1.25【例8】如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个顶点的坐标分别为A，B（6，0），C，延长AC到点D，使CD=AC，过D点作DEAB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线与 y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点.若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短.（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）解：（1） A（，0），C（0，）， OA=6，OC=设DE与y轴交于点M由DEAB可得 DMCAOC又CD=AC， CM =，MD=3 同理可得 EM=3 OM = D点的坐标为 (3，) （2）由（1）可得点M的坐标为（0，）由 DEAB，EM=MD，可得轴所在直线是线段ED的垂直平分线 点C关于直线DE的对称点F在轴上 ED与CF互相垂直平分 CD=DF=FE=EC 四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心作直线BM 设BM与CD、EF分别交于点S、点T可证FTM CSM FT = CS FE = CD ， TE = SD EC=DF ， TE+ EC + CS+ST =SD+DF+FT+TS 直线MB将四边形CD