高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点课件3 新人教A版必修1.ppt

第三章函数的应用 3 1函数与方程3 1 1方程的根与函数的零点 一 函数的零点1 定义若实数x是函数y f x 的零点 则需满足条件 2 方程的根 函数的图象 函数的零点三者之间的关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有 函数y f x 有 f x 0 交点 零点 思考 函数y x2有零点吗 提示 x 0时 y 0 函数有零点 是0 二 函数零点的判断条件 1 函数y f x 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线 2 结论 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 a b f a f b 0 c a b 判断 正确的打 错误的打 1 只要方程有实数根 则相对应的函数图象一定与x轴有交点 2 若函数f x 在区间 2 6 上有f 2 f 6 0 则函数在此区间内有零点 3 设f x 在区间 a b 上是连续的且是单调函数 且f a f b 0 则方程f x 0在闭区间 a b 内有唯一实数根 提示 1 正确 方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标 即函数的零点 故此说法正确 2 错误 不知道该函数在此区间内的图象是否连续 3 正确 由函数是连续的且f a f b 0知 f x 0在 a b 上至少有一实数根 又f x 在 a b 上单调 从而可知必有唯一实数根 答案 1 2 3 知识点拨 1 对函数零点概念的认识 1 函数的零点的本质是方程f x 0的实数根 因此 函数的零点不是点 而是一个实数 当函数的自变量取这个实数时 函数值为零 2 函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的 若方程没有实数根 则函数没有零点 反映在图象上就是函数图象与x轴无交点 如函数y 3 y x2 1就没有零点 3 方程有几个解 则其对应的函数就有几个零点 如果方程有二重实数根 可以称函数有二重零点 若函数y f x 有零点 则零点一定在其定义域内 2 从三方面正确把握函数零点存在的判断方法 1 并不是所有的函数都有零点 如函数 2 一个函数y f x 在区间 a b 内若具备两个条件 函数在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 f a f b 0 则该函数在 a b 内有零点 反之则不一定成立 3 对于任意的一个函数 即使它的图象是连续不断的 当它通过零点时 函数值也不一定变号 如函数y x2有零点0 但显然当它通过零点时函数值没有变号 类型一求函数的零点 典型例题 1 函数f x x2 3x 4的零点是 a 1 4b 4 1c 1 3d 不存在2 函数f x ax b有一个零点是2 求函数g x bx2 ax的零点 解题探究 1 函数的零点的本质是什么 2 函数的零点与方程的根有何对应关系 探究提示 1 函数的零点的本质是方程f x 0的实数根 因此 函数的零点不是点 而是一个实数 2 函数y f x 的零点就是方程f x 0的实数根 解析 1 选b 令x2 3x 4 0 得x 4或x 1 2 f x ax b有一个零点是2 得2a b 0 则g x bx2 ax 2ax2 ax 令 2ax2 ax 0 则g x 的零点为0和 拓展提升 函数零点的两种求法 1 代数法 求方程f x 0的实数根 2 几何法 画出函数y f x 的图象 则图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点 变式训练 判断下列函数是否存在零点 如果存在 请求出 1 f x x2 2x 4 2 f x 2x 3 解析 1 令x2 2x 4 0 由于 22 4 1 4 12 0 所以方程x2 2x 4 0无实数根 所以函数f x x2 2x 4不存在零点 2 令2x 3 0 解得x log23 所以函数f x 2x 3的零点是log23 类型二函数零点个数的判定 典型例题 1 若函数f x 的定义域为 0 0 且f x 为偶函数 又f x 在 0 上是减函数 f 2 0 则函数f x 的零点有 a 一个b 两个c 至少两个d 无法判断 2 二次函数f x ax2 bx c中 a c 0 则函数的零点个数是 a 1b 2c 0d 无法确定3 求函数f x ln x 1 0 01x的零点的个数 解题探究 1 偶函数图象有何特征 函数图象与函数零点个数有何关系 2 对于二次函数的零点个数的判定 解决此问题的关键点是什么 3 题3中能否直接求出函数零点的个数 若不能 可以考虑利用什么来判断零点的个数 探究提示 1 偶函数的图象关于y轴对称 函数图象与x轴交点个数与对应方程的根的个数相等 方程的根的个数与相应函数零点个数相等 所以函数图象与x轴交点个数与函数零点个数相等 2 解决关于二次函数的零点个数的判定问题 关键是利用判别式来判断相应方程的根的个数 3 不能 根据零点的含义 可以借助函数的图象来判断零点的个数 解析 1 选b 依据给出的函数性质 易知f 2 0 画出函数的大致图象如图 可知f x 有两个零点 2 选b b2 4ac a c0 方程ax2 bx c 0有两个根 故函数有两个零点 3 方法一 因为f 3 ln2 0 03 0 f 1 5 ln2 0 015 0 所以f 3 f 1 5 0 说明函数f x ln x 1 0 01x在区间 1 5 3 内有零点 又y ln x 1 与y 0 01x在 1 上都是增函数 所以f x 在 1 上是增函数 所以该函数只有一个零点 方法二 在同一坐标系内作出h x ln x 1 和g x 0 01x的图象 如图 由图象知h x ln x 1 和g x 0 01x有且只有一个交点 即f x ln x 1 0 01x有且只有一个零点 互动探究 若题2中二次函数改为 f x cx2 bx a 条件 a c0 函数有两个零点 答案 2 拓展提升 确定函数零点个数的方法 1 分解因式法 可转化为一元n次方程根的个数问题 一般采用分解因式法来解决 2 判别式法 可转化为一元二次方程根的个数问题 通常用判别式法来判断根的个数 3 图象法 指数函数和对数函数零点个数问题一般用图象法来解决 4 单调性法 常规方法不易判断时 可利用函数的单调性来判断函数零点的个数 类型三判断函数零点所在区间 典型例题 1 已知函数f x x3 x 1仅有一个正零点 则此零点所在的区间是 a 3 4 b 2 3 c 1 2 d 0 1 2 已知函数f x 在区间 a b 上单调且图象连续 且f a f b 0 则函数f x 在区间 a b 上 a 至少有三个零点b 可能有两个零点c 没有零点d 必有唯一零点 解题探究 1 函数零点存在性定理的两个必备条件是什么 常采用怎样的策略来解决函数零点所在区间问题 2 函数在区间 a b 上存在唯一零点应具备什么条件 探究提示 1 两个必备条件是 1 函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 2 f a f b 0 确定函数的零点 方程的根所在的区间时 通常利用零点存在性定理 转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反 2 除应具备函数零点存在的两个条件外 还需要函数在此区间上单调 解析 1 选c f 0 10 f 1 f 2 0 此零点一定在 1 2 内 2 选d 函数f x 在区间 a b 上单调且图象连续 故其图象与x轴至多有一个交点 又f a f b 0 所以必有一个交点 拓展提升 判断函数零点所在区间的三个步骤 1 代 将区间端点代入函数求出函数的值 2 判 把所得函数值相乘 并进行符号判断 3 结 若符号为正且函数在该区间内是单调函数 则在该区间内无零点 若符号为负且函数连续 则在该区间内至少有一个零点 变式训练 方程2x x 0在下列哪个区间内有实数根 a 2 1 b 0 1 c 1 2 d 1 0 解析 选d 令f x 2x x f 1 f 0 1 0 f x 2x x的零点在区间 1 0 内 故2x x 0在区间 1 0 内有实数根 典型例题 1 已知函数f x x a x b 1 a b 且m n是方程f x 0的两个根 m n 则实数a b m n的大小关系可能是 a m a b nb a m n bc m a n bd a m b n2 方程x2 3x a 0的两根均大于1 求实数a的取值范围 一元二次方程的区间根问题 解析 1 选b 由函数f x x a x b 1 可得f a f b 1 又m n是方程f x 0的两个根 故可画出函数的大致图象如图 所以应该有a m n b 2 方法一 设x1 x2为方程x2 3x a 0的两根 则x1 x2 3 x1x2 a 要使两根都大于1 需满足 将x1 x2 3 x1x2 a代入不等式组得 2 a 方法二 设f x x2 3x a 则其图象开口向上 且与x轴的交点均在点 1 0 右侧 所以有解得2 a 拓展提升 解决一元二次方程根的分布问题的方法 1 首先画出符合题意的草图 转化为函数问题 2 结合草图考虑三个方面 与0的大小关系 对称轴与所给端点值的关系 端点的函数值与零的关系 3 写出由题意得到的不等式 组 4 由得到的不等式 组 去验证图象是否符合题意 这类问题充分体现了函数与方程的思想 也体现了方程的根就是函数的零点 在写不等式 组 时 要注意条件的完备性 易错误区 忽视函数零点的存在性定理的条件致误 典例 2012 衡阳高一检测 函数f x x 的零点的个数为 a 0b 1c 2d 3 解析 选a 函数f x 的定义域为 x x 0 当x 0时 f x 0 当x 0时 f x 0 但此函数在定义域内的图象不连续 所以函数没有零点 故选a 类题试解 1 函数的零点的个数为 a 0b 1c 2d 3 解析 选c 当x 0时 令x2 2x 3 0 解得x 3 当x 0时 令 2 lnx 0 解得x e2 所以函数有2个零点 2 函数y log2 x2 1 的零点是 解析 令log2 x2 1 0 即x2 1 1 x 0 答案 0 防范措施 明确定理成立的条件零点存在性定理成立的条件有两个 一是函数在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 二是f a f b 0 这两个条件缺一不可 如果其中一个条件不成立 那么就不能在区间 a b 上使用该定理 如本例f x x 在 1 1 上不连续 故不能在区间 1 1 上直接使用零点存在性定理 1 函数f x 2x m的零点为4 则实数m的值为 a 6b 8c d 解析 选b f x 2x m的零点为4 所以 2 4 m 0 m 8 2 若函数f x x2 2x a没有零点 则实数a的取值范围是 a a1c a 1d a 1 解析 选b 函数f x x2 2x a没有零点 即方程x2 2x a 0没有实数根 所以 4 4a1 3 函数f x x3 2x2 3x的零点有 a 一个b 两个c 三个d 无零点 解析 选a 令x3 2x2 3x x x2 2x 3 0 方程x2 2x 3 0的 2 2 4 3 0 x2 2x 3 0没有实数根 故方程x3 2x2 3x 0有实数根x 0 所以f x