广东省深圳高中高一数学下学期期末试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年广东省深圳高中 高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合a=x|（x+1）（4x）0，集合b=y|y=2sin3x，则ab=（）a （1，2b （ 2，4 ）c 2，1 ）d 2，22下列四个函数中，在（0，+）上为增函数的是（）a f（x）=3xb f（x）=x23xc d f（x）=log2|x|3某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）a 12+4b 18+8c 28d 20+84在abc中，若2cosbsina=sinc，则abc的形状一定是（）a 等腰直角三角形b 直角三角形c 等腰三角形d 等边三角形5已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）a b c d 6已知数列an为等比数列，sn是它的前n项和，若a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则s5=（）a 35b 33c 31d 297abcd为空间四边形，ab=cd，ad=bc，abad，m、n分别是对角线ac与bd的中点，则mn与（）a ac、bd之一垂直b ac、bd都垂直c ac、bd都不垂直d ac、bd不一定垂直8设变量x，y满足，则（x+y）2的最大值是（）a 9b 3c 2d 19设l为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）a 若l，l，则b 若l，l，则c 若l，l，则d 若，l，则l10两圆相交于两点a（1，3）和b（m，n），且两圆圆心都在直线xy2=0上，则m+n的值是（）a 1b 2c 3d 411一个动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点（3，0）连线中点的轨迹方程是（）a （x+3）2+y2=4b （x3）2+y2=1c （x+）2+y2=d （2x3）2+4y2=112已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度|=|sin，若=（2，0），=（1，），则|（+）|=（）a 4b c 6d 2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13abc的三个内角a，b，c所对的边分别为a，b，c且asinasinb+bcos2a=a，则=14等差数列an的前n项的和为sn，若a1=24，s17=s10则sn取最大值时n的值为15已知正方体的棱长为a，该正方体的外接球的半径为，则a=16曲线与直线y=k（x2）+4有两个交点，则实数k的取值范围为三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）17已知abc的内角为a、b、c，其对边分别为a、b、c，b为锐角，向量=（2sinb，），=（cos2b，2cos21），且（1）求角b的大小；（2）如果b=2，求sabc的最大值18如图，正四面体sabc中，其棱长为2（1）求该几何体的体积；（2）已知m，n分别是棱ab和sc的中点求直线bn和直线sm所成的角的余弦值19已知直线l：y=k（x+2）与圆o：x2+y2=4相交于a、b两点，o是坐标原点，三角形abo的面积为s（）试将s表示成的函数s（k），并求出它的定义域；（）求s的最大值，并求取得最大值时k的值20如图，在直三棱柱abca1b1c1中，平面a1bc侧面a1abb1，且aa1=ab=2（1）求证：abbc；（2）若直线ac与平面a1bc所成的角为，求锐二面角aa1cb的大小21已知数列an的前n项和为sn，设an是sn与2的等差中项，数列bn中，b1=1，bn+1=bn+2（1）求an，bn；（2）若数列bn的前n项和为bn，比较+与2的大小；（3）令tn=+，是否存在正整数m，使得tnm对一切正整数n都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由22已知函数f（x）=x2+ax+b（a，br），g（x）=2x24x16，且|f（x）|g（x）|对xr恒成立（1）求a、b的值；（2）记h（x）=f（x）4，那么当k时，是否存在区间m，n（mn），使得函数h（x）在区间m，n上的值域恰好为km，kn？若存在，请求出区间m，n；若不存在，请说明理由2014-2015学年广东省深圳高中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合a=x|（x+1）（4x）0，集合b=y|y=2sin3x，则ab=（）a （1，2b （ 2，4 ）c 2，1 ）d 2，2考点：交集及其运算专题：集合分析：求出a中不等式的解集确定出a，求出b中y的范围确定出b，即可确定出两集合的交集解答：解：由a中不等式变形得：（x+1）（x4）0，解得：x1或x4，即a=（，1）（4，+），由b中y=2sin3x，得到22sin3x2，即2y2，b=2，2，则ab=2，1），故选：c点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2下列四个函数中，在（0，+）上为增函数的是（）a f（x）=3xb f（x）=x23xc d f（x）=log2|x|考点：函数单调性的判断与证明专题：函数的性质及应用分析：根据函数单调性的性质分别进行判断即可解答：解：af（x）=3x在（0，+）上为减函数bf（x）=x23x=（x）2在（0，+）上为不单调c.=1在（0，+）上为增函数d当x0时，f（x）=log2x在（0，+）上为减函数故选：c点评：本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握掌握常见函数的单调性，比较基础3某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）a 12+4b 18+8c 28d 20+8考点：由三视图求面积、体积专题：计算题；空间位置关系与距离分析：几何体是直三棱柱，由三视图判断三棱柱的高，判断底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入表面积公式计算解答：解：由三视图知：几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，斜边长为=2，几何体的表面积s=222+（2+2+2）4=4+16+8=20+8故选：d点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键4在abc中，若2cosbsina=sinc，则abc的形状一定是（）a 等腰直角三角形b 直角三角形c 等腰三角形d 等边三角形考点：两角和与差的正弦函数专题：计算题分析：在abc中，总有a+b+c=，利用此关系式将题中：“2cosbsina=sinc，”化去角c，最后得到关系另外两个角的关系，从而解决问题解答：解析：2cosbsina=sinc=sin（a+b）sin（ab）=0，又b、a为三角形的内角，a=b答案：c点评：本题主要考查三角函数的两角和与差的正弦函数，属于基础题，在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，另一个方向是角，走三角变换之路5已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）a b c d 考点：正弦函数的图象专题：三角函数的图像与性质分析：函数f（x）=1+asinax的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为|a|，周期为，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象解答：解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：，|a|1，t2，而d不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2对于选项a，a1，t2，满足函数与图象的对应关系，故选d点评：由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键6已知数列an为等比数列，sn是它的前n项和，若a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则s5=（）a 35b 33c 31d 29考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：用a1和q表示出a2和a3代入a2a3=2a1求得a4，再根据a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入s5即可解答：解：a2a3=a1qa1q2=2a1a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2q=，a1=16故s5=31故选c点评：本题主要考查了等比数列的性质属基础题7abcd为空间四边形，ab=cd，ad=bc，abad，m、n分别是对角线ac与bd的中点，则mn与（）a ac、bd之一垂直b ac、bd都垂直c ac、bd都不垂直d ac、bd不一定垂直考点：空间中直线与直线之间的位置关系专题：空间位置关系与距离分析：连接am、cm，由sss可得abdcdb，进而根据全等三角形对应边上的中线相等，可得am=cm，即acm是等腰三角形，进而根据等腰三角形三线合一，可得mnac；同理，mnbd解答：解：连接am、cm，在abd与cdb中，abdcdb又am、cm分别为两全等三角形对应边bd上的中线，am=cmacm是等腰三角形，又mn为acm底边ac上的中线，mnac同理，mnbd 故mn与ac、bd都垂直故选b点评：本题考查的知识点是空间直线与直线之间的位置关系，熟练掌握空间直线与直线位置关系的定义，几何特征及证明方法是解答的关键8设变量x，y满足，则（x+y）2的最大值是（）a 9b 3c 2d 1考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：由题意，画出平面区域，首先求出（x+y）的范围，可求（x+）2的最大值解答：解：由约束条件，画出可行域如图所示，由，得到a（2，1），z=x+y在点a（2，1）取得最大值，在（0，1）处取最小值，所以（x+y）2的最大值为9故选a点评：本题考查了线性规划，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题9设l为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）a 若l，l，则b 若l，l，则c 若l，l，则d 若，l，则l考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系专题：空间位置关系与距离分析：根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断a；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断b；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断c；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断d解答：解：若l，l，则平面，可能相交，此时交线与l平行，故a错误；若l，l，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得b正确；若l，l，则存在直线m，使lm，则m，故此时，故c错误；若，l，则l与可能相交，可能平行，也可能线在面内，故d错误；故选b点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键10两圆相交于两点a（1，3）和b（m，n），且两圆圆心都在直线xy2=0上，则m+n的值是（）a 1b 2c 3d 4考点：圆与圆的位置关系及其判定专题：直线与圆分析：求出a、b的中点坐标，代入直线方程，求出ab的斜率，推出方程组，求解即可解答：解：两圆相交于两点a（1，3）和b（m，n），且两圆圆心都在直线xy2=0上，可得kab=1，即1=，ab的中点（）在直线上，可得，由可得m=5，n=1；m+n=4故选：d点评：本题考查两个圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力11一个动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点（3，0）连线中点的轨迹方程是（）a （x+3）2+y2=4b （x3）2+y2=1c （x+）2+y2=d （2x3）2+4y2=1考点：轨迹方程专题：计算题；直线与圆分析：根据已知，设出ab中点m的坐标（x，y），根据中点坐标公式求出点a的坐标，根据点a在圆x2+y2=1上，代入圆的方程即可求得中点m的轨迹方程解答：解：设中点m（x，y），则动点a（2x3，2y），a在圆x2+y2=1上，（2x3）2+（2y）2=1，即（2x3）2+4y2=1故选d点评：此题是个基础题考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式，体现了数形结合的思想以及分析解决问题的能力12已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度|=|sin，若=（2，0），=（1，），则|（+）|=（）a 4b c 6d 2考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：利用数量积运算和向量的夹角公式可得=再利用平方关系可得，利用新定义即可得出解答：解：由题意，则，=6，=2，=2=即，得，由定义知，故选：d点评：本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考查了计算能力，属于基础题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13abc的三个内角a，b，c所对的边分别为a，b，c且asinasinb+bcos2a=a，则=考点：正弦定理；解三角形专题：计算题；解三角形分析：由正弦定理与同角三角函数的平方关系，化简整理题中的等式得sinb=sina，从而得到b=，可得答案解答：解：abc中，根据正弦定理，得，可得sinb（sin2a+cos2a）=sina，sin2a+cos2a=1，sinb=sina，得b=，可得=故答案为：点评：本题给出三角形满足的边角关系式，求边a、b的比值着重考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题14等差数列an的前n项的和为sn，若a1=24，s17=s10则sn取最大值时n的值为13或14考点：数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：设等差数列an的公差为d，由s17=s10利用等差数列的前n项和公式可得a1+13d=0，即a14=0，即可得出解答：解：设等差数列an的公差为d，s17=s10=，化为a1+13d=0，即a14=0，又a1=240，当n=13或14时，sn取得最大值故答案为：13或14点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15已知正方体的棱长为a，该正方体的外接球的半径为，则a=2考点：球内接多面体专题：计算题；空间位置关系与距离分析：正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的直径，利用正方体的外接球的半径为，即可求出a解答：解：正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径，所以球的直径为：a，因为正方体的外接球的半径为，所以a=2，所以a=2故答案为：2点评：本题考查正方体的外接球的半径，解题的关键在正方体的体对角线就是它的外接球的直径，考查计算能力，是基础题16曲线与直线y=k（x2）+4有两个交点，则实数k的取值范围为考点：直线与圆相交的性质专题：数形结合；转化思想分析：先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围解答：解：可化为x2+（y1）2=4，y1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y1的部分直线y=k（x2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过a（2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个且kap=，由直线与圆相切得d=2，解得k=则实数k的取值范围为故答案为：点评：本题考查直线与圆相交的性质，同时考查了学生数形结合的能力，是个基础题三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）17已知abc的内角为a、b、c，其对边分别为a、b、c，b为锐角，向量=（2sinb，），=（cos2b，2cos21），且（1）求角b的大小；（2）如果b=2，求sabc的最大值考点：余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数专题：解三角形分析：（1）利用，结合两角和与差的三角函数化简，即可求解b的大小（2）通过余弦定理推出ac的范围然后求解三角形的面积的最值解答：解：（1），（b为锐角），；（2）由得ac=a2+c24，a2+c22ac，ac4，即sabc的最大值为点评：本题考查向量的三角形中的应用，余弦定理的应用，考查计算能力18如图，正四面体sabc中，其棱长为2（1）求该几何体的体积；（2）已知m，n分别是棱ab和sc的中点求直线bn和直线sm所成的角的余弦值考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角专题：空间位置关系与距离分析：（1）取三角形abc 的中心o，连接so，说明so为正四面体的高，求出底面面积与高，即可求解几何体的体积（2）连接mc，取mc中点e，连接be，ne，bn，说明直线bn和直线ne所成的角即为直线bn和直线sm所成的角通过解三角形求解即可解答：解：（1）取三角形abc 的中心o，连接so，由正四面体的性质知，so为正四面体的高，（6分）（2）连接mc，取mc中点e，连接be，ne，bn，则ne平行于sb则直线bn和直线ne所成的角即为直线bn和直线sm所成的角bn=，ne=，be=，该几何体的体积，直线bn和直线sm所成的角的余弦值（12分）点评：本题考查几何体的体积的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力逻辑推理能力19已知直线l：y=k（x+2）与圆o：x2+y2=4相交于a、b两点，o是坐标原点，三角形abo的面积为s（）试将s表示成的函数s（k），并求出它的定义域；（）求s的最大值，并求取得最大值时k的值考点：直线与圆的位置关系；二次函数的性质专题：计算题；压轴题分析：（）先求出原点到直线的距离，并利用弦长公式求出弦长，代入三角形的面积公式进行化简（）换元后把函数s的解析式利用二次函数的性质进行配方，求出函数的最值，注意换元后变量范围的改变解答：解：（）直线l方程，原点o到l的距离为（3分）弦长（5分）abo面积|ab|0，1k1（k0），（1k1且k0）（8分），（） 令 ，当t=时，时，smax=2（12分）点评：本题考查点到直线的距离公式、弦长公式的应用，以及利用二次函数的性质求函数的最大值，注意换元中变量范围的改变20如图，在直三棱柱abca1b1c1中，平面a1bc侧面a1abb1，且aa1=ab=2（1）求证：abbc；（2）若直线ac与平面a1bc所成的角为，求锐二面角aa1cb的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）取a1b的中点d，连接ad，由已知条件推导出ad平面a1bc，从而adbc，由线面垂直得aa1bc由此能证明abbc（2）连接cd，由已知条件得acd即为直线ac与平面a1bc所成的角，aed即为二面角aa1cb的一个平面角，由此能求出二面角aa1cb的大小解答：（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取a1b的中点d，连接ad，（1分）因aa1=ab，则ada1b（2分）由平面a1bc侧面a1abb1，且平面a1bc侧面a1abb1=a1b，（3分）得ad平面a1bc，又bc平面a1bc，所以adbc（4分）因为三棱柱abca1b1c1是直三棱柱，则aa1底面abc，所以aa1bc又aa1ad=a，从而bc侧面a1abb1，又ab侧面a1abb1，故abbc（7分）（2）解：连接cd，由（1）可知ad平面a1bc，则cd是ac在平面a1bc内的射影acd即为直线ac与平面a1bc所成的角，则（8分）在等腰直角a1ab中，aa1=ab=2，且点d是a1b中点，且，（9分）过点a作aea1c于点e，连de由（1）知ad平面a1bc，则ada1c，且aead=aaed即为二面角aa1cb的一个平面角，（10分）且直角a1ac中：又，且二面角aa1cb为锐二面角，即二面角aa1cb的大小为（14分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养21已知数列an的前n项和为sn，设an是sn与2的等差中项，数列bn中，b1=1，bn+1=bn+2（1）求an，bn；（2）若数列bn的前n项和为bn，比较+与2的大小；（3）令tn=+，是否存在正整数m，使得tnm对一切正整数n都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：（1）由题意可得2an=sn+2，故可得2an+1=sn+1+2，两式相减可得数列an是2为首项，2为公比的等比数列，又数列bn是1为首项，2为公差的等差数列，可得