等离子体物理讲义04_动理学理论矩方程.pdf

1 等离子体物理学讲义 No 4 马 石 庄 2012 02 29 北京 2 第 4 讲 动理学理论和矩方程 第 4 讲 动理学理论和矩方程 教学目的 教学目的 学习从动理学方程建立等离子体宏观模型的方法 建立粒 子轨道与等离子体整体行为之间的联系 熟悉双流体模型的基本特征 从等离子体的广义 Ohm 定律认识磁化等离子体的各向异性 主要内容 主要内容 1 分布函数 4 1 1 Maxwell 分布 5 1 2 动理学方程 9 1 3 速度矩 13 2 流体模型方程 17 2 1 双流体方程 17 2 2 磁流体模型 22 2 3 流体漂移 27 3 等离子体输运 31 3 1 BGK 方程 32 3 2 双极扩散 38 3 2 经典扩散 40 习题 4 42 3 在等离子体中 实际情形要比粒子轨道理论描述的复杂得多 电 场和磁场不能事先给定 而应由带电粒子本身的位置和运动来确定 必须解一个自洽问题 self consistent problem 寻找这样一组随时 间变化的粒子轨道和场 使得粒子沿着它们的轨道运动时产生场 而 场使粒子在它们的确切轨道上运动 典型等离子体密度可以达到每立方米包含10 10 个离子 电子对 每个粒子都遵循一条复杂的轨道 跟踪每一条轨道导出等离 子体的行为将是一个无望的工作 幸好这通常是不必要的 出人意外 的是 一个看似粗糙的模型能解释实际实验中所观察到的 80 的等 离子体现象 这就是流体力学的连续介质模型 它忽略了个别粒子的 本性 而只考虑流体质点的运动 粒子间的频繁碰撞使得流体质点中 的粒子一起运动 在等离子体情形中 流体还要包含电荷 这样一个 模型适用于一般不发生频繁碰撞的等离子体 流体模型能用于等离子体的一个原因是 在某种意义上磁场起到 了碰撞的作用 例如 当粒子被电场加速时 如果许可粒子自由流动 就会连续地增加速度 当存在频繁的碰撞时 粒子就达到一个与电场 成正比的极限速度 磁场通过使粒子以 Larmor 轨道回旋 能限制粒 子自由流动 等离子体中的电子也以正比于电场的速度一起漂移 在 这个意义上 一个无碰撞等离子体的行为类似于一个有碰撞流体 当 然 粒子可以沿着磁场方向自由运动 流体模型对此并不特别合适 对 于垂立于磁场的运动 流体理论是一种很好的近似 4 1 分布函数 1 分布函数 统计力学引入粒子的分布函数 描述大量粒子组成的 体系 在相空间 中 分布函数 的意义是 d d 是粒子空间位置在 运动速度为 的数目 显然有 d d 和 d 其中特别注意 积分号出现的d 和 d 分别是位移空间和速度空间的 体积元 是系统的粒子总数 是粒子数密度 即单位体积中 的粒子数 如果粒子的质量为 则粒子的质量密度或体密度为 因为等离子体中包含多种带电粒子 至少一种以上的正电荷离子 和带负电荷的电子 所以要将分布函数加以区别 必须对每个种类考 虑其分布函数 设 类粒子的分布函数为 这种处理称为 动理学理论1 kinetic theory 一般地可以对函数 定义速度矩 d d 1 d 其中尖括号 表明对速度分布求平均 理论上 函数 是任意的 1 Kinetic 原译为 运动的 有鉴于 动力的 前者与 kinematic 混淆 后者与 dynamic 混淆 2002 年中国物理学会物理名词委员会协商 将 Kinetic 译为 动理的 于是 kinetic theory of gases 原定名为 分子运动论 更名为 分子动理学理论 5 可以是标量 矢量 也可以是张量 1 1 Maxwell 分布 1 1 Maxwell 分布 统计力学证明 达到热力学平衡的系统满足一个特别重要的分 布函数 Maxwell 分布 2 exp 其中 2 用定积分 exp d 很容易证明 对d d d 的积分为 服从 Maxwell 分布有几种常用的平均速度 均方根速度为 3 平均速度大小可按下式求出 1 d 由于 是各向同性的 在 空间 用球坐标很容易作出积分 因为 每个球壳的体积元是4 得到 2 exp 4 d 4 exp d 2 其中 1 2 在单 它的 向同 零 方括 从假 概括 是 中用分部 2 这样 单个方向 的平均就 同性分布 1 括号里面 这样得 假想平面 括地说 对 3 对于类似 的 积分求出 2 2 的速度分 有所不同 等于零 ex 的二个积 得到 的一边穿 对于 Max 3 似麦克斯 函数 出定积分的 2 分量 譬如 同 当然 但是 d 2 p 积分分别都 穿越到另一 1 2 xwell 分布 2 斯韦的各向 6 的值为 如说 对各 不为 d 都等于 一边的无规 布而言 2 向同性分布 2 ex exp 最后 2 规则运动通 1 4 布 能定义 xp d 后一个积分 通量为 2 义另一个函 d 分简单 值 函数 值为 0 它 对于 这是 维 来表 如果 一维 面的 定 峰值 交线 将给 初步 于 Maxwe 是普通物理 Maxwell 0却是零 表示 果不减少维 维系统中 的交线是速 的粒子密 值的曲线应 线 它们 给出 的拓 步观念是很 ell 分布 理热学中 分布 零 这恰好 但是 维数 要在 速度分布 密度分布 应当表示 是水平曲 拓扑映射图 很有用的 可以看到 4 2 给出的 M 之间的差 好是 0 与其宗量 在给定时 能被描 布 这 布 如果所 示密度分布 曲线成常 图 这样的 7 到 2 Maxwell 分 差别 虽然 0处相空间 量和 时间 绘制出 描述为一个 这个曲面和 所有曲线 布 图中的 曲线 这 的图对于 d exp 分布形式 然 在 间体积为零 与其宗量 出 个曲面 这 和 常 碰巧 的虚线是曲 这些曲线在 获得等离 下图说明 0是极 零的结果 量的函数关 的图是不 这个曲面和 常数平面的 巧有相同的 曲面和 在 平 离子体具有 明了 和 极大 有时用 关系是不同 不可能的 和 常数 的交线给出 的形状 通 常数平面 平面上的投 有怎样行为 和一 在 同的 在 数平 出给 通过 面的 投影 为的 点的 形 图 且 则 圆 圆等 个在 字命 如果考 的 则 式 的 有 关 例如如果 对 各问异性 等值线 一 在 方向传 Irving 命名的静 考虑在空间 则能得到另 关 的 等 果运动是二 是各向同 的等值线 性的分布会 一个漂移 传播的粒子 Langmui 电探针 发 间给定 另一种 等 值 线 二维的 同性的 线将是 会有椭 Maxwell 子束应当作 ir 的经验观 发现电子分 8 分布会有 作为一个独 观察支持 分布函数 有偏离原点 独立的尖 持了流体理 数比起碰撞 点的圆周等 尖峰而显示 理论 他用 撞率所能说 等值线 而 示出来 用了以他的 说明的分布 而一 的名 布大 9 大接近 Maxwell 分布 这个现象称作 Langmuir 佯谬 这个现象迄今 并没有得到令人满意的解决 1 2 动理学方程 1 2 动理学方程 考虑在 6 维 空间运动的粒子 分布函数随时间的变化由两 种原因 一是粒子运动引起的 即由粒子受到外部长程力作用引起的 运动 二是粒子之间相互作用 碰撞 引起的 设在时间 空间位 置在 运动速度为 的位于相空间体积元 中的 粒子数目为 d d 经过 时间后 原来处于相体积元 中的粒子 因粒子运动或外场 作用全部进入对应的相体积元 粒子数目是不变的 d d d d 其中 d d 表示在 时刻 空间位置在 运动速度为 的位于相空间体积元d d 中的 粒子数目 且有 与此同时 在时间 内 因为粒子相互作用 碰撞 使得一 部分粒子进入新相体积元d d 而另一部分粒子离开旧相体积元 d d 两相抵扣为因为碰撞作用进入新相体积元d d 的净粒子数目 d d 10 考虑粒子运动和碰撞引起的分布函数变化 d d d d d d 在这个过程中 相体积元发生变形 新旧相体积元的关系为 d d d d 由于 1 有 d d 1 d d 符号 代表空间的梯度 代表速度空间的梯度 如通常用法一样 在直角坐标系中 和 11 既然 与 都是独立变数 因此 0 在非相对论条件下 0 这就意味相空间体积元不变 1 即 d d d d 考虑粒子运动和碰撞引起的分布函数变化 将 对 作 Taylor 展开 不考虑碰撞作用时 相体积元变化粒子数不变 因此 d d d d 保留一阶 近似和相体积元体积不变 d d d d 因为 相体积元d d 的任意性 得到 此即关于粒子分布函数演化的支配方程 称为动理学方程 在 1872 年由 L E Boltzmann 首先提出 也称为 Boltzmann 方程 12 因为等离子体中包含多种粒子 不妨设为 种 那么描写这个粒 子体系的相空间是6 维的 1 2 对于第 种粒子的分布函数 在相空间中演化的动理学 方程为 其中 表示第 种粒子所受的外力场 包括外场和等离子体内部的 平均场 自洽场 而碰撞作用项为 表示因碰撞引起的单位时间内第 种粒子的净增加数 是各类粒子碰 撞作用的总和 也包括同类粒子之间的碰撞 特别需要指出的是 碰 撞项依模型或近似方法不同而不同 既可以是积分算子 也可以是微 分算子 统称为碰撞算子 在足够热的等离子体中 因碰撞引起的单位时间内第 种粒子的 数目保持恒定 则碰撞可以忽略 而且 如果 完全是电磁力 则动 理学方程取下面的特殊形式 0 这个方程称为 Vlasov 方程 1938 年 Anatoly Vlasov 1908 1975 引入的 对于电子和离子而言 分布函数 和 分别满足 加上求平 均后的 Maxwell 方程 形成耦合方程组 这样确定的电场和磁场称为 13 自洽场 1 3 速度矩 1 3 速度矩 在等离子体物理中 研究的是宏观平均物理量而不是分布函数的 详细形式 一般说来 物理上有意义的只有 1 1 2 这三种 分别与质量 动量和能量相联系 对于普通流体 用三种矩 方程可以得到流体力学方程租 实际上有物理测量意义的分别为一阶矩 二阶矩和三阶矩的一部 分 当 时 速度分布的一阶矩为粒子的平均速度 1 d 定义粒子的无规热运动速度为 则有 1 d 0 粒子通量矢量 d 当 二阶矩是二阶张量 共有 9 个分量 定义 14 和 为热压强张量 其中对角项 非对角项 是对称的 所以非对角项只有 3 个是独立分量 如果体系处于局部热平衡状态 粒子服从局部 Maxwell 分布 2 exp 2 则 即 3 3 所以 的迹是与热压强 成正比 粒子体系的总动能密度 1 2 1 2 3 2 其中第一项为单位体积平均运动动能 第二项为热运动动能 定义粘滞应力张量 15 或 显然是对称的 只有三个非对角项是独立的 于是有 当 三阶矩共有 27 个分量 但是有物理测量意义的 只有 3 个分量 构成一个矢量 一阶张量 1 2 1 2 1 2 其中第三项与热运动相关 定义热流矢量 1 2 则有 1 2 右方第一项 为粒子的整体运动携带的平均动能 第二项为粒子整 体运动压强张量所做的功率 当 0时 这两项都为零 第三项为 由于粒子之间的碰撞引起的热量从高温流体质点到低温流体质点的 流动 即使 0也存在 把速度函数 两边乘以动理学方程 得到一般的速度矩方程 d d d d 16 分别计算各项 d d d d d 边界 d 上式分部积分的的第一项 边界 0 这是因为 0 0 最后一项对 Lorentz 力的积分 分部积分得到 d d d 同样运用了边界条件 边界 0 和 0 最后得到速度矩方程 17 d 理论上 反映了速度矩所代表的宏观量时间演化过程 应用各阶速度 矩及其矩方程 可以得到支配等离子体宏观物理量的支配方程 2 流体模型方程 2 流体模型方程 对于等离子体而言 因为存在不同种类的带电粒子 至少含有一 种正离子和电子 当离子和电子没有达到平衡 则离子和电子应作为 两种不同的粒子系统 宏观上应表现为两种不同的流体 因此就得到 两种不同的流体力学方程 称为双流体流体力学方程 2 1 双流体方程 零阶矩 数密度守恒 2 1 双流体方程 零阶矩 数密度守恒 把 1代入矩方程 在推导方程中 暂时省略掉粒子种类的角标 在计算矩方程的碰撞项的贡献时 假定 粒子之间无电离和复合等过程发生 即只发生弹性碰撞 在矩方程中 总有 d 0 即弹性碰撞没有改变粒子的数密度 立即得到对离子和电子分别成立 的粒子数守恒方程 0 18 也称为连续性方程 如果在非相对论条件下 两端可以同时乘以质量 用 表示粒子质量密度 就得到质量守恒方程 0 一阶矩 动量守恒 一阶矩 动量守恒 把 代入矩方程 得到 其中碰撞积分 d d d 宏观上表现为摩擦阻力 利用 得到 此为流体质点的运动方程 再利用粒子数守恒方程 得到 d d 其中 d d 表示随体微商 是随流体质点运动轨道计算的时间微商 方程左边表 示流体质点动量变化率 右边是流体质点说受到的力作用 除了以平 均速度 运动的流体质点感受到的电磁力 外 是热 压力 是粘滞力 是 类粒子与其他种类 粒子弹性碰撞后 19 类粒子损失动量引起流体质点的摩擦阻力 由于同类粒子弹性碰撞 后动量守恒 同类粒子间碰撞对 没有贡献 二阶矩 能量守恒二阶矩 能量守恒 把 2代入矩方程 得到总动能 守恒方程 其中 1 2 1 2 并且用到 1 2 1 2 0 而 1 2 d 1 2 2 d 1 2 d 1 2 d 其中 1 2 d 为不同种类粒子的弹性碰撞导致的热能交换 因为弹性碰撞动能守恒 同种类粒子的弹性碰撞没有热能交换 单位体积平均运动动能 第二 项为热运动动能 总动能守恒方程的意义是 左方表示的空间固定一点的流体质点 动能的变化率等于右边各项之和 表示从流体质点表面流入的 20 净能流 为电场对流体质点做的功率 即 Ohm 加热 为 摩擦阻力做的功率 为不同种类粒子弹性碰撞交换的热能 应用连续性方程和动量守恒方程 可以把总动能守恒方程改写为 热能平衡的形式 3 2 d d 此式用动力学温度 表示热能 因而常用于描述温度随时间变化过 程 方程各项的意义是显然的 左方表示的空间固定一点的流体质点 动能的变化率等于右边各项之和 为内摩擦 粘滞力 摩 擦阻力做的功率 为热传导 为不同种类粒子弹性碰撞交换 的热能 如果流体的宏观速度 0 则表明流体质点的温度变化仅 来源于热传导和粒子弹性碰撞交换的热能 在推导演算过程中 直接取 2 方便些 两边乘以动理学方程 注意到 0 d d d d 其中 d d d 21 因此在矩方程中用 替换 增加一项 矩方程 各项为 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 0 1 2 0 碰撞项 d 1 2 d 综上所属 对于第 类带电粒子而言 的基本方程组为带电粒子的 运动方程和连续性方程 d d 0 3 2 d d 22 其中随体导数为 d d 状态方程 为简单起见假定等离子体只有两种 离子和电子 推广到更多种是不 难的 称为双流体模型 需要指出 由动理学方程求速度矩得到双流体力学方程是严格精 确的 但是不封闭的 这在动理学方程 0 的第二项中可以看出 在求任一阶速度矩方程 总含有有更高一阶的 分量 所以无论如何增加矩方程的阶数 方程组都不可能封闭 因此 要求解方程组 使其封闭 在一定条件下 略去高阶矩 或高阶矩用 低阶矩表示 这样才能获得封闭的矩方程组 这时 电荷和电流密度 为 2 2 磁流体模型 2 2 磁流体模型 如果等离子体中的电子和离子之间耦合的如此紧密 使得电中 性条件总能满足 而且研究问题的时间变化足够缓慢 离子和电子的 运动速度小于离子的热运动速度 足以使得离子和电子达到热平衡 具有相同的温度 那么就可以把等离子体中的离子和电子看成一种 23 流体 即等离子体的单流体模型 满足的运动方程称为磁流体力学 MagnetoHydroDynamics 方程 从等离子体的双流体模型出发 可以定义磁流体的宏观物理量 如下 粒子数密度 质量密度 其中 是 类带电粒子的宏观运动速度 不要和微观速度 混淆 它们之间的关系是 1 d 中性流体质点速度定义为质心运动速度 带电粒子的热运动速度 须参照质心运动速度而言 注意这样定义的热运动速度平均值 0 由带电粒子的热运动速度 的二阶矩 三阶矩的平均值 可以定义 压强张量 24 其中压强 为压强张量的对角分量 为压强张量的对角 分量 磁流体质点的总压强张量为 其中 热流矢量 1 2 总热流矢量 根据以上定义 可以得到把速度矩表示出 因为 有 因为 1 2 1 2 3 2 1 2 有 25 1 2 3 2 1 2 因为 1 2 1 2 3 2 1 2 有 1 2 3 2 1 2 代入矩方程 分别得到 0 1 2 1 2 将组方程应用于不同的粒子 然后求和可以得到磁流体力学方程 首先 对连续性方程求和 利用质量密度和质心速度定义 得到 磁流体的连续性方程 0 其次 对动量方程求和 利用速度矩 和 质心速度定义 得到 26 由于粒子之间弹性碰撞总动量守恒 再应用电流密度的 定义 和电中性条件 0 得到 将刚得到的磁流体连续性方程代入 得到 d d 如果不考虑粘滞应力张量 磁流体的动量方程为 d d 第三 对能量方程求和 利用速度矩 1 2 3 2 1 2 和 1 2 3 2 1 2 以及质心速度 总压强张量和总热流矢量的定义 并运用弹性碰撞总 动能守恒且无热量交换 0 得到磁流体能量平衡方程 3 2 1 2 3 2 1 2 其意义是明确的 等号左边第一项为流体质点的热能与动能之和 即 总能量的变化率 第二项为经流体质点表面流出的净能流 由热传导 27 流出的 流体携带的总能流和压强张量做功率三部分组成 方程右方 为电场做的功率 即 Ohm 加热 综合起来 得到磁流体力学方程组 0 d d 3 2 1 2 3 2 1 2 但是仍然存在速度矩不封闭问题 对于磁流体而言 等离子体行为变 化足够缓慢 使得带电粒子可以充分碰撞 不同种类的流体质点能处 于以质心速度为 的局部热平衡状态 满足局部 Maxwell 速度分布 2 exp 2 以此作为零级近似 求速度矩 和 得到 0 0 如果实际状态偏离热平衡状态不远 上述结果仍能成立 从而使得磁 流体动理学方程封闭 2 3 流体漂移 2 3 流体漂移 由于一个流体质点大量单独的带电粒子组成 如果单独一个粒子 的回旋中心具有正交于磁场 的漂移 则会预期流体也在这个方向上 漂移 然而 由于压强梯度力 项只出现在流体方程中 因此 存 在一项流体质点有而粒子确没有的漂移 它与 有关 对于每种粒 子 就有一个运动方程 考虑 这里 而且 以忽 等离 所以 虑第一项和 里已取 且仅与 忽略项 令 和 离子体圆柱 以 和第三项 相联系 再忽略 是均匀的 柱位形中 0 项之间 对于比回 略运流项 的 但是数 这是很 28 i 回旋运动时 以后 数密度 和 很普遍的 时间尺度 后将证明 和压强 有 用 叉乘 要缓慢 这是对的 有一个梯度 乘方程 得 慢的漂移 的 度 在磁约 得到 可 约束 其中 漂移 强梯 dri 尤其 这是 学家 的特 计算 回转 示 中 移 与回 梯度的存在 ft 由于 对于圆 其 是 Q 装置 家熟悉的 特征标度 算 从下图 转的轨道 通过任何 旋中心的 在 导致一 于 垂直于 圆柱位形等 对于 置上工作的 公式 记 以看到这 存在一个 何固定体积 的 漂移 一个新的 于梯度力方 等离子体 于离子和电 的实验科 记数密度 容易 这种漂移的 个向左边 积元的向 29 抗 移相同 漂移 方向 证 利用状态 电子 分别 eV 1 的物理原因 边的密度梯 下运动离 漂移 抗磁性漂移 这与前面 称为抗磁 明忽略 态方程 别得到 m sec 因 在这里 梯度 在图 离子比向上 移 面分析的一 磁性漂移 是正确 可把抗磁 里 画出在 图中由轨道 上运动离子 一致 由于 diamagn 确的 磁性漂移写 在磁场中离 道的密度来 子要多 这 于压 etic 写成 离子 来表 这是 由于 固定 的 不依 互抵 在粒 不可 像中 通过 大小 和这 盒中 有摆 向下 粒子 漂移 因 于向下运动 定的 也存 的符号而改 依赖于质量 抵消 如果 由于离子 1 粒子图像 可能期望 中 只要存 过 考虑 小的等离 这两种观 中 如图所 摆线路径 下的净电流 子图像会相 移的 虚构 梯度漂 在流体图 动的离子 存在一个 改变 因为 量 因为 果质量小 子和电子 抗磁性电 中 如果 测量到电 存在压力梯 到所有的 子体中进 点 设等 所示 如果 的带电粒 流 这是和 相当复杂 构 漂移 移和曲率 图景中不能 子来自于密 垂直于 为 的符号 速度对 小 则在一 以相反方 电流为 回旋中心 电流 而在 梯度 就有 的实验必须 进行的话 等离子体处 果从单粒 粒子 由于 和流体图 杂 而直接 移 通常却 率漂移怎样 能发生这 30 密度较高的 和 的流 号不同 回 的依赖 一次回转期 方向漂移 心不漂移 在流体图 有电流 须在有限 就能调 处于刚性 子图像来 于左边的粒 图像一致的 接用流体理 却能给正确 样出现在单 这些漂移 的区域 因 流体漂移 回转的方 赖与 Larm 期间 抽样 就存在一 来计算电流 粒子比右边 的 从这个 理论 即使 确的结果 单粒子图 按照热力 因此 即使 抗磁性漂 向也不同 mor 半径的 样的密度梯 一种抗磁性 流 应当考 边的粒子多 个例子能够 使包含了类 景中呢 力学能够证 使回旋中心 漂移的方向 同 的大 的 依赖 梯度也较 性电流 对 考虑在边缘 多 存在一 够看到 用 类似于抗磁 由于如下 证明磁场并 心是 向随 大小 赖相 小 对于 缘具 一个 用单 磁性 下原 并不 31 影响 Maxwell 分布 这是因为 Lorentz 力垂直于粒子的运动速度 而且不改变任何粒子的能量 没有 场的最可几分布 也是有 场 的最可几分布 如果在非均匀 场中的 保持 Maxwell 分布 并且不存在密度梯度 那么 带入到任何固定流体质点的净功量是 零 即使各个粒子的回旋中心有漂移 流体的漂移也不存在 在任何 固定的流体质点中 粒子的漂移相互抵消 如果存在非均匀 场 就 不会有这种情况 这时 前面所讲的有限 Larmor 半径效应既引起回 旋中心漂移 从而引起流体漂移 但是这两者是不相同的 事实上 它们的符号相反 当考虑有限 Larmor 半径效应时 很难使流体图景 和粒子图景 致起来 类似上图那种简单图像是不可以的 因为必须 考虑一个难解之点 密度梯度存在时 回转中心的密度和粒子密度是 不同的 3 等离子体输运 3 等离子体输运 在等离子体双流体模型中 认为等离子体是由两个或更多相享贯 穿的流体所组成 每个种类算一种流体 在最简单的情况下 当只有 一种离子时 将需要两个运动方程 一个是带正电的离子流体力学方 程 一个是带负电的电子流体方程 在部分电离的气体中 还需要一 个中性原子的流体方程 中性流体仅仅通过碰撞才同离子和电子相互 作 而离子和电子流体甚至在无碰撞时彼此也有相互作用 因为它们 的运动产生电场和磁场 32 3 1 BGK 方程 3 1 BGK 方程 需要指出 由动理学方程求速度矩得到双流体力学方程是严格的 精确的 但是它是不封闭的 这在动理学方程 的第二项中可以看出 在求任一阶速度矩方程 总含有有更高一阶的 分量 所以无论如何增加矩方程的阶数 方程组都不可能封闭 因此 要求解方程组 使其封闭 在一定条件下 略去高阶矩 或把高阶矩 用低阶矩表示 这样才能获得封闭的矩方程组 依量纲分析 当存在同中性原子的碰撞时 方程的碰撞项能用 来近似 其中 是中性原子的分布函数 是碰撞时间常数 通常取 为平均碰撞时间 1 为平均碰撞频率 这一项称为 BGK2 或 Krook 碰撞项 这个量可以看作初始时刻处于热力学线性非平衡态 的速度分布 趋于热力学平衡 的弛豫时间 热力学平衡的分布 0 解为局域 Maxwell 分布 2 exp 2 有 BGK 碰撞项的动理学方程为 2 Bhatnamgar P L Gross E P and Krook M Phys Rev 94 511 1954 33 因为线性非平衡态的分布函数可以写为 则偏离平衡态的分布函数 满足方程 定态情况 0 则有定态解 1 为简单起见 先研究 0 0情形 具体说无背景磁场 和宏观流动 由此可以计算各种输运过程 粒子通量 粒子通量 d d 其中 d 0 先考察一维情形 假定粒子数密度在轴方向不均匀 即 0 且 const 则分布函数简化为 34 2 exp 2 则 代回得到 d 1 d 1 d 一般地可以表示成 Fick 定律的形式 其中扩散系数 1 d 与唯象方法得到的一致 电流和粒子流迁移率 电流和粒子流迁移率 如果等离子体的密度 温度和速度都是空 间均匀的 0 则 0 为简单起见 取 2 exp 2 外加电场 电子受外电场 作用 必然引起电 35 流和粒子流 从动理学方程得到 的定态解写为 由此引起电流 d d 即得到 Ohm 定律 其中电导率为 d 外电场 还将引起粒子 电子 流 d d 出现负号是因为电子流方向与外电场方向相反 其中输运系数 d 称为迁移率 是单位电场产生的粒子速度 综合起来 得到爱因斯坦 关系 粘滞张量和粘滞系数 粘滞张量和粘滞系数 流体的粘滞性是有流体速度的空间分布不 均匀引起的 假定 0 0 平衡态分布函数 36 2 exp 2 其中 是粒子的热运动速度 偏离平衡态的分布为 1 根据粘滞张量的定义 d d 假设 且有 则得到 Newton 粘滞定律形式 d d d d d 其中剪切粘滞系数为 d 将 的表达式代入 积分得到 热流矢量和热传导系数 热流矢量和热传导系数 在等离子体中 如果存在温度梯度 则 将引起热流和热传导 假定等离子体处于平衡态 此时压强梯度力与 Lorentz 力满足 而且无外磁场作用 0 则 0 37 即有 换言之 对于无磁场等离子体而言 温度梯度和密度梯度总是同时存 在的 因此假定 0 0 0 平衡态分布函数 2 exp 2 偏离平衡态的分布为 1 1 2 3 2 1 2 5 2 由于 0 假定 可以计算沿 方向的热流 2 2 5