江西省宜中学高中数学《1.7相关性 1.8最小二乘估计》导学案 新人教版必修3.doc

1.7 相关性 1.8 最小二乘估计 一、课前自主导学【教学目标】 1. 了解相关关系与函数关系的异同点2. 通过绘制两个变量的数据散点图，直观认识变量间的相关关系3了解最小二乘法的原理，会求线性回归方程，并利用线性回归方程进行估计【重点难点】重点：利用最小二乘法求线性回归方程难点：最小二乘法思想及线性回归系数的计算【教材助读】3、 相关性：1变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性关系，如函数关系；另一类是不确定性关系，即当一个变量的取值一定，另一个变量取值带有一定的随机性，这样的两个变量之间的关系称为 相关关系 2散点图在考虑两个变量间的关系时，为了对变量间的关系有一个大致的了解，通常将两个变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为两个变量之间的 散点图 3数据拟合（1）曲线拟合从散点图可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条 曲线 来近似，这样近似的过程称为 曲线拟合 （2）线性相关若两个变量x,y的散点图中，所有点看上去都在 一条直线 附近波动，则称变量间是 线性相关 .此时可以用一条直线来近似（3）非线性相关若两个变量x,y的散点图中，所有的点看上去都在某条 曲线 (不是一条直线)附近波动，则称此相关为 非线性相关 .此时可以用一条曲线来拟合4不相关如果所有的点在散点图中， 没有显示任何 关系，则称变量间是不相关的课前二、最小二乘法：（认真通读课本p54-p59）如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近波动，就称这两个变量之间具有 线性相关 关系而一个好的线性关系要保证这条直线与所有的点都最近，最小二乘法就是基于这种思想.假设一条直线的方程为：，任意给定一个样本点，我们用来刻画这个样本点与这条直线之间的“距离”，用它来表示二者之间的接近程度1最小二乘法定义：如果有个样本点，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线的接近程度：.使得上式达到最小值的直线就是我们要求的直线，这种方法称为 最小二乘法 .2线性回归方程若记，则可以求得 .这样得到的直线方程称为 线性回归方程 ，是线性回归方程的系数.3（教材） 归纳用最小二乘法求线性回归方程的步骤：第一步：先求；第二步：分别求和值；第三步：代入公式，再将b代入求；第四步：将，b的值代入方程得到线性回归方程【预习自测】1、下列两个变量之间的关系是相关关系的是(d)a正方体的棱长与体积b单位圆中圆心角的度数与所对弧长c单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量d日照时间与水稻的亩产量2、下列说法正确的是(d)a相关关系是函数关系 b函数关系是相关关系c线性相关关系是一次函数关系d相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系3设一个回归直线方程为，变量每增加1个单位时 ( c )a平均增加1.5个单位； b平均增加2个单位；c平均减少1.5个单位； d平均减少2个单位。4工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为 ，下列判断正确的是( b )a劳动生产率为1000元时，工资为130元；b劳动生产率提高1000元时，工资平均提高80元；c劳动生产率提高1000元时，工资平均提高130元；d当月工资为210元时，劳动生产率为2000元。5已知某工厂在某年里每月生产产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间的回归直线方程为y0.9741.215x，计算x2时，总成本y的估计值为 3.404 【我的疑惑】二、课堂互动探究例1.有下列关系：炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系；曲线上的点与该点的坐标之间的关系；柑橘的产量与气温之间的关系；森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系其中具有相关关系的是 .例2.为了解学生计算能力，对某同学进行了10次测验，收集数据如下：题数x/道5101520253035404550做题时间y/分钟9192637485261738189画出散点图，并判断它们是否有线性相关关系分析：画散点图，利用散点图进行判断解：散点图如图，由散点图可以看出，两者之间具有线性相关关系例3.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybxa；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：32.5435464.566.5)解：(1)散点图如图所示(2)由题意，得4i1xiyi32.5435464.566.5，x345644.5，y2.5344.543.5，4i1x2i3242526286，b66.544.53.58644.5266.56386810.7，aybx3.50.74.50.35.故线性回归方程为y0.7x0.35.(3)根据回归方程可预测，现在生产100吨甲产品的生产能耗为0.71000.3570.35(吨标准煤)，故预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前减少了9070.3519.65(吨标准煤)【我的收获】三、课后知能检测1对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是(c)a都可以分析出两个变量的关系b都可以用一条直线近似地表示两者的关系c都可以作出散点图d都可以用确定的表达式表示两者的关系2下列两个变量间的关系，是相关关系的是(d)a任意实数和它的平方b圆的半径和圆的面积c正多边形的边数和内角度数之和d天空中的云量和下雨3下列分别是3对变量的散点图，则具有相关关系的是( b )a b c d4下列命题：最小二乘法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法； 利用样本的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可用线性关系表示；通过回归直线及回归系数,可以预测变量的取值和变化趋势其中正确的命题是 .5某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是(a)ay10x200 by10x200cy10x200 dy10x2006对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程yabx中，回归系数b(d)a小于0 b大于0c等于0 d以上都有可能7下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的线性回归直线必过点( d )x0123y1357a(2,2) b(1.5,2) c(1,2) d(1.5,4)8. 已知下表中的数据满足线性回归方程，则表中的t值为 ( b )x3456y2.5t44.5a3 b3.15 c3.5 d4.59实验测得四组（x，y）的值分别为（1，2），（2，3）,（3，4）,（4，5），则y与x之间的线性回归方程为（ b ）a.y=x+1 b.y=x+2 c.y=2x+1 d.y=x-110某产品的广告费用与销售额的统计数据如表广告费用(万元)4235销售额(万元)49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为 ( )a636万元 b655万元c677万元 d720万元【解析】选b由表可计算，因为点(，42)在回归直线上，且为9.4，所以42=9.4+，解得9.1，故回归方程为9.4+9.1，令得.11某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利润y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见下表：x3456789y66697381899091已知：，(1)求，； (2)画出散点图；(3)求纯利润y与每天销售件数x之间的回归直线方程解：(1)x34567897