(物理学报正式版)经典外场驱动下Tavis-Cummings系统的.pdf

经典外场驱动下Tavis2Cummings系统 的能量本征值和波函数 3 王忠纯 1 2 王 琪 2 3 顾永建 1 郭光灿 1 1 中国科学技术大学量子信息重点实验室 合肥 230026 2 盐城师范学院物理系 盐城 224002 3 电子科技大学物理电子学院 成都 610054 2003年12月29日收到 2004年5月25日收到修改稿 研究经典外部驱动场对双原子Tavis2Cummings T2 C 模型中原子的作用 求出了相互作用绘景中驱动T2C系统 能量 准能的本征值和相应的本征态 给出了Schr dinger绘景中该系统波函数的一般解 结果表明 外场驱动没 有改变T2C模型的能级 但使该模型中的Fock态产生平移 从而使一般T2C模型中具有一定频率的定态被拓展到 具有无限多个频率的Fock空间 关键词 Tavis2Cummings模型 经典外场 能量本征值 波函数 PACC 4250 3国家重点基础研究发展规划项目 批准号 CB309300 国家自然科学基金 批准号 61021503 和江苏省高校自然科学研究项目 批准号 03K JD140240 资助的课题 11引言 Tavis2Cummings T2 C 模型 1 描述的是多个二能 级原子与单模光场的相互作用 与Jaynes2Cummings J 2 C 模型相比 由于原子间的相互作用 光场和原 子的演化有了很大的变化 近年来人们在此领域已 进行了深入的研究 2 10 发现了原子和腔场的许多 非经典性质 但是 一般文献中对T2C模型的研究并 未给出能用实验探测的完整描述 T2C系统中的双 原子体系可以等效成一个级联的三能级缀饰原 子 3 研究缀饰原子必须用一个外部驱动场来探 测 11 Alsing曾研究过外场驱动下J2C系统的Stark 效应 11 使用一个外部的相干场来驱动原子 该场 可由谐振腔侧面从外部辐射到原子上 与原子实现 耦合 也可以从谐振腔的一个反射镜入射到腔内 从 而与腔模耦合 本文研究外部驱动场对双原子T2C模型中原子 的作用 首先求出了不考虑外部驱动场时相互作用 绘景中T2C模型能量 准能 11 的本征值 给出了 Schr dinger绘景中T2C系统波函数的一般解 指出 一些文献 3 7 8 中特定初态的解为本文的特例 然后 求出了外场驱动下T2C系统的能量本征值 本征态 和波函数的一般解 2 T2C模型的能量本征值和波函数 考虑两个全同的二能级原子与单模腔场组成的 系统 T 2C系统 设两原子间距小于腔模波长 使原 子间的偶极2偶极相互作用不能忽略 3 该系统又受 到一个外部的经典相干场的驱动 这里只考虑外部 驱动场对原子的作用 由于原子与腔场的耦合要比 与腔外驱动场的耦合强得多 可以忽略由外场引起 的自发辐射 12 外场可作为经典场来处理 在偶极 近似和旋波近似下Schr dinger绘景中T2C系统的哈 密顿为 13 H H0 V V 1 H0 a a 1 2 0 z1 z2 取 1 2 V g 2 i 1 a i ia 1 2 2 1 3 V 2 i 1 ie i L t ie i L t 4 第54卷 第1期2005年1月 100023290 2005 54 01 0107206 物 理 学 报 ACTA PHYSICA SINICA Vol 54 No 1 January 2005 2005 Chin Phys Soc 1995 2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 其中H0为两个裸原子和腔场的自由哈密顿 V为 原子与腔场的相互作用及原子间的偶极2偶极相互 作用 V 为原子与经典驱动场的相互作用 a a 是频率为 的腔场的光子产生算符和湮没算符 zi i i是本征频率为 0的第i个原子的赝自 旋算符 g为原子与腔场间的耦合常数 为原子间 偶极2偶极相互作用的耦合常数 经典驱动场的频率 为 L 为经典外场的幅度和该场与原子耦合系数 的乘积 g 均为实数 为计算简便 本文研究原 子 腔场及驱动场完全共振的情况 即 L 0 在相互作用绘景中的有效哈密顿为 V I e iH0t V V e iH0t V e iH0tV e iH0t g 2 i 1 a i ia 1 2 2 1 2 i 1 i i 5 先分析无驱动场的情况 即 0 则V I V 相互作用绘景中系统满足Schr dinger方程 i 9 t 9t V t 6 由于V中不显含t 则 t e i Et 7 V E 8 E为T2C系统的准能 考虑到两个原子是全同的 并 注意到对于由 3 式表示的哈密顿 系统的 激发态 数 保持不变 14 即原子处于激发态的数目与腔场 的光子数之和不变 可用三个对两原子具有交换对 称的波函数构成基矢 u n 1 e1 e2 n u n 3 g1 g2 n 2 u n 2 1 2 g1 e2 n 1 e1 g2 n 1 9 其中ei gi i 1 2 为二能级裸原子的能量本 征态 n 为腔场的Fock态矢集 将 用该组基 矢展开 n j 3 k 1 C n jku n k 10 由于Fock态n 中n 0 所以 9 式中u n 1 u n 2 和u n 3 中n的最小值依次为0 1 2 当n 0时 将 3 10 式代入本征方程 8 并 利用 9 式 展开后比较等式两边u n k k 1 2 3 的系数可得 E n jC n j1 2 n 1 gC n j2 0 2 n 1 gC n j1 E n j C n j2 2 n 2 gC n j3 0 2 n 2 gC n j2 E n jC n j3 0 11 解此方程组得准能的本征值 E n 1 0 E n 2 3 2 n 12 其中 n 1 2 2 8 2n 3 g 2 13 分别将E n j j 1 2 3 代入方程组 11 求出 C n 11 bn d 2 n b 2 n C n 12 0 C n 13 dn d 2 n b 2 n c n 21 dn d 2 n b 2 n 2 n 2 c n 22 2 n d 2 n b 2 n 2 n 2 c n 23 bn d 2 n b 2 n 2 n 2 c n 31 dn d 2 n b 2 n 2 n 2 c n 32 2 n d 2 n b 2 n 2 n 2 c n 33 bn d 2 n b 2 n 2 n 2 14 其中 dn 2 n 1 g bn 2 n 2 g 15 用同样的方法不难求出 当n 1时 准能的 本征值只有二个 E 1 2 3 2 1 其中 1为 13 式 中n 1时的值 E 1 2 3对应的本征态为 1 j C 1 j2 u 1 2 C 1 j3 u 1 3 j 2 3 16 C 1 jk j k 2 3 也是由 13 15 式确定 当n 2时 准能为E 2 1 0 对应的态 2 1 u 2 3 g1 g2 0 17 则本征态 n j n 2 1 0 1 完全确定 相 互作用绘景中的定态波函数为 n j t e iEnt j n j 不难证明 H0 n j E n 0 n j E n 0 n 1 n 2 1 0 1 18 E n 0为 系 统 无 相 互 作 用 时 的 能 量 本 征 值 则 801 物 理 学 报54卷 1995 2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved Schr dinger绘景中的定态波函数 n s j t e i H0t n j t e iEn Tjt n j 19 与之对应的系统总能量为 E n Tj E n 0 E n j n 1 E n j j 1 n 2 2 3 n 1 1 2 3 n 0 1 2 20 由于原子与腔场的相互作用和两原子间的相互作 用 系统的能量产生了分裂 波函数的一般表示为 s t A 2 1 2 s 1 t 3 j 2 A 1 j 1 s j t n 0 3 j 1 A n j n s j t 21 其中系数A n j由初始条件决定 一些文献 3 7 8 中特定初态的解为 21 式的特 例 例如 不少文献 3 7 常设系统的初态为 0 cos 2 g1 g2 0 sin 2 e i e1 e2 0 22 只要在 21 式中去除上标 s 就得无驱动场时相互 作用绘景中T2C系统波函数的一般表示 t A22 1 2 1 t 3 j 2 A 1 j 1 j t n 0 3 j 1 A n j n j t 23 令t 0 并将 22 式代入上式 对比等式两边系数 可得 A 2 1 cos 2 A 1 j 0 j 2 3 A 0 1 2 3 sin 2 e i A 0 2 E 0 3 6g 2 E 0 2 2 6 2g 0 sin 2 e i A 0 3 E 0 2 6g 2 E 0 3 2 6 2g 0 sin 2 e i A n j 0 n 0 24 则 23 式可写成 t cos 2 g1 g2 0 sin 2 e i G1e1 e2 0 G2 e1 g2 1 g1 e2 1 G3g1 g2 2 其中 G1 2g 2 2 24g 2 e iE0t 3 E 0 3 e iE0t 2 E 0 2 2 3 G2 g 2 24g 2 e iE0t 3 e iE0t 2 G3 2 2g 2 2 24g 2 e iE0t 3 E 0 3 e iE0t 2 E 0 2 2 3 25 这正是文献 3 7 中的结果 3 经典驱动场作用下T2C系统的能量 本征值和波函数 考虑外部经典驱动场对T2C系统中原子的作 用 在相互作用绘景中由 5 式表示的有效哈密顿可 写成 V I g 2 i 1 a i ia 1 2 2 1 26 其中a a g a a g 外场驱动下系统 满足Schr dinger方程 i 9 t 9t V I t 由于V I 中也不显含t 则 t e i Et 27 满足本征方程 V I E 28 E为有外场驱动时T2C系统的准能 为相应的 本征态 引入平移算符 11 D exp a 3 a D V I D D ED 29 D V I D g 2 i 1 D a D i iD a D 1 2 2 1 利用公式 13 D aD a D a D a 3 并令 g 则 D a D a D a D a D V I D V 29 式可写成 V D E D 对比上式和 8 式 E E D 外场 驱动原子后T2C系统的准能与没有外场时相同 准 能没有产生新的能级分裂 即受驱动的T2C系统的 准能本征值仍为 901 1期王忠纯等 经典外场驱动下Tavis2Cummings系统的能量本征值和波函数 1995 2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved E n j 0 j 1 n 2 0 1 2 2 8 2n 3 g 2 2 j 2 n 1 0 1 2 8 2n 3 g 2 2 j 3 n 1 0 1 30 但相应的本征态变为 n j D n j 31 受驱动的T2C系统的能量本征态可由将该系统本征 态中的Fock态平移获得 利用公式 13 D e 2 2e a e 3a D a D a 3 n a n n 0 将平移Fock态写成 15 n D n 1 n e 2 2 a 3 ne a 0 1 n e 2 2 3 n 1 ne 2 0 32 其中 a 3 由Sonine多项式 广义Laguerre多项 式 16 的表达式 S n m x m k 0 1 k1 k m k n m n k x k 33 不难导出 1 ne x m 0 S n m m x m 则平移Fock态的表达式为 n 1 n e 2 2 m 0 3 n m m S n m m 2 m 34 在外场的驱动下 T2C系统的能量本征态拓展到整 个Fock空间 以下分析Schr dinger绘景中的情况 在外场驱 动下 T2C系统的总能量仍由 20 式 决 定 而 Schr dinger绘景中的定态波函数 n s j t e i H0t n j t e iH0te iEnt j n j e iEnt j e iH0tD n j e iEnt j e iH0tD e iH0te iH0t n j exp i E n 0 E n j t e iH0tD e iH0t n j e iEnt TjD n j 35 其中D e iH0tD e iH0t 利用公式 13 D e 2 2e 3ae a D e 2 2e i a ate 3ae a e i a at e 2 2 e i a ate 3aei a at e i a ate a e i a at e 2 2e 3ae a e 2 2e 3ae a 其中 e i t g e i t 36 所以D 就是变量为 的平移算符 对比 19 和 35 式可见 有外场驱动的情况下Schr dinger绘景 中T2C系统的定态波函数 可通过将无外场时系统 的定态波函数中的Fock态平移 得到 此结论与受 驱动的J2C模型的情况相似 11 外场驱动下T2C系 统波函数的一般表示为 s t B 2 1 2 s 1 t 3 j 2 B 1 j 1 s j t n 0 3 j 1 B n j n s j t 37 B n j为常系数 由 35 9 10 16 和 17 式 37 式可以展开为 s t B 2 1e iE 2t T1 D u 2 3 3 j 2 B 1 je iE 1t Tj 3 k 2 C 1 jkD u 1 k n 0 3 j 1 B n je iEnt Tj 3 k 1 C n jkD u n k B 2 1e iE 2t T1 g1 g2 0 3 j 2 B 1 je iE 1t Tj 1 2 C 1 j2 g1 e2 e1 g2 0 C 1 j3 g1 g2 1 n 0 3 j 1 B n je iEnt Tj C n j1 e1 e2 n 1 2 C n j2 g1 e2 e1 g2 n 1 C n j3 g1 g2 n 2 38 011 物 理 学 报54卷 1995 2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 注意到 n 1 n e g 2 2 m 0 g n m e i n m t m S n m m g 2 m 39 并由 20 式 可看出 38 式中含有因子e iE 2t T1 0 e iE 1t Tj 0 e iE 1t Tj 1 e iEnt Tj n e iEnt Tj n 1 和e iEnt Tj n 2 的项对应的频率 注意 到 1 分别为 m 1 m E 1 2 3 m 1 E 1 2 3 m 1 E n j m E n j和 m 1 E n j m n 0 1 2 j 1 2 3 由此归纳出Schr dinger 绘景中外场驱动下T C系统的波函数具有频率集 m 2 8g 2 2 m 2 8g 2 2 2 8 2n 3 g 2 2 m 2 8 2n 3 g 2 2 m n 0 1 2 由上可见 由于H0与V 不对易 外场的驱动 使T2C系统中的Fock态产生平移 无外场驱动时具 有一定频率的定态被拓展到具有无限多个频率的 Fock空间 若 37 或 38 式中令 0 则 0 就过渡到 21 式表示的无驱动的T2C模型的波 函数 4 结 论 本文研究了在外部经典场驱动下的双原子T2C 系统 由于原子与腔场的相互作用及原子间的相互 作用 系统的能级相对于无相互作用时产生了如 30 式表示的分裂 外场的驱动没有改变T2C模型 的能级 但波函数发生了很大的变化 外场的驱动使 T2C模型中的Fock态产生平移 从而使相互作用绘 景中系统的能量本征态拓展到整个Fock空间 而 Schr dinger绘景中具有一定频率的定态被拓展到具 有无限多个频率的Fock空间 一般无驱动的T2C模 型可看成是本文的特例 1 Tavis M and Cummings F W 1968Phys Rev 170 379 2 Joshi A 1991Phys Rev A 44 2135 3 Peng J S and Li G X 1996Introduction to Modern Quantum Optics Beijing Science Press in Chinese 彭金生 李高翔1996近 代量子光学导论 北京 科学出版社 4 Wan L Liu S M and Liu S Q 2002Acta Phys Sin 51 84 in Chinese 万 琳 刘素梅 刘三秋2002物理学报51 84 5 Huang CJet al2000Acta Phys Sin 49 2159 in Chinese 黄春 佳等2000物理学报49 2159 6 Tao X Yet al2000Acta Phys Sin 49 1464 in Chinese 陶向 阳等2000物理学报49 1464 7 Tian Y H and PengJ S 2000Acta Opt Sin 20 1187 in Chinese 田永红 彭金生2000光学学报20 1187 8 Zuo Z C and Xia YJ 2003Acta Phys Sin 52 2687 in Chinese 左战春 夏云杰2003物理学报52 2687 9 Vadeiko I Pet al2003Phys Rev A 67 053808 10 Bogoliubovy N M Bulloughz R Kand Timonenx J 1996J Phys A Math Gen 19 6305 11 Alsing P G ou D S and Carmichael H J 1992Phys Rev A 45 5135 12 Dutra S M Knight P L and Moya Cessa H 1994Phys Rev A 49 1993 13 Scully M O and Zubairy M S 1997Quatum Optics Cambridge Cambridge University Press 14 Cirac J I and Z oller P 1994Phys Rev A 50 R2799 15 Lin R Mand Zheng SB 1994J Fujian Normal University10 4 45 in Chinese 林仁明 郑仕标1994福建师范大学学报 10 4 45 16 Liu SK and LiuS D 2002SpecialFunctions Beijing Meteorological Press in Chinese 刘式适 刘式达2002特殊函 数 北京 气象出版社 111 1期王忠纯等 经典外场驱动下Tavis2Cummings系统的能量本征值和波函数 1995 2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved Eigenenergies and wave functions of the Tavis Cummings system driven by an external classical coherent field 3 Wang Zhong Chun 1 2 Wang Qi 2 3 Gu Y ong2Jian 1 Guo Guang2Can 1 1 Key Laboratory of Quantum Information University of Science and Technology of China Hefei 230026 China 2 Department of Physics Yancheng Teachers College Yancheng 224002 China 3 College of Physical Electronics University of Electronic Science and Technology of China Chengdou 610054 China Received 29 December 2003 revised manuscript received 25 May 2004 Abstract We study the interaction of the atoms in the two2atom Tavis2Cummings T2C model under an external c