线性代数性质公式整理.doc

学习资料收集于网络，仅供参考线性代数第一章 行列式一、相关概念1.行列式n阶行列式a11a12a1na21a22a2nan1an2ann是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积a1j1a2j2anjn的代数和，这里j1j2jn是1，2，n的一个排列。当j1j2jn是偶排列时，该项的前面带正号；当j1j2jn是奇排列时，该项的前面带负号，即a11a12a1na21a22a2nan1an2ann=j1j2jn(-1)j1j2jna1j1a2j2anjn (1.1)这里j1j2jn 表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。2.逆序与逆序数一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用j1j2jn表示排列j1j2jn的逆序数。3.偶排列与奇排列如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。4.2阶与3阶行列式的展开abcd=ad-bc，a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a325.余子式与代数余子式在n阶行列式a11a12a1na21a22a2nan1an2ann中划去aij所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式a11a1,j-1a1,j+1a1nai-1,1ai-1,j-1ai-1,j+1ai-1,nai+1,1ai+1,j-1ai+1,j+1ai+1,nan1an,j-1an,j+1ann称为aij的余子式，记为Mij；称(-1)i+jMij为aij的代数余子式，记为Aij，即Aij=(-1)i+jMij。6.伴随矩阵由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnn，称为A的伴随矩阵，记作A*。二、行列式的性质1.经过转置行列式的值不变，即AT=A行列式行的性质与列的性质是对等的。2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：a1+b1a2+b2a3+b3c1c2c3d1d2d3=a1a2a3c1c2c3d1d2d3+b1b2b3c1c2c3d1d2d35.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变：a1a2a3b1b2b3c1c2c3=a1a2a3b1+ka1b2+ka2b3+ka3c1c2c36.代数余子式的性质行列式 任一行元素 与 另一行元素的代数余子式 乘积之和为0三、行列式展开公式n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即A=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin=k=1naikAik |A|按i行展开的展开式A=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj=k=1nakjAkj |A|按j列展开的展开式四、行列式的公式1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；2.关于副对角线的n阶行列式的值A=(-1)n(n-1)2a1na2,n-1an13.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则A*OB=AO*B=ABOAB*=OAB*=(-1)mnAB4.范德蒙行列式 111x1x2xnx12x22xn2 x1n-1x2n-1xnn-1=1jin(xi-xj)5.抽象n阶方阵行列式公式 (矩阵)若A、B都是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A可逆，i(i=1,2,n)是A的特征值：AT=A； kA=knA； |AB|=|A|B|； A2=A2； A*=An-1 A-1=1A； A=i=1ni； 若AB，则A=B，且特征值相同。 AA*=A*A=AE一般情况下：|AB|A|B|五、行列式的计算1.数字型行列式将行列式化为上下三角，再按行或列展开；化简技巧：将每列(行)都加到同一列(行)，或者将每列(行)ki倍都加到同一列(行)。 逐行(或逐列)相加 利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式数学归纳法验证n=1时命题正确；假设n=k时命题正确；证明n=k+1时，命题正确。 验证n=1和n=2时命题都正确，假设nk命题正确，证明n=k，命题正确。 对于n阶的三对角行列式，通常可用数学归纳法。2.抽象型行列式通常与矩阵一起考，利用行列式的性质(倍加、提公因数k、拆项)等来恒等变形；也可能利用矩阵的运算、公式、法则、特征值、相似。 利用单位矩阵 E=AA-1=A-1A 恒等变形来计算|A+B|形式的行列式。3.行列式|A|是否为0的判定若A=1,2,n是n阶矩阵，那么行列式|A|=0 矩阵A不可逆 秩r(A)jij时，有aij=0的矩阵称为上(下)三角阵。对称阵：满足 AT=A，即aij=aji的矩阵称为对称阵反对称阵：满足 AT=-A，即aij=-aji，aii=0的对称阵称为反对称阵。正交阵：ATA=AAT=E的矩阵称为正交阵，即AT=A-1初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。伴随矩阵：见(一.1.6) A*=AA-1五、可逆矩阵1.主要定理：若A可逆则A的逆矩阵唯一且|A|不为0。行列式不为0则矩阵可逆。2.概念设A是n阶方阵如果存在n阶矩阵B使得AB=BA=E成立，则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵，记成A-1=B3.可逆的充要条件存在n阶矩阵B使得AB=E |A|0，或秩r(A)=n，或A的列(行)向量线性无关 齐次方程组Ax=0只有零解 矩阵A的特征值不全为04.逆矩阵的运算性质若k0，则(kA)-1=1kA-1 若A，B可逆，则(AB)-1=A-1B-1；特别地A2-1=A-12 若 AT可逆，则( AT)-1=( A-1)T；( A-1)-1=A； A-1=1|A| 注意，即使A,B,A+B都可逆，一般地(A+B)-1 A-1+ B-15.求逆矩阵的方法若A0，则 A-1=1|A|A* 初等变换 AE行初等变换(E|A-1) 用定义求B，使得AB=E或BA=E，则A可逆且A-1=B 分块矩阵，设B,C都可逆，则 BOOC-1=B-1OOC-1； OBCO-1=OC-1B-1O六、初等变换、初等矩阵1.主要结论：用初等矩阵P左乘A，所得PA矩阵就是矩阵A做了一次和矩阵P同样的行变换；若是右乘就是相应的列变换。2.初等变换设A是mn矩阵，(倍乘)用某个非零常数kk0乘A的某行(列)的每个元素，(互换)互换A的某两行(列)，(倍加)将A的某行(列)元素的k倍加到另一行(列)。称为初等变换。3.初等矩阵由E经过一次初等变换所得的矩阵 倍乘初等矩阵E2k=1000k0001 互换初等矩阵E12=010100001 倍加初等矩阵E31k=100010k01 4.等价矩阵矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记成AB。若AErOOO，则后者称为A的等价标准形。(A的等价标准型是与A等价的所有矩阵中的最简矩阵。) 5.初等矩阵与初等变换的性质初等矩阵的转置仍然是初等矩阵；初等矩阵均是可逆矩阵且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵 Ei-1k=Ei1k， Eij-1=Eij， Eij-1k=Eij-kP1AP2 左行右列当A时可逆矩阵时，则A可作一系列初等行变换成单位矩阵，即存在初等矩阵P1，P2，PN，使得PNP2P1A=E七、矩阵的秩1.求秩的主要方法：经过初等变换矩阵的秩不变；如果A可逆，则r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B)2.矩阵的秩设A是mn矩阵，若A中存在r阶子式不等于0，且所有r+1阶子式均为0，则称矩阵A的秩为r，记成r(A)，零矩阵的秩规定为0。3.矩阵的秩的性质 r(A)=r矩阵A中非零子式的最高阶数是r r(A)r A中每一个r阶子式全为0 r(A)r A中有r阶子式不为0特别地，rA=0A=O ； AOr(A)1若A是n阶矩阵，r(A)=n|A|0A可逆 rAnA=0A不可逆若A是mn矩阵，则r(Aminm,n)4.矩阵的秩的公式 rA=r(AT)； rATA=r(A)当k0时，rkA=r(A)； rA+BrA+rB rABminrA,rB； 若A可逆，则r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B)若A是mn矩阵，B是ns矩阵，AB=O，则rA+rBn分块矩阵rAOOB=rA+rB。八、分块矩阵1.概念将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块，每一小块称为原矩阵的子矩阵(或子块)，把子块看成原矩阵的一个元素，则原矩阵叫分块矩阵。由于不同的需要，同一个矩阵有不同的方法分块，可以行分块，以列分块等。2.分块矩阵的运算对矩阵适当地分块处理(要保证相对应子块的运算能够合理进行)，就有如下运算法则： A1A2A3A4+B1B2B3B4=A1+B1A2+B2A3+B3A4+B4 ABCDXYZW=AX+BZAY+BWCX+DZCY+DW ABCDT=ATCTBTDT若B,C分别是m阶与s阶矩阵，则BOOCn=BnOOCn，若B,C分别是m阶与s阶可逆矩阵，则BOOC-1=B-1OOC-1，OBCO-1=OC-1B-1O若A是mn矩阵，B是nS矩阵且AB=O，对B和O矩阵按列分块有AB=A1,2,s=A1,A2,As=0,0,0 Ai=0 (i=1,2,s)即B的列向量是齐次方程组Ax=0的解。线性表出P214第三章、向量一、n维向量的概念与运算1.n维向量n个有序数组a1,a2,an所构成的一个有序数组成为n维向量，记成a1,a2,an或a1,a2,anT，分别称为n维行向量或n维列向量，数ai称为向量的第i个分量。2.零向量所有分量都是0的向量称为零向量，记为03.相等n维向量=(a1,a2,an)T 与n维向量=(b1,b2,bn)T 相等，即=a1=b1,a2=b2,an=bn4.运算 n维向量=(a1,a2,an)T 与=(b1,b2,bn)T (加法) +=(a1+b1,a2+b2,an+bn)T +=+， +=+， +0=0+=(数乘) k=ka1,ka2,kanT 1=， kl=(kl)， k+l=k+l， k+=k+k(内积) ,=a1b1+a2b2+anbn=T=T ,=a12+a22+an2=T，称a12+a22+an2为向量的长度。 ,=, k,=k,=,k +,=,+,，,0，等号成立当且仅当=0。特别地，如,=0，则称与正交二、线性表出、线性相关1.线性组合m个n维向量a1,a2,am及m个数k1,k2,km所构成的向量k1a1+k2a2+kmam称为向量组a1,a2,am的一个线性组合，数k1,k2,km称为组合系数。2.线性表出对n维向量a1,a2,as和，如果存在实数k1,k2,ks，使得k1a1+k2a2+ksas=则称向量是向量a1,a2,as的线性组合，或者说向量可由a1,a2,as线性表出。设有两个n维向量组() a1,a2,as ；() 1,2,t；如果()中每个向量ai都可由()中的向量1,2,t线性表出，则称向量组()可由向量组()线性表出。如果() 、()这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。 等价向量组具有传逆性、对称性、反身性。 向量组和它的极大线性无关组是等价向量组。 向量组的任意两个极大无关组是等价向量组。 等价的向量组有相同的秩，但秩相等的向量组不一定等价。3.线性相关、无关对于n维向量a1,a2,as，如果存在不全为零的数k1,k2,ks，使得k1a1+k2a2+ksas=0则称向量组a1,a2,as线性相关，否则称它线性无关。关于线性无关，只要k1,k2,ks不全为零，必有k1a1+k2a2+ksas0，或者，当且仅当k1=k2=ks=0时，才有k1a1+k2a2+ksas=0显然，含有：零向量，相等向量，坐标成比例的向量组都是线性相关的，而阶梯形向量组一定是线性无关的。证明：证明线性无关通常的思路是：用定义法(同乘或拆项重组)，用秩(秩等于向量个数则线性无关)，齐次方程组只有零解或反证法。4.重要定理n维向量组a1,a2,as线性相关齐次方程组a1,a2,asx1x2xs=0有非零解 秩r(a1,a2,as)t，则a1,a2,as必线性相关。 若n维向量组a1,a2,as可由1,2,t线性表出，且a1,a2,as线性无关，则st三、极大线性无关组、秩1.概念设向量组a1,a2,as中，有一个部分组ai1,ai2,air(1rs)，满足条件ai1,ai2,air线性无关；再添加任一向量aj(1js)，向量组ai1,ai2,air必线性相关；(向量组a1,a2,as中任何一个向量aj必可由ai1,ai2,air线性表出)则称向量组ai1,ai2,air是向量组a1,a2,as的一个极大线性无关组。 注：只有一个零向量构成的向量组没有极大线性无关组。 一个线性无关的向量组的极大线性无关组是该向量组本身。 向量组的极大线性无关组一般不唯一,但其极大线性无关组的向量个数是一样的。2.秩向量a1,a2,as的极大线性无关组中所含向量的个数r称为向量组的秩。记为ra1,a2,as=r。 (ra1,a2,asra1,a2,as+1)如果向量组() a1,a2,as可由 () 1,2,s线性表出，则rr3.注意 求向量组的极大无关组时，只能都作行变换(或都做列变换)，不能混合行列变换。 如果只是求向量组的秩，则可以混合行列变化。四、施密特正交化、正交矩阵1.正交矩阵设A是n阶矩阵，满足AAT=ATA=E，则A是正交矩阵。A是正交矩阵AT=A-1 A的向量组是正交规范向量组，如A是正交矩阵，则行列式A=1或-1。2.施密特正交化 设向量组1,2,3线性无关，其正交规范化方法步骤如下： 令1=1 2=2-(2,1)(1,1)1 3=3-(3,1)(1,1)1-(3,2)(2,2)2，则1，2，3两两正交。 再将1，2，3单位化，取1=11，2=22，3=33则1，2，3是正交规范向量组(即两两正交且均是单位向量)第四章 线性方程组一、克拉默法则1.概念若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2an1x1+an2x2+annxn=bn的系数行列式A0，则方程组有唯一解，且xi=AiA，i=1,2,n。其中Ai是A中的第i列元素(即xi的系数)替换成方程组右端的常数项b1,b2,bn所构成的行列式。2.推论若包含n个方程n个未知量的奇次线性方程组a11x1+a12x2+a1nxn=0a21x1+a22x2+a2nxn=0an1x1+an2x2+annxn=0的系数行列式A0的充要条件是方程组有唯一解，反之，齐次线性方程组有非零解的充要条件是A=0。二、齐次线性方程组1.形式n个未知量m个方程组成的方程组 向量形式：1x1+2x2+nxn=0 其中j=a1j,a2j,amjT 矩阵形式：Am*nX=02.齐次线性方程组的解若将有序数组c1,c2,cn代入方程组的未知量x1,x2,xn，使每个方程等式成立，则称c1,c2,cnT为方程组的一个解(或解向量)，记成=c1,c2,cnT3.齐次线性方程组的基础解系设1,2,n-r是AX=0的解向量，若满足1,2,n-r线性无关；AX=0的任一解向量均可由1,2,n-r线性表出。等价于： (加入任一解向量，使得1,2,n-r线性相关) (r(A)=r，即线性无关解向量的个数为n-r，满足r(A)+线性无关解的个数=n)则称向量1,2,n-r是AX=0的基础解系。4.AX=0的解的性质 若1,2是齐次线性方程组AX=0的解，则k1,k11+k22仍是AX=0的解，其中k1,，k2是任意常数。推广到多个解5.AX=0有解的条件齐次线性方程AX=0一定有解，至少有非零解。 AX=0只有零解方程组的列向量组线性无关 ra1,a2,an=n AX=0有非零解方程组的列向量组线性相关 ra1,a2,ann6.基础解系向量个数与秩的关系 若A是mn矩阵，r(A)=rn，则齐次线性方程组AX=0存在基础解系，且基础解系由n-r个线性无关解向量组成，故基础解系向量个数+rA=n (未知量个数)7.AX=0的通解设1,2,n-r是AX=0的基础解系，则k11+k22+kn-rn-r是AX=0的通解，其中ki是任意常数。8.基础解系和通解的求法初等行变换三、非齐次线性方程组 1.形式n个未知量m个方程组成的方程组 向量形式：1x1+2x2+nxn=b 其中j=a1j,a2j,amjT 矩阵形式：Am*nX=b b=b1,b2,bmT 2.AX=b的解的性质设1,2是AX=b的两个解，是对应齐次方程AX=0的解，则 A1-2=0，A1+k=b3.AX=b有解的条件 AX=b无解b不能由A的列向量组1,2,n线性表出 r(A)r(A|b) rA+1=r(A|b) AX=b有解 b可以由A的列向量组1,2,n线性表出 r(A)=r(A|b) 1,2,n1,2,n,b AX=b有唯一解r1,2,n=r(1,2,n,b)=n 1,2,n线性无关，1,2,n,b线性相关 b可以由A的列向量组1,2,n线性表出且表示唯一。 AX=b有无穷解 r1,2,n=r(1,2,n,b)=rn 1,2,n线性相关，b可由1,2,n线性表出且表示不唯一。4.AX=b的通解结构对应的齐次通解+非齐次的一个特解。5.AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A齐次线性方程组有解=b1,b2,bn，故AX=0的系数行向量i和解向量有如下关系：弯弯的月亮像小船。 蓝蓝的天空像大海 。iT=0，故A的行向量与AX=0的解向量是正交向量；iT=0，即将解向量作齐次方程组的行向量时，A的行向量既是该方程组的解向量。6. AX=0的系数列向量和解向量的关系P2607.两个方程组的公共解园（公园）（菜园）（果园）（花园）（桃园）方程组AX=0和BX=0的公共解是满足方程组ABX=0的解。P263只 一只只 一只只可爱的小兔8.同解方程组若A是mn实矩阵，AX=0和ATAX=0是同解方程组，有rA=rATA=rAAT朋友=伙伴 仿佛=好像 喜欢=喜爱第五章 特征值、特征向量、相似矩阵一、特征值、特征向量