高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第三节 平面向量的数量积及应用举例课件 文.ppt

第三节平面向量的数量积及应用举例 总纲目录 教材研读 1 平面向量的数量积 考点突破 2 向量的数量积的性质 3 向量的数量积的运算律 考点二平面向量数量积的应用 考点一平面向量数量积的运算 考点三平面向量与三角函数的综合问题 4 平面向量的数量积的坐标表示 1 平面向量的数量积 1 向量a与b的夹角 已知两个非零向量a b 过o点作 a b 则 aob 0 180 叫做向量a与b的夹角 当 90 时 a与b垂直 记作a b 当 0 时 a与b同向 当 180 时 a与b反向 2 a与b的数量积已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 则把数量 a b cos 叫做a和b的数量积 或内积 记作a b a b cos 教材研读 3 规定0 a 0 4 一个向量在另一个向量方向上的投影设 是a与b的夹角 则 a cos 叫做a在b的方向上的投影 b cos 叫做b在a的方向上的投影 b在a的方向上的投影是一个实数 而不是向量 5 a b的几何意义a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 2 向量的数量积的性质设a b都是非零向量 e是与b方向相同的单位向量 是a与e的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a a 2 4 cos 5 a b a b 3 向量的数量积的运算律 1 a b b a 2 a b a b a b r 3 a b c a c b c 4 平面向量的数量积的坐标表示 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 2 若a x y 则a a a2 a 2 x2 y2 a 3 若a x1 y1 b x2 y2 则 这就是平面内两点间的距离公式 4 若a x1 y1 b x2 y2 a b为非零向量 则a b x1x2 y1y2 0 1 已知 a 5 b 4 a与b的夹角为120 则a b为 a 10b 10c 10d 10 d 答案da b a b cos120 5 4 cos120 20 10 故选d 2 已知 a 2 b 6 a b 6 则a与b的夹角 为 a b c d d 答案dcos 又因为0 所以 故选d 3 设a 5 7 b 6 t 若a b 2 则t的值为 a 4b 4c d a 答案a由a b 2得 5 6 7 t 2 7t 28 所以t 4 故选a 4 在边长为1的等边 abc中 设 a b c 则a b b c c a a b 0c d 3 答案a依题意有a b b c c a 故选a a 5 2017课标全国 13 5分 已知向量a 2 3 b 3 m 且a b 则m 2 答案2 解析 a b a b 0 又a 2 3 b 3 m 6 3m 0 解得m 2 6 已知平面向量a b的夹角为 a 2 b 1 则 a b 答案 解析 a b 2 a 2 2a b b 2 4 2 a b cos 1 4 2 1 3 a b 典例1 1 设四边形abcd为平行四边形 6 4 若点m n满足 3 2 则 a 20b 15c 9d 6 2 2017课标全国 12 5分 已知 abc是边长为2的等边三角形 p为平面abc内一点 则 的最小值是 a 2b c d 1 考点一平面向量数量积的运算 考点突破 答案 1 c 2 b 解析 1 依题意有 所以 9 故选c 2 以ab所在直线为x轴 ab的中点为原点建立平面直角坐标系 如图 则a 1 0 b 1 0 c 0 设p x y 取bc的中点d 则d 2 2 1 x y 2 2 因此 当x y 时 取得最小值 为2 故选b 方法技巧向量数量积的两种运算方法 1 1 2017陕西西安八校联考 已知点a 1 1 b 1 2 c 2 1 d 3 4 则向量在方向上的投影是 a 3b c 3d 答案a依题意得 2 1 5 5 2 1 5 5 15 因此向量在方向上的投影是 3 故选a a 1 2已知 abc是边长为1的等边三角形 点d e分别是边ab bc的中点 连接de并延长到点f 使得de 2ef 则 的值为 a b c d b 答案b建立如图所示的平面直角坐标系 考点二平面向量数量积的应用 典例2 1 2018河南郑州质检 已知平面向量a与b的夹角等于 若 a 2 b 3 则 2a 3b a b c 57d 61 2 在平面直角坐标系中 o为原点 a 1 0 b 0 c 3 0 动点d满足 1 则 的最大值是 命题方向一平面向量模的问题 答案 1 b 2 1 解析 1 由题意可得a b a b cos 3 所以 2a 3b 故选b 2 设d x y 由 x 3 y 及 1 知 x 3 2 y2 1 即动点d的轨迹是以点c为圆心的单位圆 又 1 0 0 x y x 1 y 问题转化为圆 x 3 2 y2 1上的点与点p 1 间距离的最大值 圆心c 3 0 与点p 1 之间的距离为 故的最大值为 1 即 的最大值是 1 典例3 1 2016课标全国 3 5分 已知向量 则 abc a 30 b 45 c 60 d 120 2 已知向量a 1 b 3 m 若向量a b的夹角为 则实数m a 2b c 0d 命题方向二平面向量的夹角问题 答案 1 a 2 b 解析 1 cos abc 向量间的夹角的取值范围是 0 所以 abc 30 故选a 2 a 1 b 3 m a 2 b a b 3 m 又a b的夹角为 cos 即 m 解得m 典例4 1 abc是边长为2的等边三角形 已知向量a b满足 2a 2a b 则下列结论正确的是 a b 1b a bc a b 1d 4a b 2 已知向量a k 3 b 1 4 c 2 1 且 2a 3b c 则实数k a b 0c 3d 命题方向三平面向量的垂直问题 答案 1 d 2 c 解析 1 b b 2 故a错 2 2 cos60 2 即 2a b 2 a b 1 故b c都错 4a b 4a b b 4a b b2 4 4 0 4a b 故选d 2 2a 3b 2k 3 6 由 2a 3b c 得 2a 3b c 0 即4k 6 6 0 解得k 3 选c 规律总结平面向量数量积求解问题的策略 1 求两向量的夹角 cos 要注意 0 2 两向量垂直的应用 a b a b 0 a b a b 3 求向量的模 利用数量积求解长度问题的处理方法有 a2 a a a 2或 a a b 若a x y 则 a 2 1 2017课标全国 理 13 5分 已知向量a b的夹角为60 a 2 b 1 则 a 2b 答案2 解析由题意知a b a b cos60 2 1 1 则 a 2b 2 a 2b 2 a 2 4 b 2 4a b 4 4 4 12 所以 a 2b 2 2 2 2017课标全国 13 5分 已知向量a 1 2 b m 1 若向量a b与a垂直 则m 7 答案7 解析 a 1 2 b m 1 a b m 1 3 又 a b a a b a m 1 6 0 解得m 7 2 3若向量a k 3 b 1 4 c 2 1 已知2a 3b与c的夹角为钝角 则k的取值范围是 答案 解析 2a 3b与c的夹角为钝角 2a 3b c 0 即 2k 3 6 2 1 0 4k 6 6 0 k 3 又若 2a 3b c 则2k 3 12 即k 当k 时 2a 3b 12 6 6c 即2a 3b与c反向 综上 k的取值范围为 典例5已知向量a cosx sinx b 3 x 0 1 若a b 求x的值 2 记f x a b 求f x 的最大值和最小值以及对应的x的值 考点三平面向量与三角函数的综合问题 规律总结平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 1 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式 先运用向量共线或垂直或等式成立等 得到三角函数的关系式 然后求解 2 给出用三角函数表示的向量坐标 要求的是向量的模或者其他向量的表达形式 解题思路是经过向量的运算