广东省潮州市高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

广东省潮州市2015届高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分1（5分）若复数（2+i）（1+ai）是纯虚数（i是虚数单位，a是实数），则a等于（）a1bc2d32（5分）为了了解潮州市居民月用电情况，抽查了该市100户居民月用电量（单位：度），得到频率分布直方图如下：根据下图可得这100户居民月用电量在150，300的用户数是（）a70b64c48d303（5分）已知数列an的前n项和sn=n2，则a32a22的值为（）a9b16c21d114（5分）在abc中，若sin2a+sin2bsin2c，则abc的形状是（）a钝角三角形b直角三角形c锐角三角形d不能确定5（5分）执行如图的程序框图，若输出，则输入p=（）a6b7c8d96（5分）设集合a=x|0，b=x|x1|a，若“a=1”是“ab”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件7（5分）已知a（1，2），b（a，1），c（b，0）三点共线，其中a0，b0，则的最小值是（）a2b4c6d88（5分）已知奇函数y=f（x）的导函数f（x）0在r恒成立，且x，y满足不等式f（x22x）+f（y22y）0，则x2+y2的取值范围是（）ab0，2c1，2d0，8二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（9-13题）9（5分）设随机变量服从正态分布n（0，1），若p（1）=p，则p（10）=10（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为11（5分）已知n为正偶数，且的展开式中第3项的二项式系数最大，则第3项的系数是（用数字作答）12（5分）抛物线上到焦点的距离等于6的点的坐标为13（5分）函数f（x）=sin（x+）的导函数y=f（x）的部分图象如图所示，其中，a，c为图象与x轴的两个交点，b为图象的最低点，p为图象与y轴的交点若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在abc内的概率为（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）已知圆的极坐标方程=2cos，直线的极坐标方程为cos2sin+7=0，则圆心到直线距离为 【几何证明选讲选做题】15如图所示，o的两条切线pa和pb相交于点p，与o相切于a，b两点，c是o上的一点，若p=70，则acb=（用角度表示）三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知向量，函数f（x）=的最大值为2（1）求f（x）的最小正周期和解析式；（2）设，0，f（3+）=，f（3+2）=，求sin（）的值17（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立（1）求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）若每局比赛胜利方得1分，对方得0分，求甲最终总得分x的分布列及数学期望18（14分）如图1，平面五边形sabcd中sa=，ab=bc=cd=da=2，abc=，sad沿ad折起成如图2，使顶点s在底面的射影是四边形abcd的中心o，m为bc上一点，bm=（1）证明：bc平面som；（2）求二面角asmc的正弦值19（14分）已知数列an的前n项和tn满足an+1=2tn+6，且a1=6（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和sn；（3）证明：+320（14分）已知直线l：y=x+1过椭圆c：=1（ab0）的一个焦点和一个顶点（1）求椭圆c的标准方程；（2）过原点的直线与椭圆c交于a，b两点（a，b不是椭圆c的顶点）点d在椭圆c上，且adab，直线bd与bc平面som轴交于点m，求常数使得kam=kbd21（14分）已知函数（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=1时，设，（i）若对任意的x0，+），h（x）kx2成立，求实数k的取值范围；（ii）对任意x1x21，证明：不等式恒成立广东省潮州市2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分1（5分）若复数（2+i）（1+ai）是纯虚数（i是虚数单位，a是实数），则a等于（）a1bc2d3考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的乘法运算法则化简复数，通过复数虚部不为0，实部为0，求解即可解答：解：复数（2+i）（1+ai）=2a+（2a+1）i，复数（2+i）（1+ai）是纯虚数，可得2a=0，2a+10，解得a=2故选：c点评：本题考查复数的基本运算以及基本概念的应用，考查计算能力2（5分）为了了解潮州市居民月用电情况，抽查了该市100户居民月用电量（单位：度），得到频率分布直方图如下：根据下图可得这100户居民月用电量在150，300的用户数是（）a70b64c48d30考点：频率分布直方图 专题：计算题；概率与统计分析：根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系进行解答即可解答：解：根据频率分布直方图，得；这100户居民月用电量在150，300的频率为（0.0060+0.0044+0.0024）50=0.64，这100户居民月用电量在150，300的用户数是1000.64=64故选：b点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目3（5分）已知数列an的前n项和sn=n2，则a32a22的值为（）a9b16c21d11考点：数列的函数特性 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由题意可得a2=s2s1=3，a3=s3s2=94=5，从而解得解答：解：sn=n2，a2=s2s1=3，a3=s3s2=94=5，a32a22=259=16；故选：b点评：本题考查了数列的前n项和与项之间的关系应用，属于基础题4（5分）在abc中，若sin2a+sin2bsin2c，则abc的形状是（）a钝角三角形b直角三角形c锐角三角形d不能确定考点：三角形的形状判断 专题：三角函数的图像与性质分析：利用正弦定理将sin2a+sin2bsin2c，转化为a2+b2c2，再结合余弦定理作出判断即可解答：解：在abc中，sin2a+sin2bsin2c，由正弦定理=2r得，a2+b2c2，又由余弦定理得：cosc=0，0c，c故abc为钝角三角形故选a点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题5（5分）执行如图的程序框图，若输出，则输入p=（）a6b7c8d9考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，可得解得n的值为7，退出循环的条件为7p不成立，从而可得p的值解答：解：模拟执行程序框图，可得解得：n=7故当p=7时，n=7p，不成立，退出循环，输出s的值为故选：b点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题6（5分）设集合a=x|0，b=x|x1|a，若“a=1”是“ab”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件考点：交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断 分析：先化简集合a和b，再根据“a=1”和“ab”中是谁推出谁来进行判断解答：解：设集合a=x|0=x|1x1，b=x|x1|a=x|a+1xa+1，当a=1时，b=x|0x2，若“a=1”则“ab”；若“ab”则不一定有“a=1”，比如a=若“a=1”则有“ab”反之不成立故选a点评：涉及到充要条件问题，一般是看由谁推出谁，本题中，由ab，但b推不出a，则a是b的充分不必要条件7（5分）已知a（1，2），b（a，1），c（b，0）三点共线，其中a0，b0，则的最小值是（）a2b4c6d8考点：基本不等式 专题：计算题；不等式的解法及应用；平面向量及应用分析：化简平面向量共线，从而可得2a+b=1，再由基本不等式得2ab=；从而再化简=，从而求得解答：解：共线，2a+b=1，2ab=；（当且仅当2a=b，即a=，b=时，等号成立）=8；故选d点评：本题考查了平面向量与基本不等式的应用，属于基础题8（5分）已知奇函数y=f（x）的导函数f（x）0在r恒成立，且x，y满足不等式f（x22x）+f（y22y）0，则x2+y2的取值范围是（）ab0，2c1，2d0，8考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用；直线与圆分析：根据函数的奇偶性结合函数的导数将不等式进行转化，利用直线和圆的性质进行求解即可解答：解：函数y=f（x）为奇函数，不等式f（x22x）+f（y22y）0，等价为f（x22x）f（2yy2），由函数y=f（x）的导函数f（x）0在r恒成立，函数y=f（x）为减函数，x22x2yy2即（x1）2+（y1）22，则不等式对应的点的轨迹为圆心为（1，1），半径r=的圆及其内部故的几何意义为区域内的点到原点的距离，最小值为0，最大值为直径，从而x2+y2的最小值为0，最大值为直径的平方8故x2+y2的取值范围是0，8，故选：d点评：本题主要考查不等式范围的求解，根据函数的导数判断函数的单调性，以及函数的奇偶性的性质是解决本题的关键二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（9-13题）9（5分）设随机变量服从正态分布n（0，1），若p（1）=p，则p（10）=考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题分析：画出正态分布n（0，1）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果解答：解：画出正态分布n（0，1）的密度函数的图象如下图：由图象的对称性可得，若p（1）=p，则p（1）=p，则p（11）=12p，p（10）=故填：点评：本题考查正态分布，学习正态分布时需注意以下问题：1从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=，并在x=时取最大值 从x=点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的10（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为32+4考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：由三视图可知，该几何体是下部为正四棱柱，上部是半径为1的球，直接求表面积即可解答：解：由三视图容易推知几何体是：上部是半径为1的球，下部是底面边长为2的正方形的直四棱柱，高为3，该几何体的表面积为：4+4+24+4r2=32+4，故答案为：32+4点评：本题考查三视图、组合体的表面积考查简单几何体的三视图的运用；培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力；中档题11（5分）已知n为正偶数，且的展开式中第3项的二项式系数最大，则第3项的系数是（用数字作答）考点：二项式定理的应用 专题：二项式定理分析：由条件利用二项式系数的性质求得n=4，再根据二项式展开式的通项公式求出第三项，可得第3项的系数解答：解：由于n为正偶数，且的展开式中第3项的二项式系数最大，可得n=4，故= 的展开式中第3项为 t3=x4=x2，故第3项的系数是，故答案为：点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题12（5分）抛物线上到焦点的距离等于6的点的坐标为考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出yp+1=6，求得yp，代入抛物线方程即可求得点p的横坐标，则点p的坐标可得解答：解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=1，根据抛物线定义，yp+1=6，解得yp=5，代入抛物线方程求得x=2p点坐标是故答案为：点评：本题主要考查抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，常可用来解决涉及抛物线焦点的直线或焦点弦的问题13（5分）函数f（x）=sin（x+）的导函数y=f（x）的部分图象如图所示，其中，a，c为图象与x轴的两个交点，b为图象的最低点，p为图象与y轴的交点若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在abc内的概率为考点：几何概型 专题：计算题；概率与统计分析：先利用定积分的几何意义，求曲线段与x轴所围成的区域面积，再求三角形abc的面积，最后利用几何概型概率计算公式求面积之比即可得所求概率解答：解：f（x）= cos（x+），曲线段与x轴所围成的区域面积为f（x）dx=sin（sin）=2三角形abc的面积为=在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在abc内的概率为p=故答案为：点评：本题主要考查了f（x）=asin （x+）型函数的图象和性质，导数运算及导函数与原函数的关系，定积分的几何意义，几何概型概率的计算方法，属中档题（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）已知圆的极坐标方程=2cos，直线的极坐标方程为cos2sin+7=0，则圆心到直线距离为 考点：简单曲线的极坐标方程 专题：计算题分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得圆和直线的直角坐标方程，再在直角坐标系中算出圆心到直线距离即可解答：解：由=2cos2=2cosx2+y22x=0（x1）2+y2=1，cos2sin+7=0x2y+7=0，圆心到直线距离为：故答案为：点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化【几何证明选讲选做题】15如图所示，o的两条切线pa和pb相交于点p，与o相切于a，b两点，c是o上的一点，若p=70，则acb=55（用角度表示）考点：弦切角 专题：选作题；立体几何分析：先求出aob=110，再利用acb=aob，即可得出结论解答：解：如图所示，连接oa，ob，则oapa，obpb故aob=110，acb=aob=55故答案为：55点评：本题考查弦切角，考查圆心角与圆周角的关系，考查学生的计算能力，比较基础三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知向量，函数f（x）=的最大值为2（1）求f（x）的最小正周期和解析式；（2）设，0，f（3+）=，f（3+2）=，求sin（）的值考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）由f（x）=利用两角差的正弦函数公式化简可得，结合已知可求a的值，即可得解析式，由周期公式可求最小正周期（2）由（1）结合诱导公式化简f（3+）=可得sin，由诱导公式化简f（3+2）=可得cos，结合，的范围，由同角三角函数关系式可求cos，sin的值，由两角差的正弦函数公式即可得解解答：解：f（x）=，向量，（3分）因为函数，（a0）的最大值为2，所以a=2，（2分）所以（3分）f（x）的最小正周期（4分）（2）=f（3+）=2sin（）=2sin，（5分）sin=，（6分）f（3+2）=2sin（3+2）=2cos=，cos，0，cos=，sin=（8分）sin（）=sincoscossin= （12分）点评：本题主要考查了由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，三角函数恒等变换的应用，平面向量的应用，综合性较强，属于中档题17（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立（1）求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）若每局比赛胜利方得1分，对方得0分，求甲最终总得分x的分布列及数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：解用a表示“乙在4局以内（含4局）赢得比赛”，ak表示“第k局乙获胜”，bk表示“第k局甲获胜”，（）p（a）=p（a1a2）+p（b1a1a2）+p（a1b2a3a4）利用独立重复试验的概率乘积求解即可（）x的可能取值为0，1，2，3 求出概率，得到分布列，然后求解期望即可解答：解：用a表示“乙在4局以内（含4局）赢得比赛”，ak表示“第k局乙获胜”，bk表示“第k局甲获胜”，则 （）p（a）=p（a1a2）+p（b1a1a2）+p（a1b2a3a4）=p（a1a2）+p（b1）p（a1）p（a2）+p（a1）p（b2）p（a3）p（a4）= （4分）（）甲最终总得分x的可能取值为0，1，2，3 （5分）（6分）（7分）（9分）故的分布列为x0123p（12分）点评：本题考查独立重复试验的概率的求法，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力18（14分）如图1，平面五边形sabcd中sa=，ab=bc=cd=da=2，abc=，sad沿ad折起成如图2，使顶点s在底面的射影是四边形abcd的中心o，m为bc上一点，bm=（1）证明：bc平面som；（2）求二面角asmc的正弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）法一：连结ob，说明aoob，证明sobc，利用直线与平面垂直的判定定理证明bc平面som法二：连结ac，bd，以o为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系oxyz，证明，然后证明bc平面som（）求出平面asm的法向量，平面smc的法向量，利用向量的数量积求解夹角的余弦值，然后求解所求二面角asmc的正弦值解答：解：（）证明：题知四边形abcd为菱形，o为菱形中心，连结ob，则aoob，因，故（1分）又因为，且，在obm中om2=ob2+bm22obbmcosobm=（3分）所以ob2=om2+bm2，故ombm即ombc（4分）又顶点s在底面的射影是四边形abcd的中心o有so平面abcd，所以sobc，（5分）从而bc与平面som内两条相交直线om，so都垂直，所以bc平面som（6分）（）法二如图2，连结ac，bd，因abcd为菱形，则acbd=o，且acbd，以o为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系oxyz，（2分）因，故，所以（3分）由知，从而，即（4分）题意及如图2知soab，有，（5分），所以bc平面som（6分）（）由（）知，设平面asm的法向量为，平面smc的法向量为（8分）由，得故可取，（9分）由，得故可取（11分）从而法向量的夹角的余弦值为（13分）故所求二面角asmc的正弦值为（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力19（14分）已知数列an的前n项和tn满足an+1=2tn+6，且a1=6（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和sn；（3）证明：+3考点：数列的求和；数列与不等式的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（1）运用数列的通项和前n项和的关系，以及等比数列的通项公式，即可得到；（2）运用等比数列的求和公式计算即可得到；（3）运用裂项相消求和方法，变形整理即可得证解答：解：（1）由an+1=2tn+6，得an=2tn1+6（n2）：有an+1an=2tn2tn1，即an+1=3an（n2），又a1=6，由有a2=2t1+6=2a1+6=18，知a2=3a1，数列an是以6为首项，公比为3的等比数列，an=63n1=23n； （2）由（1）得：，得sn=+=（+）=，（3）证明：，=点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档题20（14分）已知直线l：y=x+1过椭圆c：=1（ab0）的一个焦点和一个顶点（1）求椭圆c的标准方程；（2）过原点的直线与椭圆c交于a，b两点（a，b不是椭圆c的顶点）点d在椭圆c上，且adab，直线bd与bc平面som轴交于点m，求常数使得kam=kbd考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用直线的截距，求出椭圆的几何量，然后求解方程（2）设a（x1，y1）（x1y10），d（x2，y2），直线ab的斜率，直线ad的斜率，设直线ad的方程为y=kx+m，由题意知k0，m0，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出kbd，推出m（3x1，0）利用kam=2kbd，求出解答：解：（1）直线过两点（1分）因为椭圆的焦点在x轴时，故焦点为，顶点为（0，1）（2分）b=1，c=（3分）a=2，（4分）所以，所求椭圆c的方程为（5分）（2）设a（x1，y1）（x1y10），d（x2，y2），则b（x1，y1），直线ab