高中数学 1.1.2余弦定理学案 新人教A版必修5(1).doc

112 余弦定理（第1课时）学习目标1掌握余弦定理的推导过程；2能初步运用正、余弦定理解斜三角形。要点精讲1余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 即 证明：如图，在中，、的长分别为、 ，即同理可证 ，评注：当c90时，则cosc0，即余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例2余弦定理可以解决的问题利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 范例分析例1（1）在abc中，a2=b2c2bc，则a等于 （ ）a60 b45 c120 d30（2）在abc中，abc=12，abc等于 （ ）a123 b231 c132d312（3）在abc中，sinasinbsinc=324，则cosc的值为（ ）a b c d例2在abc中，bc=a, ac=b, a, b是方程的两个根，且2cos(a+b)=1 。求（1）角c的度数；（2）ab的长度；（3）abc的面积。例3在中，、分别是，的对边长。已知，且，求的大小及的值。规律总结1余弦定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系。余弦定理的边角互换功能 2注重余弦定理的公式结构，已知条件出现的形式，可转化为。基础训练一、选择题：1在中，且，则等于（ ）abcd2在中，若，且，则等于（ ）abcd3边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的（ ）a90b120c135d1504在中，则等于（ ）a、 b、 c、 d、5在中，已知，则的大小为 （ ） 二、填空题6在abc中，已知sinasinbsinc=654，则 7在中，已知，则最大角的余弦值是_8在abc中，cosc是方程的一个根，则abc周长的最小值是_。三、解答题：9在中，角的对边分别为（1）求；（2）若，且，求10在abc中，已知角b45，d是bc边上一点，ad5，ac7，dc3，求ab112 余弦定理（第1课时）参考答案例1解：（1）由余弦定理有，c=120 故选c（2）设三边为k，k，2k，由余弦定理可求得a=30，b=60，c=90故选a.（3）由正弦定理 abc=sinasinbsinc=324， a=3k，b=3k，c=4k 则 ，故选a例2解：（1）cosc=cosp-(a+b)=-cos(a+b)=-， c=120；（2）由题设： ab2=ac2+bc2-2acbcosc， 即ab=；（3）sabc=。例3解：，且，在中，由余弦定理得，。在中，由正弦定理得， 。基础训练15 bdbca；6；7；8；提示：易得，由余弦定理可得：，即， 当时，c最小且， abc周长的最小值为。9解：（1），又 解得，是锐角（2）， ，又10解：在adc中，cosc又0c180，sinc，在abc中，ab评注：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用1.1.2 余弦定理(第2课时)学习目标1能灵活运用正余弦定理判断三角形的形状；2能结合正余弦定理进行三角形面积的计算。要点精讲1余弦定理：2在abc中，若a2b2+c2，则abc为钝角三角形；若a2=b2+c2，则abc为直角三角形；若a2b2+c2且b2a2+c2且c2a2+b2，则abc为锐角三角形范例分析例1（1）abc中，sin2a=sin2b+sin2c，则abc为 ( )a直角三角形 b等腰直角三角形c等边三角形 d等腰三角形（2）已知锐角三角形的边长分别为，则第三边应适合（ ）、 、 、 、引申：若三角形为钝角三角形，则第三边的取值范围是 。例2在abc中已知a2bcosc，求证：abc为等腰三角形规律总结1根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：（1）化边为角；（2）化角为边具体方法：通过正弦定理，通过余弦定理，通过面积公式。2三角形的面积公式：（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）absincbcsinaacsinb；（3）；（4）2r2sinasinbsinc。（r为三角形外接圆半径）（5）；（6）；（7）r；（r为三角形内切圆半径）。基础训练一、选择题1若三条线段的长为，则用这三条线段（）能组成锐角三角形 能组成直角三角形能组成钝角三角形 不能组成三角形2已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ ）abcd 3已知abc的三边长，则abc的面积为 （ ）abcd4在abc中,，则abc的外接圆直径为（ ）a、 b、 c、 d、二、填空题5在中，已知，则的形状是 6在中，的对边分别为，已知，三角形的面积为，求的值为 。三、解答题7根据所给条件，判断的形状。（1）； （2）；（3）1.1.2 余弦定理 (第2课时) 参考答案例1解：（1）由正弦定理得，故abc是a为直角的三角形，选a。（2）构成三角形的三边，则，又三角形为锐角三角形，所以，则，综上，选引申：若三角形为钝角三角形，则或。例2证1：欲证abc为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a2bcosc，即2coscsinbsinasin（bc）sinbcosccosbsincsinbcosccosbsinc0，即sin（bc）0，bc（）b、c是三角形的内角，bc，即三角形为等腰三角形证2：根据射影定理，有abcoscccosb，又a2bcosc2bcoscbcoscccosbbcoscccosb，即又即tanbtancb、c在abc中，bcabc为等腰三角形证3：cosc化简后得b2c2bc abc是等