23个经典的不等式专题.doc

23个经典的不等式专题1、 证明：； 2、 若：，求证： ； 3、 若：，求证：； 4、 若：，且，求：的取值范围 ； 5、 若：是的三边，求证： ； 6、 当时，求证： ； 7、 若，求的值域 ； 8、 求函数的最大值和最小值 ； 9、 若，求证： ； 10、 若，且，试求：的取值范围 11、 若，且，求的最小值 12、 若，且，求的最大值和最小值； 13、 若，且满足，求：的值；14、 求证： ； 15、 当时，求证：； 16、 求证： ； 17、 求证： ； 18、 已知：,求证： ；19、 已知：，求证： ； 20、 已知：，求证： ； 21、 已知：，求证： ； 22、 设：，求证： ； 23、 已知：，求证： . 【解答】1. 证明： ；1、证明：.从第二项开始放缩后，进行裂项求和.另：本题也可以采用积分法证明.构建函数：，则在区间为单调递减函数.于是：从第二项开始用积分，当函数是减函数时，积分项大于求和项时，积分限为；积分项小于求和项时，积分限为.2. 若：，求证：；2、证明：，即：则：，即：，即：.立方和公式以及均值不等式配合.另：本题也可以采用琴生不等式证明.构建函数：，则在在区间为单调递增函数，且是下凸函数.对于此类函数，琴生不等式表述为：函数值得平均值不小于平均值的函数值.即：对于本题： 即：即：，即：，即：琴生不等式可秒此题.3. 若：，求证：；3、由： 得： ，则：， 即： 故： .从一开始就放缩，然后求和.另：本题也可以采用不等式性质证明.所证不等式中的任何一项如第项，均满足，当有项累加时，不等式两个边界项乘以倍，则不等式依然成立.即：大于最小值得倍，小于最大值的倍. 另外，的最大值是，本题有些松.4.若：，且，求：的取值范围 ；4、解：，令：，则上式为：. 解之得：.均值不等式和二次不等式. 5. 若：是的三边，求证： ；5、证明：构造函数，则在时，为增函数.所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：，那么，即： .构造函数法，利用单调性，再放缩，得到结果.另：不等式的入门证法就是“作差法”和“作商法”. “作差法”即两项相减得差与0比较；作商法”即同号两项相除得商与1比较. 本题亦可以采用“作差法”.6. 当时，求证： ；6. 证明：当时，都扩大倍得：，取倒数得：，裂项：，求和：，即： 先放缩，裂项求和，再放缩.另：本题也可以采用积分证明.OAABDCEFGH构建函数：，则在区间为单调递减函数.由面积关系得到：即：即：本式实际上是放缩法得到的基本不等式，同前面裂项式.后面的证法同前.7、若，求的值域 ；7、解：设：，则：，代入向量不等式：得：，故：.这回用绝对值不等式.本题另解.求函数的极值，从而得到不等式.求导得：则：，故函数的极值出现在.函数为奇函数，故我们仅讨论正半轴就可以了，即在.由于是奇函数，故在，故：.8、求函数的最大值和最小值 ；8、解：将函数稍作变形为： ，设点，点，则，而点N在单位圆上，就是一条直线的斜率，是过点M和圆上点N直线斜率的倍，关键是直线过圆上的N点.直线与单位圆的交点的纵坐标范围就是： .故的最大值是1，最小值是-1.原本要计算一番，这用分析法，免计算了.另：如果要计算.先变形：变形为：；即：；即：，即：；即：，即：，即：，即：如果要计算，需要用到辅助角公式.9、若，求证：9、证明：由柯西不等式：即：即：柯西不等式.本题也可以采用排序不等式证明.首先将不等式变形：；即：，即：.由于对称性，不妨设：，则：；即：.有排序不等式得：正序和乱序和；正序和乱序和；上两式相加得：即： 证毕.排序不等式.10、若，且，试求：的取值范围 ；10、解：柯西不等式：；即：，故：；所以：.柯西不等式.另：本题亦可采用求极值的方法证明.构建拉格朗日函数：由在极值点的导数为0得：，则：，即：；，则：，即：；，则：，即：.代入得：极值点为：，则：，即：11、若，且，求的最小值 ；11、解：设：，则：；代入得：；即：，故：最小值为4.向量不等式.向量不等式是柯西不等式的特殊形式，本题当然可用柯西不等式.，即：用拉格朗日乘数法也行.构建拉氏函数：在极值点的导数为0，即：，即：；，即：；，即：.代入得：则：，故：求极值时，要判断是极大值还是极小值，只需用赋值法代一下.12、若，且，求的最大值和最小值；12、解：柯西不等式：即：；故：；于是：.柯西不等式.另：本题也可以采用换元法求解.有人说：是一个椭球面，没错. 它是一个不等轴的椭球. 它的三个半轴长分别为：，设：，则这个椭球的方程为： 现在来求的最大值和最小值.采用三角换元法：令：，代入方程检验，可知它满足方程.采用辅助角公式化简：故：的峰值是：当时，即：而，故：，即：.13、若，且满足，求：的值 ；13、解：本题满足：即柯西不等式中等号成立的条件.故有：，即：，.则：；即：，即： 故： .柯西不等式中等号成立.14、求证： ； 14、证明：注意变形为不等式的方法，虽然仍是放缩法.另：本题也可以采用积分法证明.构建函数：，则在区间为单调递减函数.15、当时，求证： ；15、证明： 由二项式定理得： 由二项式定理得：本题由二项式中，保留前两项进行放缩得到：；本题由二项式中，分子由从n开始的k个递减数连乘，分母由k个n连乘，得到的分数必定小于1. 于是得到：.另：本题也可以利用函数的基本性质证明.构建函数：，则在时，函数为单调递增函数.故：在时，利用基本不等式：，即：则：.本方法需要运用，该不等式成立的条件是：.16、求证： ；16、证明：，故：；令：， ；则：，即： ；故： 由得：，即：，故：代入式得：则：原式= 本题的关键在于把根式或其他式子换成两个相邻的根式差，然后利用求和来消去中间部分，只剩两头.17、 求证： ；17、证明：由得：；即： 由：得：即：，即：，即：，即：故：，多项求和： 由，本题得证. 本题还是采用级数求和的放缩法.18、 已知：,求证： ;18、证明：(1)构造函数：，则：.当时，函数的导数为：，即当时，函数为增函数. 即：；故：，即：.(2) 构造函数：，则：.当时，其导数为：.即当时，函数为增函数. 即：；故：，即：.由(1)和(2)，本题证毕.本题采用构造函数法，利用函数单调性来证题.19、 已知：，求证： ；19、证明：先构造函数：，在函数图象上分别取三点A,B,C，即：,我们来看一下这几个图形的面积关系：；OAABDCEFGH即： ；即： ；即： ；(1) 求和：；即：；(2) 求和：；即：;由(1)和(2)证毕.本题采用构造函数法，利用函数的面积积分来证题.20、 已知：当时，求证： ；20、 证明：当时，.由二项式定理得：证毕.本题利用二项式定理进行放缩得证.21、 已知：，求证： ；21、 证明：设：，则：证毕.将1以后的项数，按2的次方个数划分成n组，每组都大于，这样放缩得证.22、 设：，求证： ；22、 证明：