高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 抛物线及其标准方程课件2 北师大版选修11.ppt

2 1抛物线及其标准方程 我们知道 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象是一条抛物线 而且还研究过它的顶点坐标 对称轴等问题 那么 抛物线到底有怎样的几何特征 它还有哪些几何性质 1 把一根直尺固定在画板上 把三角板的一条直角边紧靠直尺边缘 2 取一根细绳 它长度与ac相等 细绳一端固定在a处 另一端固定在f处 3 用笔尖扣紧绳子 靠住三角板 然后将三角板沿着直尺上下滑动 抛物线的定义 在平面内 与一个定点f和一条定直线l l不经过点f 的距离相等的点的轨迹叫抛物线 点f叫抛物线的焦点 直线l叫抛物线的准线 焦点 准线 d为m到l的距离 一动三定 设动点c到点m 0 3 的距离比点c到直线y 0的距离大1 则动点c的轨迹是 a 抛物线b 直线c 椭圆d 圆 a 抛物线的标准方程推导 想一想 步骤 1 建系 2 设点 3 列式 4 化简 抛物线的标准方程推导 那么如何建立坐标系 使抛物线方程更简单 其标准方程的形式是怎样的 回忆一下 看看上面的方程哪一种简单 为什么会简单 启发我们怎样建立坐标系 y ax2 取过焦点f且垂直于准线l的直线为x轴 线段kf的中垂线为y轴 以f k的中点o为坐标原点建立直角坐标系xoy 抛物线的标准方程推导 抛物线的标准方程推导 依题意得 两边平方 整理得 抛物线的标准方程 把方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 其中p为正常数 表示焦点在x轴正半轴上 p的几何意义是 焦点到准线的距离 简称焦准距 焦点坐标是 准线方程为 一条抛物线 由于它在坐标平面内的位置不同 方程也不同 所以抛物线的标准方程还有其它形式 四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的正半轴上 x轴的负半轴上 y轴的正半轴上 y轴的负半轴上 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py 四种方程形式相同点 1 顶点为原点 2 对称轴为坐标轴 焦点在坐标轴上 3 顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离 均为 四种方程形式的不同点 1 变量x y 的幂次谁是一次 则焦点在谁上 2 一次项系数为正 负 则开口向坐标轴的正 负 方向 p 0 p 0 p 0 p 0 即抛物线焦点位置及开口方向的判断方法 焦点位置看幂次 开口方向看正负 例1 已知抛物线方程如下 分别求其焦点和准线方程 1 y 6x2 2 4y2 7x 0 3 x 2ay2 a 0 注意 1 先化成标准形式 2 找出2p 进而求出3 借助开口方向求出焦点坐标和准线方程 变式1 1 已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标及准线方程 2 已知抛物线的焦点坐标是f 0 2 求抛物线的标准方程 3 已知抛物线的准线方程为x 1 求抛物线的标准方程 y2 4x 解 因为2 6 解 因焦点在y轴的负半轴上 且p 4 故其标准方程为 解 因准线方程为x 1 所以p 2 故其标准方程为 例2 求过点a 3 2 的抛物线的标准方程 解 设抛物线的标准方程为 x2 2py p 0 把a 3 2 代入得p 设抛物线的标准方程为 y2 2px p 0 把a 3 2 代入得p 抛物线的标准方程为x2 y或y2 x 变式2 求过焦点在直线x 2y 4 0上的抛物线的标准方程 解 令x 0 由方程x 2y 4 0 得y 2 抛物线的焦点为 0 2 设抛物线方程为x2 2py p 0 则由 2 得2p 8 抛物线方程为x2 8y 令y 0 由x 2y 4 0 得x 4 抛物线的焦点为 4 0 设抛物线方程为y2 2px p 0 由 4 得2p 16 抛物线方程为y2 16x 故所求的抛物线的方程为x2 8y或y2 16x 1 抛物线的定义 在平面内 与一个定点f和一