广东省肇庆四中高二数学上学期第一次月考试卷（含解析）.doc

2015-2016学年广东省肇庆四中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）1有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体可能是一个（）a棱台b棱锥c棱柱d正八面体2若直线l平面，直线m，则l与m的位置关系是（）almbl与m异面cl与m相交dl与m没有公共点3下列说法正确的是（）a三点确定一个平面b四边形一定是平面图形c梯形一定是平面图形d平面和平面有不同在一条直线上的三个交点4棱长都是1的三棱锥的表面积为（）abcd5下列说法不正确的是（）a空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形b同一平面的两条垂线一定共面c过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内d过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直6a，b，c表示直线，m表示平面，给出下列四个命题：若am，bm，则ab；若bm，ab，则am；若ac，bc，则ab；若am，bm，则ab其中正确命题的个数有（）a0个b1个c2个d3个7正方体的棱长和外接球的半径之比为（）a：1b：2c2：d：38垂直于同一条直线的两条直线一定（）a平行b相交c异面d以上都有可能9在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是（）abcd10四棱台的两底边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的侧面积为（）a6cm2b cm2c cm2d3cm211将边长为a的正方形abcd沿对角线ac折起，使得bd=a，则三棱锥dabc的体积为（）abcd12某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）a16b16+16c32d16+32二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）13已知球o的半径为2，则球o的表面积为14一个正方体的体积为8，则它的内切球的体积为15如图所示的直观图，则其平面图形的面积为16将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17已知长方体abcdabcd中，ab=2，ad=2，aa=2，求：（1）bc与ac所成的角是多少？（2）aa与bc所成的角是多少？18某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示墩的上半部分是正四棱锥pefgh，下半部分是长方体abcdefgh图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图（1）请画出该安全标识墩的侧视图；（2）求该安全标识墩的体积19如图在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，pa=ad=1，ab=，点f是pd中点，点e是dc边上的任意一点（）当点e为dc边的中点时，判断ef与平面pac的位置关系，并加以证明；（）证明：无论点e在dc边的何处，都有affe；（）求三棱锥bafe的体积20如图，在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，ab=ad，bad=60，e、f分别是ap、ad的中点，求证：（1）直线ef平面pcd；（2）平面bef平面pad21如图，四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面abcd为直角梯形，且abcd，bad=90，pa=ad=dc=2，ab=4（i）求证：bcpc；（ii）求pb与平面pac所成的角的正弦值；（iii）求点a到平面pbc的距离22如图，abc内接于圆o，ab是圆o的直径，四边形dcbe为平行四边形，dc平面abc，ab=2，已知ae与平面abc所成的角为，且（1）证明：平面acd平面ade；（2）记ac=x，v（x）表示三棱锥acbe的体积，求v（x）的表达式；（3）当v（x）取得最大值时，求二面角dabc的大小2015-2016学年广东省肇庆四中高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）1有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体可能是一个（）a棱台b棱锥c棱柱d正八面体【考点】简单空间图形的三视图【专题】空间位置关系与距离【分析】根据主视图、左视图、俯视图的形状，将它们相交得到几何体的形状【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为正方形，下面看是正方形，并且可以想象到连接相应顶点的四条线段就是几何体的四条侧棱，故这个三视图是四棱台故选a【点评】本题考查几何体的三视图与直观图之间的相互转化2若直线l平面，直线m，则l与m的位置关系是（）almbl与m异面cl与m相交dl与m没有公共点【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】计算题【分析】由线面平行的定义可判断l与无公共点，直线m在平面内，故lm，或l与m异面【解答】解：直线l平面，由线面平行的定义知l与无公共点，又直线m在平面内，lm，或l与m异面，故选d【点评】本题考查平面的基本性质及其推论，解题时要认真审题，仔细解答3下列说法正确的是（）a三点确定一个平面b四边形一定是平面图形c梯形一定是平面图形d平面和平面有不同在一条直线上的三个交点【考点】平面的基本性质及推论【专题】常规题型【分析】不共线的三点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，得到a，b，c三个选项的正误，根据两个平面如果相交一定有一条交线，确定d选项是错误的，得到结果【解答】解：a不共线的三点确定一个平面，故a不正确，b四边形有时是指空间四边形，故b不正确，c梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故c正确，d两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故d不正确故选c【点评】本题考查平面的基本性质即推论，考查确定平面的条件，考查两个平面相交的性质，是一个基础题，越是简单的题目，越是不容易说明白，同学们要注意这个题目4棱长都是1的三棱锥的表面积为（）abcd【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【专题】计算题【分析】棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果【解答】解：因为四个面是全等的正三角形，则故选a【点评】本题考查棱锥的面积，是基础题5下列说法不正确的是（）a空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形b同一平面的两条垂线一定共面c过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内d过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【考点】平面的基本性质及推论【专题】证明题【分析】根据证明平行四边形的条件判断a，由线面垂直的性质定理和定义判断b和c，利用实际例子判断d【解答】解：a、一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故a不符合题意；b、由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故b不符合题意；c、由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故c不符合题意；d、由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故d符合题意故选d【点评】本题考查了平面几何和立体几何中的定理和定义，只要抓住定理中的关键条件进行判断，可借助于符合条件的几何体进行说明，考查了空间想象能力和对定理的运用能力6a，b，c表示直线，m表示平面，给出下列四个命题：若am，bm，则ab；若bm，ab，则am；若ac，bc，则ab；若am，bm，则ab其中正确命题的个数有（）a0个b1个c2个d3个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】综合题【分析】对于四个命题：，由空间两直线的判定定理可得；，由线面垂直的性质定理可得； ，可由线面平行的判定定理判定；，可由空间两条直线的位置关系及线 线平行的判定判断【解答】解：对于，可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况； 对于，可以翻译为：垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理，正确； 对于，可以翻译为：垂直于同一直线的两直线平行，在平面内成立，在空间还有相交、异面两种情况，错误； 对于，若bm，ab，若am，则am不成立，故错误故选b【点评】本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法，线面平行的判定，解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的三种情况，牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理7正方体的棱长和外接球的半径之比为（）a：1b：2c2：d：3【考点】球内接多面体【专题】空间位置关系与距离【分析】根据外接球的直径为正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出外接球半径，求出棱长和外接球的半径之比【解答】解：设正方体的棱长为1，外接球的直径为正方体的对角线长，故外接球的直径为，半径为：，所以，正方体的棱长和外接球的半径之比为1： =2：故选c【点评】本题是基础题，考查球内接多面体外接球的直径为正方体的对角线长，是解决本题的关键8垂直于同一条直线的两条直线一定（）a平行b相交c异面d以上都有可能【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】分类讨论【分析】根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断【解答】解：分两种情况：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面故选d【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系9在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是（）abcd【考点】组合几何体的面积、体积问题【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】利用正方体的体积减去8个三棱锥的体积，求解即可【解答】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，8个三棱锥的体积为： =剩下的凸多面体的体积是1=故选：d【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力10四棱台的两底边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的侧面积为（）a6cm2b cm2c cm2d3cm2【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】因为它的六个侧面是梯形，而上底和下底是已知的，只要利用勾股定理（斜高，棱台的高，下底边长到下底中心的距离减去上底边长到上底中心的距离）求出斜高即可求侧面积【解答】解：四棱台的两底边长分别为1cm，2cm，高是1cm，上底边长到上底中心的距离是cm，下底边长到下底中心的距离是1cm，那么梯形的高，就是斜高： =cm，一个梯形的面积就是（1+2）=cm2，棱台的侧面积：4个面的总和s=3 cm2故选：d【点评】本题考查棱台的侧面积，考查计算能力，是基础题11将边长为a的正方形abcd沿对角线ac折起，使得bd=a，则三棱锥dabc的体积为（）abcd【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】计算题【分析】取ac的中点o，连接do，bo，求出三角形dob的面积，求出ac的长，即可求三棱锥dabc的体积【解答】解：o是ac中点，连接do，bo，如图，adc，abc都是等腰直角三角形，do=b0=，bd=a，bdo也是等腰直角三角形，doac，dobo，do平面abc，do就是三棱锥dabc的高，sabc=a2三棱锥dabc的体积：，故选d【点评】本题考查棱锥的体积，是基础题12某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）a16b16+16c32d16+32【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，求出各个面的面积，相加可得答案【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，棱锥的底面边长为4，故底面面积为16，棱锥的高为2，故侧面的高为：2，则每个侧面的面积为： =4，故棱锥的表面积为：16+16，故选：b【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）13已知球o的半径为2，则球o的表面积为16【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；综合法；空间位置关系与距离【分析】利用球的面积公式，直接求解即可【解答】解：球的半径为2，所以球的表面积为：4r2=16故答案为：16【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题14一个正方体的体积为8，则它的内切球的体积为【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】求出正方体的棱长，然后求出内切球的半径，即可求出内切球的体积【解答】解：正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则内切球的体积为故答案为：【点评】本题是基础题，考查正方体体积的应用，正方体的内切球的体积为的求法，考查计算能力15如图所示的直观图，则其平面图形的面积为6【考点】平面图形的直观图【专题】计算题【分析】用斜二侧画法的法则，可知原图形是一个两边分别在x、y轴的直角三角形，x轴上的边长与原图形相等，而y轴上的边长是原图形边长的一半，由此不难得到平面图形的面积【解答】解：设原图形为aob，且aob的直观图为aob，如图oa=2，ob=3，aob=45oa=4，ob=3，aob=90因此，rtaob的面积为s=6故答案为：6【点评】本题要求我们将一个直观图形进行还原，并且求出它的面积，着重考查了斜二侧画法和三角形的面积公式等知识，属于基础题16将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱锥的结构特征【专题】计算题【分析】通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：2，底面半径为：1，圆锥的高为：；圆锥的体积为： =【点评】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17已知长方体abcdabcd中，ab=2，ad=2，aa=2，求：（1）bc与ac所成的角是多少？（2）aa与bc所成的角是多少？【考点】异面直线及其所成的角【专题】空间位置关系与距离【分析】长方体abcda1b1c1d1中，由a1c1ac，知bca是bc和a1c1所成的角，由此能求出bc和a1c1所成的角由aa1平面a1b1c1d1，b1c1平面a1b1c1d1，能求出aa1和b1c1所成的角【解答】解：（1）bcbc，bca就是bc与ac所成的角；长方体abcdabcd中，ab=2，ad=2，aa=2，bca=45；bc与ac所成的角是45；（2）aabbbbc就是aa与bc所成的角；长方体abcdabcd中，ab=2，ad=2，aa=2，tanbbc=，bbc=60，aa与bc所成的角是60【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，关键是将空间角转为平面角解答，注意等价转化思想的合理运用18某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示墩的上半部分是正四棱锥pefgh，下半部分是长方体abcdefgh图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图（1）请画出该安全标识墩的侧视图；（2）求该安全标识墩的体积【考点】简单空间图形的三视图；由三视图求面积、体积【专题】计算题；作图题【分析】（1）由于墩的上半部分是正四棱锥pefgh，下半部分是长方体abcdefgh，故其正视图与侧视图全等（2）由三视图我们易得，底面为边长为40cm的正方形，长方体的高为20cm，棱锥高为60cm，代入棱柱和棱锥体积公式，易得结果【解答】解：（1）该安全标识墩侧视图如图所示（2）该安全标识墩的体积v=vpefgh+vabcdefgh=404060+404020=64000（cm3）【点评】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为n棱锥（n值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为n棱柱（n值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为n棱柱（n值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台19如图在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，pa=ad=1，ab=，点f是pd中点，点e是dc边上的任意一点（）当点e为dc边的中点时，判断ef与平面pac的位置关系，并加以证明；（）证明：无论点e在dc边的何处，都有affe；（）求三棱锥bafe的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】（）利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决；（）通过证明af平面pcd即可解决；（）利用换底法求vfabe即可【解答】（）解：当点e为bc的中点时，ef与平面pac平行在pbc中，e、f分别为bc、pb的中点，efpc，又ef平面pac，而pc平面pac，ef平面pac；（）证明：pa平面abcd，cd平面abcd，pacd，abcd是矩形，cdadadap=a，cd平面pad，又af平面pab，afcd又pa=ad，点f是pd的中点，afpd，又cdpd=d，af平面pcdef平面pcd，afef；（）解：作fgpa交ad于g，则fg平面abcd，且，三棱锥bafe的体积为【点评】无论是线面平行（垂直）还是面面平行（垂直），都源自于线与线的平行（垂直），这种“高维”向“低维”转化的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的平行（垂直）关系，再从结论入手分析所要证明的平行（垂直）关系，从而架起已知与未知之间的桥梁20如图，在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，ab=ad，bad=60，e、f分别是ap、ad的中点，求证：（1）直线ef平面pcd；（2）平面bef平面pad【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】立体几何【分析】（1）要证直线ef平面pcd，只需证明efpd，ef不在平面pcd中，pd平面pcd即可（2）连接bd，证明bfad说明平面pad平面abcd=ad，推出bf平面pad；然后证明平面bef平面pad【解答】证明：（1）在pad中，因为e，f分别为ap，ad的中点，所以efpd又因为ef不在平面pcd中，pd平面pcd所以直线ef平面pcd（2）连接bd因为ab=ad，bad=60所以abd为正三角形因为f是ad的中点，所以bfad因为平面pad平面abcd，bf平面abcd，平面pad平面abcd=ad，所以bf平面pad又因为bf平面ebf，所以平面bef平面pad【点评】本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型21如图，四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面abcd为直角梯形，且abcd，bad=90，pa=ad=dc=2，ab=4（i）求证：bcpc；（ii）求pb与平面pac所成的角的正弦值；（iii）求点a到平面pbc的距离【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算【专题】计算题；证明题；综合题；数形结合；转化思想【分析】方法1：综合法（i）要证bcpc，只要证acbc，由勾股定理易证，根据三垂线定理，可得bcpc；（ii）要求pb与平面pac所成的角的正弦值，只要找pb在平面pac内的射影pc，解三角形pbc即可；（iii）求点a到平面pbc的距离，即找过点a的面pbc的一条垂线段即可方法2：向量法：建系，写出相关点的坐标，（i）要证bcpc，只要证；（ii）求pb与平面pac所成的角的正弦值，即求与平面pac的一个法向量夹角的余弦值的绝对值即可；（iii）求点a到平面pbc的距离，即求在平面pbc的一个法向量上的投影的绝对值【解答】解：方法1（i）证明：在直角梯形abcd中，abcd，bad=90，ad=dc=2adc=90，且取ab的中点e，连接ce，由题意可知，四边形aecd为正方形，所以ae=ce=2，又，所以，则abc为等腰直角三角形，所以acbc，又因为pa平面abcd，且ac为pc在平面abcd内的射影，bc平面abcd，由三垂线定理得，bcpc（ii）由（i）可知，bcpc，bcac，pcac=c，所以bc平面pac，pc是pb在平面pac内的射影，所以cpb是pb与平面pac所成的角，又，pb2=pa2+ab2=20，即pb与平面pac所成角的正弦为（iii）由（ii）可知，bc平面pac，bc平面pbc，所以平面pbc平面pac，过a点在平面pac内作afpc于f，所以af平面pbc，则af的长即为点a到平面pbc的距离，在直角三角形pac中，pa=2，所以即点a到平面pbc的距离为方法2ap平面abcd，bad=90以a为原点，ad、ab、ap分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系pa=ad=dc=2，ab=4b（0，4，0），d（2，0，0），c（2，2，0），p（0，0，2）（i），即bcpc（ii）设面apc法向量=（x，y，z），设x=1，y=1=（1，1，0）=即pb与平面pac所成角的正弦值为（iii）由设面pbc法向量=（a，b，c）设a=1，c=2，b=1=（1，1，2）点a到平面pbc的距离为=点a到平面pbc的距离为【点评】