高中数学 第二章 函数 2.3 函数的应用（Ⅰ）课件 新人教B版必修1.ppt

2 3函数的应用 一 二 一 函数模型 问题思考 1 在函数建模中 怎样确立两个变量是哪种函数关系 提示 通常需要先画出函数图象 根据图象来确定两个变量的关系 选择函数类型 2 函数模型在实际应用中 函数的自变量有什么特点 提示 在实际应用中 函数的自变量x往往具有实际意义 如x表示长度时 x 0 x表示件数时 x 0 且x z等 在解答时 必须要考虑这些实际意义 一 二 3 已知某商场经营一批进价为12元 个的小商品 在4天的试销中 对此商品的销售单价x 元 与相应的日销售量y 个 进行了统计 其数据如下表 你能否找到一种函数 使它反映y关于x的函数关系 若能 写出函数解析式 一 二 提示 观察x y的数据 可大体看到y与x是一次函数关系 令y kx b k 0 因为当x 16时 y 42 当x 20时 y 30 即y 3x 90 显然当x 24时 y 18 当x 28时 y 6 对照数据 可以看出y 3x 90即为所求的函数解析式 考虑到x的实际意义及y的取整性 所以y 3x 90 x 1 2 3 30 一 二 4 填空 1 一次函数模型解析式 y kx b k 0 2 二次函数模型 一般式 y ax2 bx c a 0 顶点式 y a x h 2 k a 0 其中顶点坐标为 h k 3 分段函数模型有些实际问题 在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同 此时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它 由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式 因此分段函数在研究条件变化的实际问题中 或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用 一 二 归纳提高1 在求其解析式时 应先确定分 段 即函数分成几段 并抓住 分界点 确保分界点 不重 不漏 2 在求函数值时 先确定自变量的值所属的区间 再代入 同样 已知函数值 求解自变量的值时 就是解方程的过程 即每段都令y取已知函数值 解出相应x的值 再判断是否属于所在区间 一 二 二 解决数学应用题的一般步骤 问题思考 1 对教材例2中的 客房问题 你有什么体会 在现实问题中 有没有与它类似的问题 如果有 请举例说明 提示 客房问题 反映的规律性在实际生活中有很多典例 实际归结到最后 客房问题 是一个二次函数模型的具体应用 在现实生活中的 调价问题 与其类似 其模型为 当某类商品在销售价格为b元时 可售出a件 现欲提价 若单价每提高m元 则销售量平均减少n件 求提高多少元时销售的总收入最高 设将商品售价提高x个m元 则总收入为y b xm a xn mnx2 am bn x ab 它是一个自变量为自然数的二次函数 且其二次项系数小于零 根据二次函数的知识知它有最大值 一 二 2 做一做 某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0 35元 卖出的价格是每份0 50元 卖不掉的报纸还可以以每份0 08元的价格退回报社 在一个月 30天 里有20天每天可以卖出报纸400份 其余10天每天只能卖出250份 若每天从报社买进报纸的数量相同 则每天应该从报社买进多少份报纸 才能使每月所获得的利润最大 并计算该销售点一个月最多可赚多少元 解 设每天应从报社买x份报纸 由题意知250 x 400 设每月赚y元 根据题意得y 0 5x 20 0 5 250 10 x 250 0 08 10 0 35x 30 0 3x 1050 x 250 400 因为y 0 3x 1050是定义域上的增函数 所以当x 400时 ymax 120 1050 1170 元 答 每天应该从报社买进400份报纸 才能使每月所获得的利润最大 每月最多可赚1170元 探究一 探究二 探究三 思维辨析 一次函数模型的应用 例1 1 某厂日生产文具盒的总成本y 元 与日产量x 套 之间的关系为y 6x 30000 而出厂价格为每套12元 要使该厂不亏本 至少日生产文具盒 a 2000套b 3000套c 4000套d 5000套 2 商店出售茶壶和茶杯 茶壶定价为每个20元 茶杯每个5元 该商店推出两种优惠办法 1 买一个茶壶赠一个茶杯 2 按总价的92 付款 某顾客需购买茶壶4个 茶杯若干个 不少于4个 若购买茶杯x 个 付款y 元 分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式 并讨论该顾客买同样多的茶杯时 两种办法哪一种更优惠 探究一 探究二 探究三 思维辨析 1 解析 因利润z 12x 6x 30000 所以z 6x 30000 由z 0解得x 5000 故至少日生产文具盒5000套 答案 d 2 解 由优惠办法 1 可得函数解析式为y1 20 4 5 x 4 5x 60 x 4 且x n 由优惠办法 2 可得y2 5x 20 4 92 4 6x 73 6 x 4 且x n y1 y2 0 4x 13 6 x 4 且x n 令y1 y2 0 得x 34 所以 当购买34个茶杯时 两种办法付款相同 当4 x34时 y1 y2 优惠办法 2 更省钱 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 一次函数模型的实际应用 一次函数模型应用时 本着 问什么 设什么 列什么 这一原则 2 一次函数的最值求解 一次函数求最值 常转化为求解不等式ax b 0 或 0 解答时 注意系数a的正负 也可以结合函数图象或其单调性来求最值 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1若一根蜡烛长20cm 点燃后每小时燃烧5cm 则燃烧剩下的高度h cm 与燃烧时间t h 的函数关系用图象表示为图中的 解析 蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短 根据实际意义不可能是d 更不可能是a c 故选b 答案 b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 二次函数模型的应用 例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果 假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元 市场调查发现 若每箱以50元的价格销售 平均每天销售90箱 价格每提高1元 平均每天少销售3箱 1 求平均每天的销售量y 箱 与销售单价x 元 箱 之间的函数关系式 2 求该批发商平均每天的销售利润w 元 与销售单价x 元 箱 之间的函数关系式 3 当每箱苹果的售价为多少元时 可以获得最大利润 最大利润是多少 探究一 探究二 探究三 思维辨析 分析 本题中平均每天的销售量y 箱 与销售单价x 元 箱 是一个一次函数关系 虽然x 50 55 x n 但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题 平均每天的销售利润w 元 与销售单价x 元 箱 是一个二次函数关系 可看成是一个二次函数模型的应用题 解 1 根据题意 得y 90 3 x 50 化简 得y 3x 240 50 x 55 x n 2 因为该批发商平均每天的销售利润 平均每天的销售量 每箱销售利润 所以w x 40 3x 240 3x2 360 x 9600 50 x 55 x n 3 因为w 3x2 360 x 9600 3 x 60 2 1200 所以当x 60时 w随x的增大而增大 又50 x 55 x n 所以当x 55时 w有最大值 最大值为1125 所以当每箱苹果的售价为55元时 可以获得最大利润 且最大利润为1125元 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 在根据实际问题建立函数解析式后 可利用配方法 判别式法 换元法 函数的单调性等方法来求函数的最值 从而解决实际问题中的最值问题 二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答 2 对于本题要清楚平均每天的销售利润 平均每天的销售量 每箱销售利润 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2有a b两城相距100km 在a b两城之间距a城xkm的d地建一核电站给这两城供电 为保证城市安全 核电站与城市距离不得少于10km 已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比 比例系数 0 25 若a城供电量为20亿度 月 b城供电量为10亿度 月 1 把月供电总费用y表示成x的函数 并求定义域 2 核电站建在距a城多远时 才能使供电费用最小 探究一 探究二 探究三 思维辨析 分段函数模型的应用 例3 wap手机上网每月使用量在500min以下 包括500min 按30元计费 超过500min的部分按0 15元 min计费 假如上网时间过短 小于60min 使用量在1min以下不计费 在1min以上 包括1min 按0 5元 min计费 wap手机上网不收通话费和漫游费 1 写出上网时间xmin与所付费用y元之间的函数关系式 2 12月份小王wap上网使用量为20h 要付多少钱 3 小王10月份付了90元的wap上网费 那么他上网的时间是多少 分析 由于上网时间不同 收费标准不同 因此对所付费用作分段讨论 以确定付费标准 建立函数关系式 解决付费与上网时间的问题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 设上网时间为xmin 由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为 2 当x 20 60 1200 min 时 x 500 应付y 30 0 15 1200 500 135 元 3 90元已超过30元 所以上网时间超过500min 由解析式可得上网时间为900min 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 在刻画实际问题中 变量之间的关系因自变量x取值范围的不同 对应的函数关系不能用同一个解析式表示时 常用分段函数建立函数模型解决问题 2 分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数 求解分段函数的最值问题时应注意 分段函数的最大值是各段函数最大值中较大的一个 分段函数的最小值是各段函数最小值中较小的一个 探究一 探究二 探究三 思维辨析 为支持福利事业 解决残疾人就业问题 银行决定给某福利企业免息贷款46 8万元 用于经营某种商品 已知该种商品的进价为每件40元 每月销售量q 单位 百件 与销售价p 单位 元 件 之间满足关系式 该企业职工每人每月工资为1200元 其他经营性费用为每月13200元 1 如果暂时不考虑还贷的前提下 当销售价p为52元 件 每月刚好收支平衡 求该企业的职工人数 2 若该企业只有20名职工 在保证职工工资及其他经营性支出外 剩余的利润都用来偿还贷款 试问最早几年后还清贷款 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 设该企业职工人数为t 依题意当p 52时 q 36 则 52 40 36 100 1200t 13200 t 25 即该企业有25名职工 2 设每个月的利润为f p 则f p 当p 55时 2p 140 p 40 max 450 当p 61时 p 82 p 40 max 441 450 441 当p 55时 能更早还清贷款 又 100 450 1200 20 13200 12 93600 当定价为55元时 最早5年后能还清贷款 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因忽视实际问题中x的范围而致误 典例 如图所示 在矩形abcd中 已知ab a bc b a b 在ab ad cb cd上分别截取ae ah cf cg x x 0 设四边形efgh的面积为y 1 写出四边形efgh的面积y与x之间的函数关系式 2 求当x为何值时 y取得最大值 最大值是多少 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何订正 你怎么防范 提示 错解过程中一是没注意实际问题中x的取值范围 二是求函数最值时没有讨论对称轴与区间的关系 但从根本上错误的根源是第 1 问中没有明确定义域 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 防范措施1 对实际问题中的函数解析式一定要注意自变量x要受实际问题的约束 养成遇到实际问题 定义域优先 的习惯 2 有时一个小细节的失误 会导致严重错误的产生 因此解决实际问题时 要充分考虑问题的背景 实际意义 隐含条件等 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练某企业实行裁员增效 已知现有员工a人 每人每年可创纯收益 已扣工资等 1万元 据评估 在生产条件不变的条件下 每裁员一人 则留岗人员每人每年可多创收0 01万元 但每年需付给每位下岗工人0 4万元生活费 并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的 设该企业裁员x人后年纯收益为y万元 1 写出y关于x的函数解析式 并指出x的取值范围 2 当140 a 280时 该企业应裁员多少人 才能获得最大的经济效益 注 在保证能取得最大经济效益的情况下 能少裁员 应尽量少裁 探究一 探究二 探究三 思维辨析 1 一个等腰三角形的周长是20 则底边长y是关于腰长x的函数 其解析式为 a y 20 2x x 10 b y 20 2x x 10 c y 20 2x 5 x 10 d y 20 2x 5 x 10 答案 d2 某生产厂家的生产总成本y 万元 与产量x 件 之间的关系式为y x2 80 x 若每件产品的售价为25万元 则该厂获得最大利润时 生产的产品件数为 a 52b 52 5c 53d 52或53解析 因为利润 收入 成本 当产量为x件时 x n 利润f x 25x x2 80 x 所以x 52或x 53时 f x 有最大值 答案 d 3 某商店进货单价为45元 若按50元一个销售 能卖出50个 若销售单价每涨1元 其销售量就减少2个 为了获得最大利润 此商品的最佳售价应为每个元 解析 设涨价x元 销售的利润为y元 则y 50 x