高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第九节 直线与圆锥曲线的位置关系课件 理.pptVIP

第九节直线与圆锥曲线的位置关系 总纲目录 教材研读 1 直线与圆锥曲线的位置关系的判断 考点突破 2 圆锥曲线的弦长 考点二弦长问题 考点一直线与圆锥曲线的位置关系 考点三中点弦问题 教材研读 1 直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立 消去一个变量得到关于x 或y 的一元方程 ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 1 当a 0时 可考虑一元二次方程的判别式 有 i 0 直线与圆锥曲线 相交 ii 0 直线与圆锥曲线 相切 iii 0 直线与圆锥曲线 相离 2 当a 0 b 0时 得到一个一元一次方程 则直线与圆锥曲线相交 且只有一个交点 i 若圆锥曲线为双曲线 则直线与双曲线的渐近线的位置关系是 平行 ii 若圆锥曲线为抛物线 则直线与抛物线的对称轴的位置关系是 平行或 重合 2 圆锥曲线的弦长设斜率为k k 0 的直线l与圆锥曲线c相交于a b两点 a x1 y1 b x2 y2 则 ab x2 x1 y2 y1 1 直线y kx k 1与椭圆 1的位置关系为 a 相交b 相切c 相离d 不确定 a 答案a由于直线y kx k 1 k x 1 1过定点 1 1 又 1 1 在椭圆内 故直线与椭圆相交 2 直线y x 3与双曲线 1 a 0 b 0 的交点个数是 a 1b 2c 1或2d 0 a 答案a因为直线y x 3与双曲线的渐近线y x平行 所以它与双曲线只有1个交点 3 椭圆ax2 by2 1与直线y 1 x交于a b两点 过原点与线段ab中点的直线的斜率为 则的值为 a b c d a 答案a设a x1 y1 b x2 y2 ab的中点为m x0 y0 结合题意 由点差法得 1 4 已知椭圆c 1 a b 0 f 0 为其右焦点 过点f且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2 则椭圆c的方程为 1 答案 1 解析由题意得解得所以椭圆c的方程为 1 5 过抛物线y2 8x的焦点f作倾斜角为135 的直线 交抛物线于a b两点 则弦ab的长为16 答案16 解析设a x1 y1 b x2 y2 因为抛物线y2 8x的焦点为f 2 0 直线ab的倾斜角为135 故直线ab的方程为y x 2 代入抛物线方程y2 8x 得x2 12x 4 0 则x1 x2 12 x1x2 4 则 ab x1 x2 4 12 4 16 考点一直线与圆锥曲线的位置关系 考点突破 典例1 2017北京顺义二模 19 已知椭圆e 1 a b 0 经过点 其离心率e 1 求椭圆e的方程 2 设动直线l y kx m与椭圆e相切 切点为t 且l与直线x 4相交于点s 试问 在x轴上是否存在一定点 使得以st为直径的圆恒过该定点 若存在 求出该点的坐标 若不存在 请说明理由 解析 1 因为点在椭圆上 所以 1 依题意知a 2c 则a2 4c2 b2 3c2 将 代入 得c2 1 故a2 4 b2 3 故椭圆e的标准方程为 1 2 存在 由消去y 得 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 因为动直线l与椭圆e相切 所以它们有且只有一个公共点t 所以m 0且 0 即64k2m2 4 4k2 3 4m2 12 0 化简得4k2 m2 3 0 设t x0 y0 则x0 y0 kx0 m 所以点t的坐标为 由得s 4 4k m 假设在x轴上存在定点满足条件 不妨设定点为点a x1 0 则由已知条件知as at 即 0对满足 式的m k恒成立 易知 4 x1 4k m 则 4x1 3 0 整理得 4x1 4 4x1 3 0 因为 式对满足 式的m k恒成立 所以解得x1 1 故在x轴上存在定点 1 0 使得以st为直径的圆恒过该定点 方法技巧直线与圆锥曲线位置关系问题的求解策略 1 直线与圆锥曲线相交或相离时 可直接联立直线与圆锥曲线的方程 结合消元后的一元二次方程求解 2 直线与圆锥曲线相切时 尤其是抛物线与双曲线 要数形结合求解 1 1在平面直角坐标系xoy中 已知椭圆c1 1 a b 0 的左焦点为f1 1 0 且点p 0 1 在c1上 1 求椭圆c1的方程 2 设直线l同时与椭圆c1和抛物线c2 y2 4x相切 求直线l的方程 解析 1 由题意得a2 b2 1 b 1 则a 椭圆c1的方程为 y2 1 2 易得直线l的斜率存在且不为零 则可设l的方程为y kx m k 0 由消去y 整理得 1 2k2 x2 4kmx 2m2 2 0 1 16k2m2 8 m2 1 2k2 1 16k2 8 8m2 0 即m2 2k2 1 由消去y 整理得k2x2 2km 4 x m2 0 2 2km 4 2 4k2m2 16 16km 0 即km 1 由 得m 代入 得 2k2 1 即2k4 k2 1 0 令t k2 则2t2 t 1 0 解得t1 t2 1 舍 或 直线l的方程为y x 或y x 典例2 2017北京石景山一模 19 已知椭圆e 1 a b 0 过点 0 1 且离心率为 1 求椭圆e的标准方程 2 设直线l y x m与椭圆e交于a c两点 以ac为对角线作正方形abcd 记直线l与x轴的交点为n 问b n两点间的距离是否为定值 如果是 求出定值 如果不是 请说明理由 考点二弦长问题 解析 1 设椭圆的半焦距为c 因为点 0 1 在椭圆e上 所以b 1 故a2 c2 1 又因为e 所以c a 2 所以椭圆e的标准方程为 y2 1 2 是定值 设a x1 y1 c x2 y2 线段ac的中点为m x0 y0 由得x2 2mx 2m2 2 0 由 2m 2 4 2m2 2 8 4m2 0 可得 m 所以x1 x2 2m x1x2 2m2 2 所以ac的中点为m ac 又直线l与x轴的交点n 2m 0 所以 mn 所以 bn 2 bm 2 mn 2 ac 2 mn 2 所以b n两点间的距离为定值 且定值为 方法技巧弦长的计算方法与技巧求弦长时可利用弦长公式 根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程 利用根与系数的关系得到两根之和 两根之积的代数式 然后整体代入弦长公式求解 注意两种特殊情况 1 直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直 2 直线过圆锥曲线的焦点 2 1设f1 f2分别是椭圆e x2 1 0 b 1 的左 右焦点 过f1的直线l与e相交于a b两点 且 af2 ab bf2 成等差数列 1 求 ab 2 若直线l的斜率为1 求b的值 解析 1 由椭圆定义知 af2 ab bf2 4 又2 ab af2 bf2 所以 ab 2 l的方程为y x c 其中c 设a x1 y1 b x2 y2 则a b两点坐标满足方程组 化简得 1 b2 x2 2cx 1 2b2 0 则x1 x2 x1x2 因为直线ab的斜率为1 所以 ab x2 x1 即 x2 x1 则 x1 x2 2 4x1x2 因为0 b 1 所以b 典例3 1 在椭圆 1内 通过点m 1 1 且被这点平分的弦所在的直线方程为 a x 4y 5 0b x 4y 5 0c 4x y 5 0d 4x y 5 0 2 若椭圆的中心在原点 一个焦点为 0 2 直线y 3x 7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1 则这个椭圆的方程为 a 1b 1 考点三中点弦问题 c 1d 1 a d 答案 1 a 2 d 解析 1 设直线与椭圆的交点为a x1 y1 b x2 y2 则由 得 0 因为所以 所以所求直线方程为y 1 x 1 即x 4y 5 0 2 因为椭圆的中心在原点 一个焦点为 0 2 则a2 b2 4 所以可设椭圆方 程为 1 联立 得 10b2 4 y2 14 b2 4 y 9b4 13b2 196 0 设直线y 3x 7与椭圆相交所得弦的端点的坐标为 x1 y1 x2 y2 由一元二次方程根与系数的关系及题意得y1 y2 2 解得b2 8 所以a2 12 则椭圆的方程为 1 方法技巧处理中点弦问题的常用方法 1 点差法 设出弦的两端点坐标后 代入圆锥曲线方程 并将两式相减 式中含有x1 x2 y1 y2 三个未知量 这样就直接联系了中点和直线的斜率 借用中点公式即可求得斜率 2 根与系数的关系 联立直线与圆锥曲线的方程 将其转化为一元二次方程后由根与系数的