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2008级985高等数学（下）及其参考答案 2008级高等数学下册试题（985）一、填空题（每小题3分，共 15分1微分方程的通解为解：原微分方程对应的特征方程为 解之，得特征根为： 故通解为：2、设区域为，则解：3已知两直线的方程是 则过且平行于的平面方程是解：可取所求平面的法向量为.又所求平面过点 ，由平面的点法式方程得，所求平面为： ，即4、设是平面被圆柱面截出的限部分，则曲面积分解：由对称性知，显然5、设，则解：由轮换对称性，知 故 二、选择题（每小题3，共 151. 级数的和为； ； ； 解：令 则， 故 2. 已知在区域上连续，且则 ； ； ； 解：记 （1）做变换，即 其雅可比行列式为故由积分变换公式，得： 其中与形状相同.换记号，则有 （2） 故 由（1）、（2）相加，得： 3. 曲线积分等于 ，中为，正向.； ； ； 解：（为所围成的区域的面积）.4. 设曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且则等于； ； ； 解：因为与路径无关，故，即 ，对于任何成立 化简，得 （1） 由公式： （2）又代入得：所以，5. 设在点的某个邻域内二阶可导，且则； ； ； 解：因为故 （1） （2）由（2）式，得 （3） 且 （4）由洛必达法则， 故 三、计算、证明题（每题10分，共 70分）1证明：曲面 上任一点的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为一定数.证：任取曲面上一点令 ，则曲面在点处的切平面的法向量为 所以曲面在点处的切平面为：即故所求四面体的体积为2. 叙述格林公式并计算曲线积分其中是以为顶点的正方形的正向边界曲线.解：格林公式的叙述这里略去. 3是否为某个二元函数的全微分？若是，求解：（一）因为在整个平面上除原点外恒成立，所以，是某一个函数的全微分.（二）可取 4计算曲面积分，其中曲面为锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面.解：其中 ， ， 所以 5求幂级数在内的和函数.解： 设 则 所以， 即 设 则 则 故 所以 =6计算曲面积分，是柱体的外侧.解：原式7（本题有两小题，周六课时的同学都做，周五课时的同学任选一题）（1）计算三重积分其中区域是由所确定.（2）设函数具有连续导数且求 解：（1）解法一：柱面坐标法：联立消,得在坐标面上的投影区域为圆域 （令） 其实，此题最宜
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