高考数学一轮复习 第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第八节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件 理.ppt

第八节离散型随机变量的均值与方差 正态分布 总纲目录 教材研读 1 离散型随机变量的均值与方差 考点突破 2 均值与方差的性质 3 两点分布与二项分布的均值 方差 考点二均值与方差在实际问题中的应用 考点一离散型随机变量的均值 方差 4 正态曲线的特点 考点三正态分布 教材研读 1 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量x的分布列为 1 均值 称ex x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量x的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 2 称dx xi ex 2pi为随机变量x的方差 它刻画了随机变量x与其均值ex的平均 偏离程度 其算术平方根为随机变量x的标准差 2 均值与方差的性质 1 e ax b aex b a b为实数 2 d ax b a2dx a b为实数 3 两点分布与二项分布的均值 方差 4 正态曲线的特点 1 曲线位于x轴 上方 与x轴不相交 2 曲线是单峰的 它关于直线x 对称 3 曲线在x 处达到峰值 4 曲线与x轴之间的面积为1 5 当 一定时 曲线的位置由 确定 曲线随着 的变化而沿x轴平移 6 当 一定时 曲线的形状由 确定 越小 曲线越 瘦高 表示总体的分布越集中 越大 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分散 1 已知离散型随机变量x的分布列为 则x的数学期望e x a b 2c d 3 答案a由已知条件可知e x 1 2 3 故选a a 2 已知随机变量 服从正态分布n 2 2 且p 4 0 8 则p 0 2 a 0 6b 0 4c 0 3d 0 2 c 答案c由p 4 p 0 0 2 故p 0 2 0 3 故选c 3 已知x的分布列为 设y 2x 3 则e y 的值为 a b 4c 1d 1 a 答案ae x 1 0 1 e y e 2x 3 2e x 3 3 4 有一批产品 其中有12件正品和4件次品 有放回地任取3件 若x表示取到次品的件数 则d x 答案 解析由题意知每次取到次品的概率都为 x b d x 3 b 5 已知 n 0 2 且p 2 0 0 4 则p 2 0 1 答案0 1 解析由题意知p 0 2 p 2 0 0 4 所以p 2 1 2 0 4 0 1 b 考点一离散型随机变量的均值 方差 考点突破 典例1 2017北京 17 13分 为了研究一种新药的疗效 选100名患者随机分成两组 每组50名 一组服药 另一组不服药 一段时间后 记录了两组患者的生理指标x和y的数据 并制成下图 其中 表示服药者 表示未服药者 1 从服药的50名患者中随机选出一人 求此人指标y的值小于60的概率 2 从图中a b c d四人中随机选出两人 记 为选出的两人中指标x的值大于1 7的人数 求 的分布列和数学期望e 3 试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小 只需写出结论 解析 1 由题图知 在服药的50名患者中 指标y的值小于60的有15人 所以从服药的50名患者中随机选出一人 此人指标y的值小于60的概率为 0 3 2 由题图知 a b c d四人中 指标x的值大于1 7的有2人 a和c 所以 的所有可能取值为0 1 2 p 0 p 1 p 2 所以 的分布列为 故 的期望e 0 1 2 1 3 在这100名患者中 服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差 方法技巧求离散型随机变量x的均值与方差的步骤 1 理解x的意义 写出x可能取的全部值 2 求x取每个值时的概率 3 写出x的分布列 4 由均值的定义求e x 5 由方差的定义求d x 提醒如果x b n p 则用公式e x np d x np 1 p 求解 1 12004年世界卫生组织 联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广 2015年12月10日 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖 目前 国内青蒿人工种植发展迅速 某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响 在山上和山下的试验田中分别种植了100株青蒿进行对比试验 现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本 每株提取的青蒿素产量 单位 克 如下表所示 1 根据样本数据 试估计山下试验田青蒿素的总产量 2 记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为 根据样本数据 试估计与的大小关系 只需写出结论 3 从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1株 记这2株的产量总和为 求随机变量 的分布列和数学期望 解析 1 山下试验田平均每株青蒿素产量 4 0 估计山下试验田青蒿素的总产量为100 400克 2 3 的所有可能取值为9 4 8 6 8 2 8 0 7 4 7 2 p 9 4 p 8 6 p 8 2 p 8 0 p 7 4 p 7 2 随机变量 的分布列为 e 9 4 8 6 8 2 8 0 7 4 7 2 8 典例2 2017北京西城一模 17 在测试中 客观题难度的计算公式为pi 其中pi为第i题的难度 ri为答对该题的人数 n为参加测试的总人数 i n 现对某校高三年级240名学生进行一次测试 共5道客观题 测试前根据对学生的了解 预估了每道题的难度 如下表所示 考点二均值与方差在实际问题中的应用 测试后 随机抽取了20名学生的答题数据进行统计 结果如下 1 根据题中数据 估计这240名学生中第5题的实测答对人数 2 从抽样的20名学生中随机抽取2名学生 记这2名学生中第5题答对的人数为x 求x的分布列和数学期望 3 试题的预估难度和实测难度之间会有偏差 设p i为第i题的实测难度 请用pi和p i设计一个统计量 并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理 解析 1 因为20人中答对第5题的人数为4 所以第5题的实测难度为 0 2 所以估计这240名学生中第5题的实测答对人数为240 0 2 48 2 x的可能取值是0 1 2 p x 0 p x 1 p x 2 所以x的分布列为 ex 0 1 2 3 将抽样的20名学生中第i题的实测难度作为240名学生中第i题的实测难度 定义统计量s p 1 p1 2 p 2 p2 2 p i pi 2 其中pi为第i题的预估难度 i n 并规定 若s 0 05 则称本次测试对难度的预估合理 否则 不合理 s 0 8 0 9 2 0 8 0 8 2 0 7 0 7 2 0 7 0 6 2 0 2 0 4 2 0 012 因为s 0 012 0 05 所以本次测试对难度的预估是合理的 规律总结利用均值与方差解决实际问题的方法 1 对实际问题进行具体分析 将实际问题转化为数学问题 并将问题中的随机变量设出来 2 依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件 求出其相应的概率 3 依据期望与方差的定义 公式求出相应的期望与方差值 4 依据期望与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释 2 1现有两个班级 每班各出4名选手进行羽毛球的男单 女单 男女混合双打 混双 比赛 注 每名选手打且只打一场比赛 根据以往的比赛经验 各项目平均完成比赛所需时间如下表所示 现只有一场比赛场地 各场比赛的出场顺序等可能 1 求按女单 混双 男单的顺序进行比赛的概率 2 设随机变量x表示第三场比赛开始时需要等待的时间 求x的数学期望 3 若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少 应该怎样安排比赛顺序 写出结论即可 解析 1 三场比赛共有 6种顺序 其中按女单 混双 男单的顺序进行比赛只有1种 所以按女单 混双 男单的顺序进行比赛的概率为 2 令a表示女单比赛 b表示男单比赛 c表示混双比赛 按abc顺序进行比赛 第三场比赛开始时需要等待的时间为t1 20 25 45 分钟 按acb顺序进行比赛 第三场比赛开始时需要等待的时间为t2 20 35 55 分钟 按bac顺序进行比赛 第三场比赛开始时需要等待的时间为t3 20 25 45 分钟 按bca顺序进行比赛 第三场比赛开始时需要等待的时间为t4 35 25 60 分钟 按cab顺序进行比赛 第三场比赛开始时需要等待的时间为t5 35 20 55 分钟 按cba顺序进行比赛 第三场比赛开始时需要等待的时间为t6 35 25 60 分钟 且上述六个事件是等可能事件 每个事件发生的概率为 随机变量x的分布列为 所以e x 3 按照混双 女单 男单的顺序参加比赛 可使等待的总时间最少 考点三正态分布典例3 1 已知某批零件的长度误差 单位 毫米 服从正态分布n 0 32 从中随机取一件 其长度误差落在区间 3 6 内的概率为 附 若随机变量 服从正态分布n 2 则p 68 26 p 2 2 95 44 a 4 56 b 13 59 c 27 18 d 31 74 2 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点 则落入阴影部分 曲线c为正态分布n 0 1 的密度曲线 的点的个数的估计值为 a 2386b 2718c 3413d 4772 答案 1 b 2 c 解析 1 p 3 3 68 26 p 6 6 95 44 则p 3 6 95 44 68 26 13 59 2 由正态分布n 0 1 的密度曲线的几何意义 知题图中阴影部分的面积为p 0 x 1 0 6826 0 3413 故落入阴影部分的点的个数的估计值为0 3413 10000 3413 故选c 方法技巧解决有关正态分布的求概率问题的关键是利用正态曲线的对称性及曲线与x轴之间的面积为1 把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化 解题时要充分结合图形进行分析 求解 要注意数形结合思想及化归思想的运用 1 应熟记p x p 2 x 2 p 3 x 3 的值 2 常用的结论有 正态曲线关于直线x 对称 从而在关于x 对称的区间上概率相等 p x a 1 p x a p x a p x a 3 1已知随机变量 服从正态分布n 3 2 且p 6 0 98 则p 0 3 答案0 48 解