广东省肇庆市田家炳中学高三数学上学期第二次月考试卷 文（含解析）.doc

广东省肇庆市田家炳中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若a+bi=（1+i）（2i）（i是虚数单位，a，b是实数），则a+b的值是（）a1b2c3d42（5分）已知集合m=x|0x3，n=x|x25x+40，则mn=（）ax|1x3bx|1x3cx|0x4dx|0x43（5分）在abc中，已知，则向量=（）a2b2cd4（5分）下列函数为奇函数的是（）ay=|sinx|by=|x|cy=x3+x1d5（5分）已知实数x，y满足，则z=2x3y的最大值是（）a6b1c6d46（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果k的值是（）a5b6c7d87（5分）、是两个非零向量，0是与的夹角为锐角的（）条件a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件8（5分）函数y=ln|x|与y=在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）abcd9（5分）对于平面和直线m，n，下列命题中假命题的个数是（）若m，mn，则n；若m，n，则mn；若m，n，则mn；若mn，n，则ma1个b2个c3个d4个10（5分）定义两个平面向量的一种运算=|sin，则关于平面向量上述运算的以下结论中，=，（）=（），若=，则=0；若=，且0，则（+）=（）+（）；恒成立的个数是（）a1b2c3d4二、填空题：本大题共4小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.11（5分）函数的定义域是12（5分）一个几何体的主视图和左视图都是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为13（5分）从某项综合能力测试中抽取50人的成绩，统计如表，则这50人成绩的平均数等于、方差为分数54321人数1051515514（5分）（几何证明选讲选做题）如图，abc的外角平分线ad交外接圆于d，bd=4，则cd=三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15（12分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1，讨论函数f（x）的单调性16（12分）如图1，在直角梯形abcd中，已知adbc，ad=ab=1，bad=90，bcd=45，e为对角线bd中点现将abd沿bd折起到pbd的位置，使平面pbd平面bcd，如图2（）若点f为bc中点，证明：ef平面pcd；（）证明：平面pbc平面pcd17（14分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？18（14分）某中学2015届高三实验班的一次数学测试成绩的茎叶图（图1）和频率分布直方图（图2）都受到不同程度的破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题（1）求全班人数及分数在80，90）之间的频数；（2）计算频率分布直方图中80，90）的矩形的高；（3）若要从分数在80，100之间的试卷中任取两份分析学生的答题情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在90，100之间的概率19（14分）已知四棱锥pabcd（图1）的三视图如图2所示，pbc为正三角形，pa垂直底面abcd，俯视图是直角梯形（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥pabcd的体积；（3）求证：ac平面pab20（14分）已知函数f（x）=a（x）2lnx（ar）（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=若至少存在一个x01，e，使得f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围广东省肇庆市田家炳中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若a+bi=（1+i）（2i）（i是虚数单位，a，b是实数），则a+b的值是（）a1b2c3d4考点：复数代数形式的乘除运算 专题：计算题分析：利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出解答：解：a+bi=（1+i）（2i）=3+i，a=3，b=1a+b=3+1=4故选d点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键2（5分）已知集合m=x|0x3，n=x|x25x+40，则mn=（）ax|1x3bx|1x3cx|0x4dx|0x4考点：交集及其运算 分析：通过解二次不等式求出集合n，然后直接求出mn解答：解：因为n=x|x25x+40=x|1x4，所以mn=x|0x3x|1x4=x|1x3，故选a点评：本题考查二次不等式的求解，集合的基本运算，考查计算能力，属于基础题3（5分）在abc中，已知，则向量=（）a2b2cd考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题分析：直接利用向量的数量积的定义即可求解解答：解：故选b点评：本题主要考查了向量的数量积的定义的简单应用，属于基础试题4（5分）下列函数为奇函数的是（）ay=|sinx|by=|x|cy=x3+x1d考点：函数奇偶性的判断 专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性的定义及性质逐项判断即可解答：解：由|sin（x）|=|sinx|，得y=|sinx|为偶函数，排除a；由|x|=|x|，得y=|x|为偶函数，排除b；y=x3+x1的定义域为r，但其图象不过原点，故y=x3+x1不为奇函数，排除c；由得1x1，所以函数y=ln的定义域为（1，1），关于原点对称，且ln=ln=ln，故y=ln为奇函数，故选d点评：本题考查函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法5（5分）已知实数x，y满足，则z=2x3y的最大值是（）a6b1c6d4考点：简单线性规划 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形abcd及其内部，再将目标函数z=2x3y对应的直线进行平移，可得当x=0且y=2时，z=2x3y取得最大值6解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形abcd及其内部，其中a（0，2），b（0，2），c（1，1），d（1，1）设z=f（x，y）=2x3y，将直线l：z=2x3y进行平移，可得当l经过点a时，目标函数z达到最大值z最大值=f（0，2）=203（2）=6故选：c点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题6（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果k的值是（）a5b6c7d8考点：程序框图 专题：计算题；图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算累加并输出不满足条件s100时的k值，模拟程序的运行结果，即可得到答案解答：解：第一次进入循环后：s=1，k=1第二次进入循环后：s=1+21，k=2第三次进入循环后：s=1+21+22，k=3第七次进入循环后：s=1+21+22+23+24+25+26=127，k=7由于s=127，不满足条件s100，退出循环，输出k=7故选c点评：本题考查的知识点是程序框图，其中利用模拟程序执行过程的方法，求解程序的运行结果是解答此类问题常用的方法，是基础题7（5分）、是两个非零向量，0是与的夹角为锐角的（）条件a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：证明题分析：先看当 0时，能否推出与的夹角是否为锐角，再看当与的夹角为锐角时，0是否一定成立，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判断解答：解：当 0时，与的夹角可能为锐角，也可能为零角，故充分性不成立当与的夹角为锐角时，0一定成立，故必要性成立综上，0是与的夹角为锐角的必要而不充分条件，故选b点评：本题考查充分条件、必要条件的定义，两个向量的数量积的概念、两个向量的数量积与两个向量的夹角的关系8（5分）函数y=ln|x|与y=在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）abcd考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：根据函数y=ln|x|是偶函数，且在（0，+）上单调递增，排除a、b；再根据y=表示一个半圆（圆位于x轴下方的部分），可得结论解答：解：由于函数y=ln|x|是偶函数，且在（0，+）上单调递增，故排除a、b；由于y=，即y2+x2=1（y0），表示一个半圆（圆位于x轴下方的部分），故选：c点评：本题主要考查函数的图象特征，属于基础题9（5分）对于平面和直线m，n，下列命题中假命题的个数是（）若m，mn，则n；若m，n，则mn；若m，n，则mn；若mn，n，则ma1个b2个c3个d4个考点：空间中直线与直线之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系 专题：证明题；空间位置关系与距离分析：根据线面垂直的性质与线面平行的判定，可得是假命题；以正方体的上底面为，可得下底面内的直线m、n均与平行，但不一定有mn，因此是假命题；根据线面平行的性质，并以正方体下底面内的直线m与上底面平行为例，举出反例可得是假命题；根据线面平行的判定定理，可得是假命题解答：解：对于，因为m，mn，则n或n，不一定得到n，故是假命题；对于，设正方体的上底面为，则在下底面内任意取两条直线m、n，有m且n，但不一定有mn成立，故是假命题；对于，设正方体的上底面为，在下底面内任意取直线m，则m，而直线m与内的直线n可能平行，也可能是异面直线，不一定有mn成立，故是假命题；对于，若mn，n，则m或m，不一定得到m，故是假命题综上所述，可得假命题有，共4个故选：d点评：本题给出空间线面平行的判定与性质的几个命题，叫我们找出其中的真命题着重考查了线面平行判定定理、性质定理，直线与平面垂直的性质和命题真假的判断等知识，属于基础题10（5分）定义两个平面向量的一种运算=|sin，则关于平面向量上述运算的以下结论中，=，（）=（），若=，则=0；若=，且0，则（+）=（）+（）；恒成立的个数是（）a1b2c3d4考点：平面向量数量积的运算 专题：阅读型；新定义；平面向量及应用分析：由新定义，即可判断；首先运用新定义，再讨论当0时，即可判断；由向量共线得到sin=0，即可判断；先由向量共线，得到=（1+），再由新定义，即可判断解答：解：|sin，=，故恒成立；（）=|sin，（）=|sin，当0时，（）=（），故不恒成立；若=，则sin=0，得到=0，故恒成立；若=，且0，则=（1+），（+）=|1+|sin，而（）+（）=|sin+|sin=|1+|sin故（+）=（）+（）恒成立综上可知：只有恒成立故选c点评：本题考查的知识点是平面向量的运算，合情推理，正确理解新定义及熟练掌握向量的运算性质是解题的关键二、填空题：本大题共4小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.11（5分）函数的定义域是考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：由分子的对数式的真数大于0，由分母的根式内部的代数式大于0联立不等式组求解解答：解：由所以原函数的定义域为（）故答案为（）点评：本题考查了函数定义域及其求法，函数的定义域，就是使函数解析式有意义的自变量x的取值集合，是基础题12（5分）一个几何体的主视图和左视图都是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中个几何体的主视图和左视图都是边长为2的等边三角形，结合俯视图为正方形，可得该几何体是一个四棱锥，求出底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案解答：解：由已知可得：该几何体是一个四棱锥，底面棱长为2，故底面面积s=22=4，高h=，故棱锥的体积v=，故答案为：点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的结构特征及求相关几何量的数据是解答本题的关键13（5分）从某项综合能力测试中抽取50人的成绩，统计如表，则这50人成绩的平均数等于3、方差为分数54321人数10515155考点：极差、方差与标准差 专题：概率与统计分析：根据平均数、方差、标准差的概念直接运算即可解答：解：这50人成绩的平均数=3，方差s2=故答案为：3，点评：本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算，比较简单14（5分）（几何证明选讲选做题）如图，abc的外角平分线ad交外接圆于d，bd=4，则cd=4考点：圆周角定理；与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：利用四点共圆的性质和同圆弧所对的圆周角相等的性质、角平分线的性质即可得出解答：解：a、b、c、d共圆，dae=bcd又，dac=dbc而dae=dac，dbc=dcbcd=bd=4故答案为4点评：熟练掌握四点共圆的性质和同圆弧所对的圆周角相等的性质、角平分线的性质是解题的关键三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15（12分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1，讨论函数f（x）的单调性考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：先求出函数的定义域，然后对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论解答：解：（）f（x）的定义域为（0，+），f（x）=当a0时，f（x）0，故f（x）在（0，+）单调增加；当a1时，f（x）0，故f（x）在（0，+）单调减少；当1a0时，令f（x）=0，解得x=当x（0，）时，f（x）0；x（，+）时，f（x）0，故f（x）在（0，）上单调增加，在（，+）单调减少点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，比较基础16（12分）如图1，在直角梯形abcd中，已知adbc，ad=ab=1，bad=90，bcd=45，e为对角线bd中点现将abd沿bd折起到pbd的位置，使平面pbd平面bcd，如图2（）若点f为bc中点，证明：ef平面pcd；（）证明：平面pbc平面pcd考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（）由三角形中位线定理得efcd，由此能证明ef平面pcd（） 由已知条件推导出平面pbd平面bcd，由此得到cdpb，从而推导出pb平面pcd，由此能证明平面pbc平面pcd解答：解：（）在bcd中，点e、f分别为bd、bc的中点，efcd（2分）又ef平面pcdcd平面pcdef平面pcd（4分）（） 在直角梯形abcd中，adbc，ad=ab=1，bad=90，bcd=45，cdbd，（6分）平面pbd平面bcd，且平面pbd平面bcd=bd，cd平面bcd，cd平面pbd（7分）cdpb（9分）pbpd pdcd=dpb平面pcd（10分）又pb平面pbc平面pbc平面pcd（12分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养17（14分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？考点：基本不等式在最值问题中的应用 专题：应用题；数形结合分析：设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元，列出x和y的不等关系及目标函数z=x+0.5y利用线性规划或不等式的性质求最值即可解答：解：设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元，则，设z=x+0.5y=0.25（x+y）+0.25（3x+y）0.2510+0.2518=7，当即时，z取最大值7万元答：投资人对甲、乙两个项目分别投资4万元和6万元时，才能使可能的盈利最大点评：本题考查线性规划的应用问题，利用不等式的性质求最值问题，考查对信息的提炼和处理能力18（14分）某中学2015届高三实验班的一次数学测试成绩的茎叶图（图1）和频率分布直方图（图2）都受到不同程度的破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题（1）求全班人数及分数在80，90）之间的频数；（2）计算频率分布直方图中80，90）的矩形的高；（3）若要从分数在80，100之间的试卷中任取两份分析学生的答题情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在90，100之间的概率考点：频率分布直方图；茎叶图；古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：（1）根据分数在50，60）的频率为0.00810，和由茎叶图知分数在50，60）之间的频数为2，得到全班人数最后根据差值2527102求出分数在80，90）之间的频数即可（2）分数在80，90）之间的频数为4，做出频率，根据小长方形的高是频率比组距，得到结果（3）本题是一个等可能事件的概率，将分数编号列举出在80，100之间的试卷中任取两份的基本事件，至少有一份在90，100之间的基本的事件有9个，得到概率解答：解：（1）由茎叶图可知，分数在50，60）之间的频数为2，频率为0.00810=0.08，所以全班人数为（人） （2分）故分数在80，90）之间的频数为n1=2527102=4（3分）（2）分数在80，90）之间的频数为4，频率为（5分）所以频率分布直方图中80，90）的矩形的高为（7分）（3）用a，b，c，d表示80，90）之间的4个分数，用e，f表示90，100之间的2个分数，则满足条件的所有基本事件为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e）（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15个，（10分）其中满足条件的基本事件有：（a，e），（a，f），（b，e），（b，f），（c，e）（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共9个 （12分）所以至少有一份分数在90，100之间的概率为（14分）点评：本题考查频率分步直方图和等可能事件的概率，本题解题的关键是在列举时要做到不重不漏，本题是一个基础题19（14分）已知四棱锥pabcd（图1）的三视图如图2所示，pbc为正三角形，pa垂直底面abcd，俯视图是直角梯形（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥pabcd的体积；（3）求证：ac平面pab考点：直线与平面垂直的判定；由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；空间位置关系与距离分析：（1）过a作aecd，可得e是bc的中点，且be=ce=ae=cd=1正三角形pbc中，算出中线pe=，由pa平面abcd，在rtpae中，算出pa=即为正视图三角形的高长，由此结合bc=2即可求出正视图的面积；（2）由（1）的证明，结合题意可得四棱锥pabcd是以pa为高、底面abcd是直角梯形的四棱锥，结合题中的数据即可算出四棱锥pabcd的体积；（3）分别在rtabe、rtadc中，算出ab=ac=，结合bc=2利用勾股定理的逆定理证出acab，再由pa平面abcd得paac，根据线面垂直的判定定理即可证出ac平面pab解答：解：（1）过a作aecd，根据三视图可知，e是bc的中点，（1 分）且be=ce=1，ae=cd=1（2 分）又pbc为正三角形，bc=pb=pc=2，且pebcpe2=pc2ce2=3（3 分）pa平面abcd，ae平面abcd，paae（4 分）可得pa2=pe2ae2=2，即（5 分）因此，正视图的面积为（6 分）（2）由（1）可知，四棱锥pabcd的高为pa，（7 分）底面积为（8分）四棱锥pabcd的体积为（10 分）（3）pa平面abcd，ac平面abcd，paac（11 分）在rtabe中，ab2=ae2+be2=2，在rtadc中，ac2=ad2+cd2=2（12 分）bc2=4=ab2+ac2，可得bac是直角三角形 （13 分）acab由此结合abpa=a，可得ac平面pa