高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第八节 解三角形课件 理.ppt

第八节解三角形 总纲目录 教材研读 1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离 高度 角度 计算面积等 考点突破 2 实际问题中的常用角 3 解关于解三角形的应用题的一般步骤基本运算 考点二测量高度问题 考点一测量距离问题 考点三测量角度问题 教材研读 1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离 高度 角度 计算面积等 2 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角 目标视线在水平线 上方的角叫仰角 目标视线在水平线 下方的角叫俯角 如图 2 方向角 一般指相对于正北或正南方向的水平锐角 如南偏东30 北偏西45 等 3 方位角从 正北方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角 如点b的方位角为 如图 4 坡角 坡面与水平面所成的锐二面角 附 坡度 坡比 坡面的铅直高度与水平长度之比 3 解关于解三角形的应用题的一般步骤 1 理解题意 弄清问题的实际背景 明确已知与未知 理清量与量之间的关系 2 根据题意画出示意图 将实际问题抽象成解三角形问题 3 根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解 4 将所得结论还原到实际问题 注意实际问题中有关单位 近似计算等的要求 1 从a处望b处的仰角为 从b处望a处的俯角为 则 与 的关系为 a b c 90 d 180 b 答案b根据题意和仰角 俯角的概念画出草图 如图 可知 2 如图所示 已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都等于akm 灯塔a在观察站c的北偏东20 的方向上 灯塔b在观察站c的南偏东40 的方向上 则灯塔a与灯塔b的距离为 a akmb akmc akmd 2akm b 答案b acb 180 20 40 120 在 abc中 ab2 ac2 bc2 2ac bccos120 a2 a2 2a2 3a2 ab a km 故选b 3 甲从点o出发先向东行走了km 又向北行走了1km到达点p 乙从点o出发向北偏西60 方向行走了4km到达点q 则p q两点间的距离为2km 答案2 解析如图所示 oq 4km oa km pa 1km pao 90 所以 poa 30 则op 2km 由题意知 poq 120 在 poq中 由余弦定理得 pq2 oq2 op2 2op oq cos poq 42 22 2 2 4 28 所以pq 2km 所以p q两点间的距离为2km 4 一艘船自西向东匀速航行 上午10时到达灯塔p的南偏西75 距灯塔68海里的m处 下午2时到达这座灯塔的东南方向的n处 则此船航行的速度为海里 时 解析如图 由题意知 mpn 75 45 120 pnm 45 在 pmn中 mn 68 34海里 答案 又由m到n所用的时间为14 10 4小时 此船的航行速度v 海里 时 考点一测量距离问题 考点突破 典例1 1 如图 从气球a上测得正前方的河流的两岸b c的俯角分别为67 30 此时气球的高是46m 则河流的宽度bc约等于m 用四舍五入法将结果精确到个位 参考数据 sin67 0 92 cos67 0 39 sin37 0 60 cos37 0 80 1 73 2 如图 某观测站c在城a的南偏西20 的方向上 从城a出发有一条走向为南偏东40 的公路 在c处观测到距离c处31km的公路上的b处有一辆汽车正沿公路向a城驶去 行驶了20km后到达d处 测得c d两处的距离为21km 这时此车距离a城km 答案 1 60 2 15 解析 1 设气球a在地面的投影为点d 则ad 46m 于是bd ad tan 90 67 46 19 5m dc ad tan 90 30 46 79 6m bc dc bd 79 6 19 5 60m 2 在 bcd中 bc 31km bd 20km cd 21km 由余弦定理得cos bdc 所以cos adc 所以sin adc 在 acd中 cd 21km cad 60 所以sin acd sin 60 adc 由正弦定理得 所以ad 15km 方法技巧求解距离问题的一般步骤 1 画出示意图 将实际问题转化成三角形问题 2 明确所求的距离在哪个三角形中 有几个已知元素 3 使用正弦定理 余弦定理解三角形 对于解答题 应作答 1 1如图 某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km h的速度由a处出发 沿北偏东60 方向进行海面巡逻 当航行半小时到达b处时 发现北偏西45 方向有一艘船c 若船c位于a的北偏东30 方向上 则缉私艇所在的b处与船c的距离是 a 5 kmb 5 km c 10 kmd 10 km c 答案c由题意知 bac 60 30 30 abc 30 45 75 acb 180 75 30 75 ac ab 40 20 km 由余弦定理 得bc2 ac2 ab2 2ac ab cos bac 202 202 2 20 20 cos30 800 400 400 2 bc 10 km 缉私艇所在的b处与船c的距离是10 km 典例2如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30 的方向上 行驶600m后到达b处 测得此山顶在西偏北75 的方向上 仰角为30 则此山的高度cd 100m 考点二测量高度问题 解析依题意有ab 600 cab 30 cba 180 75 105 dbc 30 dc cb acb 45 在 abc中 由 得 有cb 300 在rt bcd中 cd cb tan30 100 则此山的高度cd 100m 答案100 易错警示解决高度问题的注意事项 1 在解决有关高度的问题时 要理解仰角 俯角的概念 2 在实际问题中 可能会遇到同时研究空间与平面 地面 的问题 这时最好画两个图形 一个空间图形 一个平面图形 这样处理起来既清楚又不容易搞错 3 一般是把高度问题转化成三角形的问题 要注意三角形中的边角关系的应用 若是空间的问题 则要注意空间图形和平面图形的结合 2 1如图 为了估测某塔的高度 在同一水平面的a b两点处进行测量 在点a处测得塔顶c在西偏北20 的方向上 仰角为60 在点b处测得塔顶c在东偏北40 的方向上 仰角为30 若a b两点相距130m 则塔cd的高度为10m 答案10 解析设cd hm 则ad m bd hm 在 adb中 adb 180 20 40 120 由余弦定理得ab2 bd2 ad2 2bd ad cos120 可得1302 3h2 2 h 解得h 10 负值舍去 故塔的高度为10m 典例3如图 在一次海上联合作战演习中 红方一艘侦察艇 位于a处 发现在北偏东45 方向 相距12nmile的水面b处 有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75 方向前进 若红方侦察艇以每小时14nmile的速度 沿北偏东45 方向拦截蓝方的小艇 若要在最短的时间内拦截住 求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值 考点三测量角度问题 解析如图 设红方侦察艇在c处拦截住蓝方的小艇 且经过的时间为x小时 则ac 14x nmile bc 10 x nmile abc 120 根据余弦定理得 14x 2 122 10 x 2 240 xcos120 解得x 2 负值舍去 故ac 28 nmile bc 20 nmile 根据正弦定理得 解得sin 综上 要使红方侦察艇在最短的时间内拦截住蓝方小艇 则所需要的时间为2小时 角 的正弦值为 易错警示解决测量角度问题的注意事项 1 明确方向角的含义 2 分析题意 分清已知与所求 再根据题意正确画出示意图 这是最关键 最重要的一步 3 将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后 注意正 余弦定理的综合运用 3 1如图所示 位于a处的信息中心获悉 在其正东方向相距40海里的b处有一艘渔船遇险 在原地等待营救 信息中心立即把消息告知在其南偏西30 相距20海里的c处的乙船 现乙船朝北偏东 的方向沿直线前往b处救援 求cos 的值