高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 两条平行直线间的距离课件 新人教A版必修2.ppt

2 3 3直线与平面垂直的性质2 3 4平面与平面垂直的性质 目标定位1 证明并掌握直线与平面 平面与平面垂直的性质定理 并能用文字 符号和图形语言描述定理 2 能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题 3 理解 平行 与 垂直 之间的相互转化 1 直线与平面垂直的性质定理 自主预习 a b 2 平面与平面垂直的性质定理 a a l 一个平面内 交线 垂直 线面 即时自测 1 判断题 1 两条平行直线中的一条垂直于一个平面 另一条也垂直于这个平面 2 垂直于同一平面的两个平面平行 3 如果两个平面垂直 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内 即 a a b b b 4 如果平面 平面 那么平面 内的所有直线都垂直于平面 提示 2 垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行 4 直线与平面 位置关系不确定 2 abc所在的平面为 直线l ab l ac 直线m bc m ac 则直线l m的位置关系是 a 相交b 异面c 平行d 不确定 解析因为l ab l ac ab ac 且ab ac a 所以l 同理可证m 所以l m 答案c 3 在长方体abcd a1b1c1d1的棱ab上任取一点e 作ef a1b1于f 则ef与平面a1b1c1d1的关系是 a 平行b ef 平面a1b1c1d1c 相交但不垂直d 相交且垂直 解析在长方体abcd a1b1c1d1中 平面a1abb1 平面a1b1c1d1且平面a1abb1 平面a1b1c1d1 a1b1 又ef 面a1abb1 ef a1b1 ef 平面a1b1c1d1 答案d正确 答案d 4 已知a b为直线 为平面 在下列四个命题中 正确的命题是 填序号 若a b 则a b 若a b 则a b 若a a 则 若 b b 则 解析由 垂直于同一平面的两直线平行 知 真 由 平行于同一平面的两直线平行或异面或相交 知 假 由 垂直于同一直线的两平面平行 知 真 易知 假 答案 类型一直线与平面垂直的性质及应用 例1 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 ef与异面直线ac a1d都垂直相交 求证 ef bd1 证明如图所示 连接ab1 b1d1 b1c bd dd1 平面abcd ac 平面abcd dd1 ac 又ac bd dd1 bd d ac 平面bdd1b1 又bd1 平面bdd1b1 ac bd1 同理可证bd1 b1c 又ac b1c c bd1 平面ab1c ef a1d a1d b1c ef b1c 又 ef ac ac b1c c ef 平面ab1c ef bd1 规律方法证明线线平行常有如下方法 1 利用线线平行定义 证共面且无公共点 2 利用三线平行公理 证两线同时平行于第三条直线 3 利用线面平行的性质定理 把证线线平行转化为证线面平行 4 利用线面垂直的性质定理 把证线线平行转化为证线面垂直 5 利用面面平行的性质定理 把证线线平行转化为证面面平行 训练1 如图 已知平面 平面 l ea 垂足为a eb 垂足为b 直线a a ab 求证 a l 证明因为ea l 即l 所以l ea 同理l eb 又ea eb e 所以l 平面eab 因为eb a 所以eb a 又a ab eb ab b 所以a 平面eab 因此 a l 类型二平面与平面垂直的性质及应用 例2 已知 是三个不同平面 l为直线 l 求证 l 证明法一设 a b 在 内任取一点p 过p在 内作直线m a n b 如图 m n 又 l m l n l 又m n p l 法二如图 a b 在 内作m a 在 内作n b m n m n 又 n m m 又 l m m l l 规律方法1 证明或判定线面垂直的常用方法有 1 线面垂直的判定定理 2 面面垂直的性质定理 3 若a b a 则b a b为直线 为平面 4 若a 则a a为直线 为平面 2 两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直 方法是在其中一个面内作 找 与交线垂直的直线 训练2 设平面 平面 点p在平面 内 过点p作平面 的垂线a 试判断直线a与平面 的位置关系 解如图 设 c 过点p在平面 内作直线b c 根据平面与平面垂直的性质定理有b 因为过一点有且只有一条直线与平面 垂直 所以直线a与直线b重合 因此a 类型三线线 线面 面面垂直的综合应用 互动探究 例3 如图所示 在四棱锥p abcd中 底面abcd是边长为a的菱形 且 dab 60 侧面pad为正三角形 其所在的平面垂直于底面abcd 1 若g为ad边的中点 求证 bg 平面pad 2 求证 ad pb 思路探究 探究点一运用面面垂直的性质定理的一般策略是什么 提示运用面面垂直的性质定理时 一般要作辅助线 过其中一个平面内一点作交线的垂线 这样就把面面垂直转化成线面垂直或线线垂直了 探究点二线线 线面 面面垂直关系之间有怎样的转化关系 提示 证明 1 在菱形abcd中 dab 60 abd为正三角形 又g为ad的中点 bg ad 又平面pad 平面abcd bg 平面abcd 平面pad 平面abcd ad bg 平面pad 2 连接pg 如图 pad为正三角形 g为ad的中点 pg ad 由 1 知bg ad pg bg g ad 平面pgb pb 平面pgb ad pb 规律方法证明线面垂直 一种方法是利用线面垂直的判定定理 另一种方法是利用面面垂直的性质定理 本题已知面面垂直 故可考虑面面垂直的性质定理 利用面面垂直的性质定理 证明线面垂直的问题时 要注意以下三点 1 两个平面垂直 2 直线必须在其中一个平面内 3 直线必须垂直于它们的交线 训练3 如图 已知四棱锥p abcd的底面是直角梯形 abc bcd 90 ab bc pb pc 2cd 侧面pbc 底面abcd pa与bd是否相互垂直 请证明你的结论 解pa与bd相互垂直 证明如下 如图 取bc的中点o 连接po ao pb pc po bc 又侧面pbc 底面abcd 平面pbc 平面abcd bc po 底面abcd 又bd 平面abcd po bd 在直角梯形abcd中 易证 abo bcd bao cbd cbd abd 90 bao abd 90 ao bd 又po ao o bd 平面pao bd pa 即pa与bd相互垂直 课堂小结 1 线面垂直的性质定理揭示了空间中 平行 与 垂直 关系的内在联系 提供了 垂直 与 平行 关系相互转化的依据 2 面面垂直的性质定理揭示了 面面垂直 线面垂直及线线垂直 间的内在联系 体现了数学中的转化与化归思想 其转化关系如下 1 下列说法正确的是 a 垂直于同一条直线的两直线平行b 垂直于同一条直线的两直线垂直c 垂直于同一个平面的两直线平行d 垂直于同一条直线的一条直线和平面平行 解析由线面垂直的性质定理知c正确 答案c 2 设 l 是直二面角 直线a 直线b a b与l都不垂直 那么 a a与b可能垂直 但不可能平行b a与b可能垂直 也可能平行c a与b不可能垂直 但可能平行d a与b不可能垂直 也不可能平行 因为 所以a 又b a b b 而l b l 与b和l不垂直矛盾 所以b错 解析当a b都与l平行时 则a b 所以a d错 如图 若a b过a上一点p在 内作a l 答案c 3 如图 在三棱锥p abc内 侧面pac 底面abc 且 pac 90