湖南师大附中高三数学上学期第五次月考试卷 文（含解析）.doc

2014-2015学年湖南师大附中高三 （上）第五次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集u=r，a=x|x1|1，b=x|y=，则图中阴影部分表示的集合是（）a x|x1b x|1x2c x|0x1d x|112已知函数f（x）=，若ff（0）=4a，则实数a等于（）a b c 2d 93已知命题p：若xr，则x+2，命题q：若1g（x1）0，则x2，则下列各命题中是假命题的是（）a pqb （p）qc （p）qd （p）（q）4已知平面区域内的点（x，y）满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是（）a 5b 7c 23d 255下列推理是归纳推理的是（）a a，b为定点，动点p满足|pa|+|pb|=2a|ab|，得p的轨迹为椭圆b 由a1=1，an=3n1，求出s1，s2，s3，猜想出数列的前n项和sn的表达式c 由圆x2+y2=r2的面积r2，猜想出椭圆+=1的面积s=abd 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇6如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（）a 6b 8c 12d 247已知o为abc外一点，d为bc边上一点，且+2=0，若ab=3，ac=5则=（）a 8b 8c 2d 28已知椭圆+=1（ab0）的右焦点为f，上顶点为b，右顶点为a，m为椭圆上一点，满足mffa，如果oma（o为原点）的面积是omb的面积的2倍，则椭圆的离心率为（）a b c d 9设f（x）是定义在r上的偶函数，且f（2+x）=f（2x），当x2，0）时，f（x）=1，若在区间（2，6）内的关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a0且a1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）a （，1）b （1，4）c （1，8）d （8，+）10已知正项数列an满足（n+1）an+12nan2+an+1an=0，且a1=1，不等式“a1a2+a2a3+anan+1m对任意nn*恒成立，则实数m的取值范围是（）a （，b （，）c （，1d （，1）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卷对应题号后的横线上11复数在复平面内对应的点的坐标为12某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为13在直角坐标系中，曲线c1的参数方程为为参数），若以坐标原点o为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系则曲线c2：psin（+）=0上的点到曲线c1，上的点的最短距离为14若x（0，+）满足不等式x22x+m2mx，则实数m的取值范围是15若存在实数a，b（0ab）满足ab=ba，则实数a的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知向量=（sinx，），=（sinx+cosx，3），f（x）=abc三个内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且f（a）=3（1）求角a的大小；（2）若a=，b=1，求c的值17高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组13，14），第二组14，15）第五组17，18，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）（3）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n13，14）17，18，求事件“|mn|2”的概率18在直三棱住abca1b1c1，中ca=cb=cc1=2，acb=90e、f分别是bc、a1a的中点（1）求证：ef平面a1c1b；（2）求异面直线ef与a1c1所成角的余弦值19将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9已知表中的第一列数a1，a2，a5，构成一个等差数列，记为bn，且b2=4，b5=10表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，构成数列cn，其前n项和为sn（1）求数列bn的通项公式；（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a13=1求sn；记m=n|（n+1）cn，nn*，若集合m的元素个数为3，求实数的取值范围20已知椭圆c：=1（ab0）的左、右焦点匙分别f1f2，左右顶点分别是a1、a2，离心率是，过f2的直线与椭圆交于两点p、q（不是左、右顶点），且f1pq的周长是4，直线al p马a2q交予点m（1）求椭圆的方程；（2）求证直线a1p与a2q的交点m在一条定直线l上；n是定直线l上的一点，且pn平行于x轴，证明：是定值21已知函数（）求f（x）的单调区间；（）对任意的，恒有，求正实数的取值范围2014-2015学年湖南师大附中高三（上）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集u=r，a=x|x1|1，b=x|y=，则图中阴影部分表示的集合是（）a x|x1b x|1x2c x|0x1d x|11考点：venn图表达集合的关系及运算专题：集合分析：根据venn图和集合之间的关系进行判断解答：解：由venn图可知，阴影部分的元素为属于a但不属于b的元素构成，所以用集合表示为a（ub）a=x|x1|1=x|0x2，b=x|y=x|x1，ub=x|x1，则a（ub）=x|1x2，故选b点评：本题主要考查venn图表达 集合的关系和运算，比较基础2已知函数f（x）=，若ff（0）=4a，则实数a等于（）a b c 2d 9考点：函数的值专题：计算题分析：先求出f（0）=2，再令f（2）=4a，解方程4+2a=4a，得a值解答：解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2故选c点评：此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解3已知命题p：若xr，则x+2，命题q：若1g（x1）0，则x2，则下列各命题中是假命题的是（）a pqb （p）qc （p）qd （p）（q）考点：复合命题的真假专题：简易逻辑分析：命题p：是假命题，例如取x=1，不成立；命题q：若1g（x1）0，则x2，是真命题利用复合命题的真假判定方法即可得出解答：解：命题p：若xr，则x+2，是假命题，例如取x=1，不成立；命题q：若1g（x1）0，则x2，是真命题pq，（p）q，（p）q，是真命题；（p）（q）是假命题故选：d点评：本题考查了基本不等式的性质、对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4已知平面区域内的点（x，y）满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是（）a 5b 7c 23d 25考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：c（7，9）化z=2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过c时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值，zmax=27+9=23故选：c点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题5下列推理是归纳推理的是（）a a，b为定点，动点p满足|pa|+|pb|=2a|ab|，得p的轨迹为椭圆b 由a1=1，an=3n1，求出s1，s2，s3，猜想出数列的前n项和sn的表达式c 由圆x2+y2=r2的面积r2，猜想出椭圆+=1的面积s=abd 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇考点：演绎推理的基本方法；进行简单的演绎推理分析：本题考查的是选归纳推理的定义，判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程解答：解：a是演绎推理，c、d为类比推理只有c，从s1，s2，s3猜想出数列的前n项和sn，是从特殊到一般的推理，所以b是归纳推理故选b点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分6如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（）a 6b 8c 12d 24考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形俯视图是两个圆中间的圆是虚线，得到几何体是一个圆台，圆台的上底是一个直径为2，下底的直径为4，母线长是4的圆台，做出圆台的高，得到侧面积解答：解：正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形俯视图是两个圆中间的圆是虚线，几何体是一个圆台，圆台的上底是一个直径为2，下底的直径为4，母线长是4的圆台，圆台的侧面积是 （+2）4=12故选c点评：本题考查由三视图确定几何图形，根据条件中所给的数据求几何体的侧面积，考查圆台的面积公式，本题是一个基础题7已知o为abc外一点，d为bc边上一点，且+2=0，若ab=3，ac=5则=（）a 8b 8c 2d 2考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：由题意和向量的加法运算判断出d是bc的中点，由向量的加法、减法运算、向量的数量积化简即可解答：解：由题意知，+2=0，则+=2，所以d是bc的中点，又ab=3，ac=5，则=（）（）=（）=（259）=8，故选：b点评：本题考查向量的加、减法运算及其几何意义，以及向量数量积的运算，解题的关键是抓住向量的之间的关系，再结合已知条件化简8已知椭圆+=1（ab0）的右焦点为f，上顶点为b，右顶点为a，m为椭圆上一点，满足mffa，如果oma（o为原点）的面积是omb的面积的2倍，则椭圆的离心率为（）a b c d 考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意可得f（c，0），a（a，0），b（0，b），由mffa，可令x=c，代入椭圆方程可得m的坐标，再由三角形的面积公式，可得b=2c，结合离心率公式和a，b，c的关系，可得结论解答：解：由题意可得f（c，0），a（a，0），b（0，b），由mffa，可令x=c，代入椭圆方程可得y=b=，即有m（c，），由于soma=2somb，即有a=2bc，化简可得b=2c，则离心率e=故选：d点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，考查运算能力，属于基础题9设f（x）是定义在r上的偶函数，且f（2+x）=f（2x），当x2，0）时，f（x）=1，若在区间（2，6）内的关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a0且a1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）a （，1）b （1，4）c （1，8）d （8，+）考点：根的存在性及根的个数判断专题：计算题；作图题；函数的性质及应用分析：在同一直角坐标系中作出f（x）与h（x）=loga（x+2）在区间（2，6）内的图象，结合题意可得到关于a的关系式，从而得到答案解答：解：当x2，0）时，f（x）=1，当x（0，2时，x2，0），f（x）=1=1，又f（x）是定义在r上的偶函数，f（x）=1（0x2），又f（2+x）=f（2x），f（x）的图象关于直线x=2对称，且f（4+x）=f（x）=f（x），f（x）是以4为周期的函数，在区间（2，6）内的关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a0且a1）恰有4个不同的实数根，令h（x）=loga（x+2），即f（x）=h（x）=loga（x+2）在区间（2，6）内有4个交点，在同一直角坐标系中作出f（x）与h（x）=loga（x+2）在区间（2，6）内的图象，0loga（6+2）1，a8故选d点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，求得f（x）的解析式，作出f（x）与h（x）=loga（x+2）在区间（2，6）内的图象是关键，考查作图能力与数形结合的思想，属于难题10已知正项数列an满足（n+1）an+12nan2+an+1an=0，且a1=1，不等式“a1a2+a2a3+anan+1m对任意nn*恒成立，则实数m的取值范围是（）a （，b （，）c （，1d （，1）考点：数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：把已知的数列递推式变形，得到，然后利用累积法求得数列an的通项公式，再由错位相减法求得数列anan+1的前n项和，最后由数列的函数特性得答案解答：解：由（n+1）an+12nan2+an+1an=0，得：（an+1+an）（n+1）an+1nan=0，an0，（n+1）an+1nan=0，则则a1a2+a2a3+anan+1=+=1+=a1a2+a2a3+anan+1m对任意nn*恒成立，m则实数m的取值范围是：（，故选：a点评：本题考查了数列递推式，训练了累积法求数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，属于中档题二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卷对应题号后的横线上11复数在复平面内对应的点的坐标为（2，1）考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：直径利用复数代数形式的乘除运算化简得答案解答：解：=复数在复平面内对应的点的坐标为（2，1）故答案为：（2，1）点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题12某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为8考点：茎叶图专题：计算题；概率与统计分析：根据茎叶图分别写出两组数据，由平均数公式求出x，83是乙班7名学生成绩的中位数，所以83应是7个成绩从小到大排列后的中间位置上的数，据此可求出y解答：解：由茎叶图可得甲班7名学生的成绩为：79，78，80，80+x，85，92，96；乙班7名学生的成绩为：76，81，81，80+y，91，91，96；由，得：x=5，因为乙班共有7名学生，所以中位数应是80+y=83，所以y=3，所以x+y=8，故答案为8点评：本题考查了茎叶图，求中位数和平均数的关键是根据定义仔细分析另外茎叶图的茎是高位，叶是低位，这一点一定要注意，此题是基础题13在直角坐标系中，曲线c1的参数方程为为参数），若以坐标原点o为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系则曲线c2：psin（+）=0上的点到曲线c1，上的点的最短距离为考点：参数方程化成普通方程专题：坐标系和参数方程分析：首先把参数方程转化成直角坐标方程，进一步把直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求出结果解答：解：曲线c1的参数方程为为参数），转化成直角坐标方程为：（x2）2+（y1）2=1曲线c2：psin（+）=0转化成直角坐标方程为：则：曲线c1的圆心到直线d的距离为：所以最小距离为：故答案为：点评：本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程的互化，极坐标方程和直角坐标方程的互化，点到直线距离公式的应用属于基础题型14若x（0，+）满足不等式x22x+m2mx，则实数m的取值范围是考点：一元二次不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：x（0，+）满足不等式x22x+m2mx，2|m|，对m分类讨论即可得出解答：解：x（0，+）满足不等式x22x+m2mx，2|m|，当m0时，化为m+22m，解得m2；当m0时，化为m+22m，解得m综上可得实数m的取值范围是故答案为：点评：本题考查了基本不等式的性质、分离参数法，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15若存在实数a，b（0ab）满足ab=ba，则实数a的取值范围是（1，e）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；有理数指数幂的化简求值专题：导数的综合应用分析：0ab）满足ab=ba，由blna=alnb，化为，令f（x）=，（x0），利用导数研究其单调性极值与最值，画出其图象即可得出解答：解：0ab）满足ab=ba，blna=alnb，化为，令f（x）=，（x0），则f（x）=，可得xe时，f（x）0，此时函数f（x）单调递减；当0xe时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增当x=e时，函数f（x）取得最大值，f（e）=当x0时，f（x）；当x+时，f（x）0当a（1，e）时，函数y=k与f（x）=的图象有两个交点实数a的取值范围是（1，e），故答案为：（1，e）点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知向量=（sinx，），=（sinx+cosx，3），f（x）=abc三个内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且f（a）=3（1）求角a的大小；（2）若a=，b=1，求c的值考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理专题：解三角形；平面向量及应用分析：（1）由平面向量数量积的运算可得解析式f（x）=sin（2x）+2，由已知可得sin（2a）=1，由2a（，），可解得a的值（2）法一：由余弦定理可得c2c2=0，即可解得c的值；法二：由正弦定理可得sinb=，又ba，即可求b，从而求c及c的值解答：解：（1）因为f（x）=sin2x+sinxcosx+=+=sin（2x）+24分所以f（a）=sin（2a）+2=3，即sin（2a）=1，因为2a（，），所以2a=，所以a=8分（2）法一：由余弦定理a2=b2+c22bccosa，可得c2c2=0，所以c=2或c=1（舍去）10分法二：由正弦定理，可得sinb=，又ba，所以b=，所以c=，所以c=212分点评：本题主要考查平面向量数量积的运算，余弦定理，正弦定理的应用，属于基本知识的考查17高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组13，14），第二组14，15）第五组17，18，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）（3）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n13，14）17，18，求事件“|mn|2”的概率考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图专题：概率与统计分析：（1）根据频率分布直方图能求出成绩在14，16）内的人数，由此得到该班在这次百米测试中成绩为良好的人数（2）由频率分布直方图能求出众数落在第二组15，16）内，由此能求出众数；数据落在第一、二组的频率是0.220.5，数据落在第一、二、三组的频率是0.60.5，所以中位数一定落在第三组中，假设中位数是x，则0.22+（x15）0.38=0.5，由此能求出中位数（3）成绩在13，14）的人数有2人，成绩在17，18）的人数有3人，由此能求出结果解答：解：（1）根据频率分布直方图知成绩在14，16）内的人数为：500.18+500.38=28人该班在这次百米测试中成绩为良好的人数为28人（2）由频率分布直方图知众数落在第三组15，16）内，众数是数据落在第一、二组的频率=10.04+10.18=0.220.5，数据落在第一、二、三组的频率=10.04+10.18+10.38=0.60.5，中位数一定落在第三组中，假设中位数是x，则0.22+（x15）0.38=0.5，解得x=，中位数是15.74（3）成绩在13，14）的人数有500.04=2人，成绩在17，18）的人数有；500.06=3人，设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩m，n13，14）17，18，事件“|mn|2”的概率p=点评：本题考查众数、中位数的求法，考查概率的计算，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用18在直三棱住abca1b1c1，中ca=cb=cc1=2，acb=90e、f分别是bc、a1a的中点（1）求证：ef平面a1c1b；（2）求异面直线ef与a1c1所成角的余弦值考点：异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定专题：空间角分析：（1）取cc1的中点m，连结me，mf，由已知得平面mef平面a1c1b，由此能证明ef平面a1c1b（2）由mfa1c1，得efm为异面直线ef与a1c1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线ef与a1c1所成的角的余弦值解答：（1）证明：如图，取cc1的中点m，连结me，mf，则mebc1，mfa1c1，且memf=m，平面mef平面a1c1b，又ef平面mef，ef平面a1c1b（2）mfa1c1，efm为异面直线ef与a1c1所成角（或所成角的补角），ca=cb=cc1=2，acb=90e、f分别是bc、a1a的中点在efm中，em=，ef=，cosefm=，异面直线ef与a1c1所成的角的余弦值为点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9已知表中的第一列数a1，a2，a5，构成一个等差数列，记为bn，且b2=4，b5=10表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，构成数列cn，其前n项和为sn（1）求数列bn的通项公式；（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a13=1求sn；记m=n|（n+1）cn，nn*，若集合m的元素个数为3，求实数的取值范围考点：数列递推式；等比数列的前n项和；等比数列的性质专题：综合题分析：（1）设bn的公差为d，则，由此能求出数列bn的通项公式（2）设每一行组成的等比数列的公比为q，由于前n行共有1+3+5+（2n1）=n2个数，且321342，解得，所以，由错位相减法能够求得由，知不等式（n+1）cn，可化为，设，解得，由此能够推导出的取值范围解答：解：（1）设bn的公差为d，则，解得，bn=2n（2）设每一行组成的等比数列的公比为q，由于前n行共有1+3+5+（2n1）=n2个数，且321342，a10=b4=8，a13=a10q3=8q3，又a13=1，解得，=4解得由知，不等式（n+1）cn，可化为，设，解得，n3时，f（n+1）f（n）集合m的元素个数是3，的取值范围是（4，5点评：本题考查数列的通项公式的求法、前n项和的计算和等比数列性质的应用，解题时要注意方程思想和错位相减求和法的合理运用，注意合理地进行等价转化20已知椭圆c：=1（ab0）的左、右焦点匙分别f1f2，左右顶点分别是a1、a2，离心率是，过f2的直线与椭圆交于两点p、q（不是左、右顶点），且f1pq的周长是4，直线al p马a2q交予点m（1）求椭圆的方程；（2）求证直线a1p与a2q的交点m在一条定直线l上；n是定直线l上的一点，且pn平行于x轴，证明：是定值考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据椭圆的焦点三角形周长求出a，再由离心率求出c，进而求出b值，可得椭圆的标准方程；（2）直线pq的方程是：x=my+1，代入椭圆的方程结合韦达定理，可得：y1+y2，y1y2，y2y1的值，进而联立a1p和a2q的方程，求出交点的横坐标，可得：直线a1p与a2q的交点m在一条定直线l：x=2上；根据椭圆的定义，结合直线l：x=2为椭圆的右准线，可得是定值e解答：解：（1）f1pq的周长是4，4a=4，即a=，又由离心率是e=，故c=1，故b2=a2c2=1，故椭圆的方程为证明：（2）由（1）知a1、a2的坐标为（，0），设直线pq的方程是：x=my+1，代入椭圆的方程并整理得：（m2+2）y2+2my1=