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第一章 行列式 课件制作 浙江财经学院 数学与统计学院 孙洁 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 目录目录 1 1 n阶行列式阶行列式 1 2 行列式的性质行列式的性质 1 3 行列式按行行列式按行 列列 展开展开 1 4 克莱姆法则克莱姆法则 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 1 1 n 阶行列式阶行列式 二阶行列式二阶行列式 三阶行列式三阶行列式 排列及逆序数排列及逆序数 n 阶行列式阶行列式 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 一 二阶行列式一 二阶行列式 求解二元线性方程组求解二元线性方程组 得得两式相减消去两式相减消去 2 x 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 1 2 1 22 a 2212221212211 abxaaxaa 2 12 a 1222221212112 abxaaxaa 212221121122211 baabxaaaa 得 得类似地 消去类似地 消去 1 x 211211221122211 abbaxaaaa PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 时时 当当0 21122211 aaaa方程组有唯一解 方程组有唯一解 21122211 212221 1 aaaa baab x 3 21122211 211211 2 aaaa abba x 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定 引入 引入 称之为二阶行列式称之为二阶行列式 21122211 2221 1211 aaaa aa aa PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 由四个数排成二行二列 横排称行 竖排由四个数排成二行二列 横排称行 竖排 称列 的数表称列 的数表 2221 1211 aa aa 定义定义 表达式表达式 2221 1211 aa aa 21122211 aaaa 称为数表所确定的二阶称为数表所确定的二阶 行列式 并记作行列式 并记作即即 主对角线主对角线 副对角线副对角线 2211a a 2112a a 1112 2122 aa aa 行列式是式子行列式是式子 还是数值 还是数值 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 对于二元线性方程组对于二元线性方程组 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 2221 1211 aa aa D 21122211 212221 1 aaaa baab x 21122211 211211 2 aaaa abba x 记记 系数行列式系数行列式 221 111 2 ba ba D D D1 D D2 222 121 1 ab ab D 则则 注意 注意 D 0 可推广至一般的可推广至一般的n阶阶 线性方程组线性方程组 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 例例 2 0 31 D 当 为何值时使得当 为何值时使得取值为取值为 解解 2 31 D 2 3 003 D 令令 即 或 即 或 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 例例 12 1223 21 21 xx xx 求解二元线性方程组求解二元线性方程组 解解 12 23 D 4 3 07 11 212 1 D 12 123 2 D D D x 1 1 2 7 14 D D x 2 2 3 7 21 14 21 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 二 三阶行列式二 三阶行列式 定义定义 333231 232221 131211 4 339 aaa aaa aaa 列的数表列的数表行行个数排成个数排成设有设有 记记记记 312213332112322311 322113312312332211 5 aaaaaaaaa aaaaaaaaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 5 式称为数表 式称为数表 4 所确定的 所确定的三阶行列式三阶行列式 数值 数值 6项项 每项每项3 个数乘积个数乘积 列标列标 行标行标 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 三阶行列式的计算三阶行列式的计算 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 332211 aaa 322311 aaa 对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则 322113 aaa 312312 aaa 312213 aaa 332112 aaa 注意注意1红线上三元红线上三元素素的乘积的乘积冠以正号冠以正号 蓝蓝线上三线上三 元元素素的乘积的乘积冠以负号 冠以负号 注意注意2三阶行列式三阶行列式包括包括3 项 每一项项 每一项都都是是位位于于不不 不同不同行行不同不同列的三个元列的三个元素素的乘积的乘积 适用适用于二阶于二阶与与三阶行列式三阶行列式 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 例例 2 43 122 4 21 D 计算计算三阶行列式三阶行列式 4 2 4 3 12 解解解解 按对角线法则 有按对角线法则 有 D 2 21 3 2 4 48243264 14 2 2 2 411 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 例例 0 94 32 111 2 x x求解方程求解方程 9121431 2 xx xxxx92121843 22 解解解解方程方程左端左端 9214131 2 xxD 65 2 xx 3 2 xx或或 解得解得由由065 2 xx PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 如果三元线性方程组如果三元线性方程组 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 的系数行列式的系数行列式 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 0 记记 33323 23222 13121 1 aab aab aab D 33331 23221 13111 2 aba aba aba D 33231 22221 11211 3 baa baa baa D PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 则利用加减消元法 可验证三元线性方程组的解即为则利用加减消元法 可验证三元线性方程组的解即为 1 1 D D x 2 2 D D x 3 3 D D x 其中其中 D1是是把把D的的第第1列列换换成成常常数项数项b1 b2 b3 D2是是把把D的的第第2列列换换成成常常数项数项b1 b2 b3 D3是是把把D的的第第3列列换换成成常常数项数项b1 b2 b3 分母分母D就就是方程组是方程组中中的系数行列式 的系数行列式 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 例例解线性方程组解线性方程组 0 132 22 321 321 321 xxx xxx xxx 解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式 111 312 121 D 111 132 121 111 122 131 5 0 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 同理可得 大家进行练习 同理可得 大家进行练习 110 311 122 1 D 5 101 312 121 2 D 10 011 112 221 3 D 5 故故方程组的解为方程组的解为 1 1 1 D D x 2 2 2 D D x 1 3 3 D D x PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的程组引入的 对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算 21122211 2221 1211 aaaa aa aa 312213332112322311 322113312312332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 小结小结 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 三 排列及逆序数三 排列及逆序数 n 2 1L n iii 21 L 定义定义1 1由自然数由自然数组成的一个有序数组组成的一个有序数组 称为一个称为一个n级级排列排列 例例由自然数由自然数1 2 3可组成的三级排列共有可组成的三级排列共有3 6个 分别是 个 分别是 1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 1 2 2 3 1 3 2 1 注意 注意 n级排列的总数为级排列的总数为n 个 个 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 定义定义1 2 21n iiiL 500212 32514 nst iiiiiLLL 21 s t ii 构成一个构成一个逆序逆序 一个排列中逆序的总数 称为它的一个排列中逆序的总数 称为它的逆序数逆序数 记为记为 例例排列排列32514 3 2 5 1 4 212 00 所所以以 在在一个一个n级级排列排列中中 若若 st ii 则称数对则称数对 sti i PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 定义定义1 3逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇奇排列排列 逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶偶排列排列 规规定 定 逆序数为逆序数为0的排列 是偶排列的排列 是偶排列 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 例例计算下列排列的逆序数 并讨论它们的奇计算下列排列的逆序数 并讨论它们的奇 偶性偶性 2179863541 解解453689712 10 4 5 4 3 0 1 0 所所以以217986354 此此排列为排列为偶偶排列排列 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 321212L nnn 012 L 2 1 nn 当当时为时为偶偶排列排列 14 4 kkn 当当时为时为奇奇排列排列 34 24 kkn 1 n 2 n 32121L nnn 44448444476 1 n 444344421 2 n 解解 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 对对换换的定的定义义 定义定义1 4在一个排列在一个排列 nst iiiiiLLL 21 ts ii nts iiiiiLLL 21 中 中 如果其中某两个数如果其中某两个数互换位置 互换位置 而其余各数位置不变 就得到另一个而其余各数位置不变 就得到另一个 排列排列这样的变换这样的变换 称为一个称为一个对对换换 记为记为 ts ii PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 ab 例例 ml bbbaaaLL 11 ba ml bbabaaLL 11 nml ccbbbaaaLLL 111 nml ccabbbaaLLL 111 b a a b 5 1 45213 41253 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 定理定理1 1任意一个排列经过一次对换后 改变任意一个排列经过一次对换后 改变 其奇偶性 其奇偶性 证明证明设排列为设排列为 ml bbabaaLL 11 对换 与对换 与ab ml bbbaaaLL 11 除除外 其它元素的逆序数不改变外 其它元素的逆序数不改变 b a abba 当当时 逆序数减少时 逆序数减少1 ba 因此对换相邻两个元素 排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素 排列改变奇偶性 当当时 逆序数增加时 逆序数增加1 ba PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 一般地 设排列为一般地 设排列为 nml cbcbabaaLLL 111 现在对换与现在对换与a b 次相邻对换次相邻对换 m nml ccbbabaaLLL 111 次相邻对换次相邻对换1 m nml ccabbbaaLLL 111 111nml cbcbabaaLLL 次相邻对换次相邻对换12 m 111nml cacbbbaaLLL 所以一个排列经过一次对换 改变奇偶性所以一个排列经过一次对换 改变奇偶性 ab nml ccbbbaaaLLL 111 ab ab PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 小结小结 2 排列具有奇偶性排列具有奇偶性 3 任意一个排列进行一次对换 改变奇偶性任意一个排列进行一次对换 改变奇偶性 1 个不同的元素的所有排列数为个不同的元素的所有排列数为n n PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 问题问题 求解含有求解含有n个未知数个未知数n个方程的线性方程组个方程的线性方程组 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa L LLLLLLLLLLLL L L 2211 22222121 11212111 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 四 四 n阶行列式阶行列式 概念概念的引入的引入 三阶行列式三阶行列式 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 322113312312332211 aaaaaaaaa 332112322311312213 aaaaaaaaa 说明说明 1 三阶行列式是所有 三阶行列式是所有位位于于不同不同行行不同不同列的三个列的三个 元元素素乘积的乘积的代代数数和和 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 2 行标成自然序排列时 每项的正负号都取决于 行标成自然序排列时 每项的正负号都取决于 于列标构成的三级排列的奇偶性于列标构成的三级排列的奇偶性 例如例如 322113 aaa 列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 322311 aaa 列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 偶偶排列排列 奇奇排列排列 正号 负号 2 312 1 132 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 123 123 111213 212223123 313233 1 p p p ppp aaa aaaaaa aaa PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 n阶行列式的定阶行列式的定义义 定义定义1 5 n 阶行列式等于所有取自不同行不同列的阶行列式等于所有取自不同行不同列的 n个元素的乘积个元素的乘积 n njjj aaaL 21 21 的代数和的代数和 n n n njjj jjj jjj nnnn n n aaa aaa aaa aaa L L MMMM L L L L 21 21 21 21 21 22221 11211 1 aij称为称为n阶行列式的元阶行列式的元素素 有时行列式有时行列式简简记为记为 aij PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 说明说明 1 阶行列式是项的代数和阶行列式是项的代数和 n n 2 阶行列式的每项都是位于不同行 不同列阶行列式的每项都是位于不同行 不同列 的个元素的乘积的个元素的乘积 n n 4 一阶行列式一阶行列式 11 3 的的符符号号为为 n nppp aaaL 21 21 12 1 n p pp L PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 例例下列各项中 哪些是五阶行列式中的一项 下列各项中 哪些是五阶行列式中的一项 若是 试决定该符号 若是 试决定该符号 2 a31a12a43a52a24 3 a43a21a35a12a54 正号 正号 是 是 6132352141 在同一列在同一列 不是 不是 5212 2aa 负号 负号 先写成 先写成 3 21534 3 5443352112 aaaaa 1 a13a25a32a41a54 解解 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 例例计算计算对角行列式对角行列式 0004 0030 0200 1000 展开式展开式中中项的一般项的一般形形式是式是 4321 4321pppp aaaa 4 1 p若若 0 1 1 p a 否否则则这这个项为个项为零零 所所以以只能等只能等于于 1 p 4 同理同理可得 可得 1 2 3 432 ppp 解解 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 0004 0030 0200 1000 43211 4321 24 即行列式即行列式中不中不为为零零的项为的项为 41322314 aaaa 所所以以 形状形状 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 例例计算计算上三角行列式上三角行列式 nn n n a aa aaa L LLLLLLL L L 00 0 222 11211 展开式展开式中中项的一般项的一般形形式是式是 21 21 n nppp aaaL npn 1 1 npn 1 2 2 122 ppnpnL 所所以不以不为为零零的项的项只只有有 2211nn aaaL nn n n a aa aaa L LLLLLLL L L 00 0 222 11211 2211nn aaaL 解解 0 nn n aaaL L 2211 12 1 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 同理可得同理可得下下三角行列式三角行列式 nnnnn aaaa aa a L LLLLLLLL L L 321 2221 11 00 000 2211nn aaaL 主对角线主对角线 0 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 n N 2 1 1 21 2 1 n nn L 21n L n O 2 1 例例证证明明对角行列式对角行列式 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 n N 2 1 1 21 2 1 n nn L 证明证明第第一式是一式是显显然然的的 下下面面证第证第二式二式 若若记记 1 inii a 则则依依行列式定行列式定义义 1 1 2 1 n n n a a a N 11 21 21 1 1 nnn nn aaaL L PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 数的乘法满足交换律 所以行列式各项数的乘法满足交换律 所以行列式各项 中中n个元素的顺序可以任意交换个元素的顺序可以任意交换 定理定理1 2n阶行列式的项可以写成阶行列式的项可以写成 nn nn jijiji jjjiii aaa 1 2211 2121 其中其中i1 i2 in和和j1 j2 j3 jn都是都是n级排列级排列 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 特别是 当项的列标按自然序排列时 这一特别是 当项的列标按自然序排列时 这一 项就是项就是 niii niii n n aaa 1 21 12 21 21 由此 可以得到由此 可以得到 推论推论n阶行列式的项可以写成阶行列式的项可以写成 niii iii n n aaa 1 21 21 21 PDF 文件使用 pdfFactory 试用版本创建 例例试判断试判断和和 655642312314 aaaaaa 662551144332 aaaaaa 是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项 解解 655642312314 aaaaaa 下标的逆序数为下标的逆序数为 6010023431265 所以所以是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项 655642312314 aaaaaa 662551144332 aaaaaa 下标的逆序数为下标的逆序数为 80011