考研数学公式完整版(版,考研必备).pdf

考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 考研数学公式完整版 高等数学公式 导数公式 导数公式 导数公式 导数公式 基本积分表 基本积分表 基本积分表 基本积分表 ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1 log ln csc csc sec sec csc sec 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 arccos 1 1 arcsin x arcctgx x arctgx x x x x Caxx ax dx Cshxchxdx Cchxshxdx C a a dxa Cxctgxdxx Cxdxtgxx Cctgxxdx x dx Ctgxxdx x dx x x ln ln csccsc secsec csc sin sec cos 22 22 2 2 2 2 C a x xa dx C xa xa axa dx C ax ax aax dx C a x arctg axa dx Cctgxxxdx Ctgxxxdx Cxctgxdx Cxtgxdx arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22 C a xa xa x dxxa Caxx a ax x dxax Caxx a ax x dxax I n n xdxxdxI n nn n arcsin 22 ln 22 ln 22 1 cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 三角函数的有理式积分 三角函数的有理式积分 三角函数的有理式积分 三角函数的有理式积分 22 2 2 1 2 21 1 cos 1 2 sin u du dx x tgu u u x u u x 一些初等函数 一些初等函数 一些初等函数 一些初等函数 两个重要极限 两个重要极限 两个重要极限 两个重要极限 三角函数公式 三角函数公式 三角函数公式 三角函数公式 诱导公式 诱导公式 诱导公式 诱导公式 函数 角 A sincostgctg sin cos tg ctg 90 cos sin ctg tg 90 cos sin ctg tg 180 sin cos tg ctg 180 sin cos tg ctg 270 cos sin ctg tg 270 cos sin ctg tg 360 sin cos tg ctg 360 sin cos tg ctg 和差角公式 和差角公式 和差角公式 和差角公式 和差化积公式 和差化积公式 和差化积公式 和差化积公式 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin ctgctg ctgctg ctg tgtg tgtg tg 1 1 sinsincoscos cos sincoscossin sin m m m x x arthx xxarchx xxarshx ee ee chx shx thx ee chx ee shx xx xx xx xx 1 1 ln 2 1 1ln 1ln 2 2 2 2 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 590457182818284 2 1 1 lim 1 sin lim 0 e x x x x x x 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 倍角公式 倍角公式 倍角公式 倍角公式 半角公式 半角公式 半角公式 半角公式 cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin ctgtg 正弦定理 正弦定理 正弦定理 正弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin 余弦定理 余弦定理 余弦定理 余弦定理 Cabbaccos2 222 反三角函数性质 反三角函数性质 反三角函数性质 反三角函数性质 arcctgxarctgxxx 2 arccos 2 arcsin 高阶导数公式高阶导数公式高阶导数公式高阶导数公式 莱布尼兹 莱布尼兹 莱布尼兹 莱布尼兹 LeibnizLeibnizLeibnizLeibniz 公式 公式 公式 公式 2 1 0 1 1 2 1 nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvu vuCuv L L L 中值定理与导数应用 中值定理与导数应用 中值定理与导数应用 中值定理与导数应用 拉格朗日中值定理 时 柯西中值定理就是当 柯西中值定理 拉格朗日中值定理 xx F f aFbF afbf abfafbf F 曲率 曲率 曲率 曲率 1 0 1 limM sMM 1 32 0 2 a Ka K y y ds d s K MM s K tgydxyds s 的圆 半径为 直线 点的曲率 弧长 化量 点 切线斜率的倾角变点到从平均曲率 其中弧微分公式 2 3 3 3 31 3 3 cos3cos43cos sin4sin33sin tg tgtg tg 2 2 2222 1 2 2 2 1 2 sincossin211cos22cos cossin22sin tg tg tg ctg ctg ctg 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 定积分的近似计算 定积分的近似计算 定积分的近似计算 定积分的近似计算 b a nnn b a nn b a n yyyyyyyy n ab xf yyyy n ab xf yyy n ab xf 4 2 3 2 1 1312420 110 110 LL L L 抛物线法 梯形法 矩形法 定积分应用相关公式 定积分应用相关公式 定积分应用相关公式 定积分应用相关公式 b a b a dttf ab dxxf ab y k r mm kF ApF sFW 1 1 2 2 21 均方根 函数的平均值 为引力系数引力 水压力 功 空间解析几何和向量代数 空间解析几何和向量代数 空间解析几何和向量代数 空间解析几何和向量代数 代表平行六面体的体积 为锐角时 向量的混合积 例 线速度 两向量之间的夹角 是一个数量 轴的夹角 与是向量在轴上的投影 点的距离 空间 cos sin cos cos PrPr Pr cosPr 2 222222 2121 2 12 2 12 2 1221 cba ccc bbb aaa cbacba rwvbac bbb aaa kji bac bbbaaa bababa bababababa ajajaaj uABABABj zzyyxxMMd zyx zyx zyx zyx zyx zyxzyx zzyyxx zzyyxx u u v v vv v vv v v vvv v vv v vv v v v v vvvv 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 马鞍面 双叶双曲面 单叶双曲面 双曲面 同号 抛物面 椭球面 二次曲面 参数方程 其中空间直线的方程 面的距离 平面外任意一点到该平 截距世方程 一般方程 其中 点法式 平面的方程 1 1 3 22 2 11 13 02 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 000 222 000 0000000 c z b y a x c z b y a x qpz q y p x c z b y a x ptzz ntyy mtxx pnmst p zz n yy m xx CBA DCzByAx d c z b y a x DCzByAx zyxMCBAnzzCyyBxxA v v 多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x z zyxF dx dy F F yF F xdx yd F F dx dy yxF dy y v dx x v dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyxfdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz 隐函数 隐函数 隐函数的求导公式 时 当 多元复合函数的求导法 全微分的近似计算 全微分 0 0 2 2 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 1 1 1 1 0 0 yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u GG FF v G u G v F u F vu GF J vuyxG vuyxF vu vu 隐函数方程组 微分法在几何上的应用 微分法在几何上的应用 微分法在几何上的应用 微分法在几何上的应用 3 0 2 1 0 0 0 0 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxFzyxFzyxFn zyxMzyxF GG FF GG FF GG FF T zyxG zyxF zztyytxxtM t zz t yy t xx zyxM tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz xz zy zy 过此点的法线方程 过此点的切平面方程 过此点的法向量 则 上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为 处的法平面方程 在点 处的切线方程 在点空间曲线 v v 方向导数与梯度 方向导数与梯度 方向导数与梯度 方向导数与梯度 上的投影 在是 单位向量 方向上的 为 其中 它与方向导数的关系是 的梯度 在一点函数 的转角 轴到方向为其中 的方向导数为 沿任一方向在一点函数 lyxf l f ljieeyxf l f j y f i x f yxfyxpyxfz lx y f x f l f lyxpyxfz grad sincos grad grad sincos vv vv vv 多元函数的极值及其求法 多元函数的极值及其求法 多元函数的极值及其求法 多元函数的极值及其求法 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 不确定时 值时 无极 为极小值 为极大值 时 则 令 设 0 0 0 0 0 0 2 2 00 002 0000000000 BAC BAC yxA yxA BAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx 重积分及其应用 重积分及其应用 重积分及其应用 重积分及其应用 D z D y D x zyx D y D x D D y D x D DD ayx xdyx faF ayx ydyx fF ayx xdyx fF FFFFaaMzxoy dyxxIydyxyIx dyx dyxy M M y dyx dyxx M M x dxdy y z x z Ayxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 222 2 3 222 2 3 222 22 D 2 2 0 0 0 1 sin cos 其中 的引力 轴上质点平面 对平面薄片 位于 轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量 平面薄片的重心 的面积曲面 柱面坐标和球面坐标 柱面坐标和球面坐标 柱面坐标和球面坐标 柱面坐标和球面坐标 dvyxIdvzxIdvzyI dvxMdvz M zdvy M ydvx M x drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf ddrdrdrdrrddv rz ry rx zrrfzrF dzrdrdzrFdxdydzzyxf zz ry rx zyx r 1 1 1 sin sin sinsin cos sinsin cossin sin cos sin cos 222222 2 00 0 22 2 转动惯量 其中 重心 球面坐标 其中 柱面坐标 曲线积分 曲线积分 曲线积分 曲线积分 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 22 ty tx dtttttfdsyxf t ty tx LLyxf L 特殊情况 则 的参数方程为 上连续 在设 长的曲线积分 第一类曲线积分 对弧 通常设 的全微分 其中 才是二元函数时 在 二元函数的全微分求积 注意方向相反 减去对此奇点的积分 应 注意奇点 如 且内具有一阶连续偏导数在 是一个单连通区域 无关的条件 平面上曲线积分与路径 的面积 时 得到 即 当 格林公式 格林公式 的方向角 上积分起止点处切向量 分别为和 其中系 两类曲线积分之间的关 则 的参数方程为设 标的曲线积分 第二类曲线积分 对坐 0 0 0 2 1 2 1 2 coscos 00 00 yxdyyxQdxyxPyxu yxuQdyPdx y P x Q y P x Q GyxQyxP G ydxxdydxdyAD y P x Q xQyP QdyPdxdxdy y P x Q QdyPdxdxdy y P x Q L dsQPQdyPdx dttttQtttPdyyxQdxyxP ty tx L yx yx DL DLDL LL L 曲面积分 曲面积分 曲面积分 曲面积分 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 dsRQPRdxdyQdzdxPdydz dzdxzxzyxQdzdxzyxQ dydzzyzyxPdydzzyxP dxdyyxzyxRdxdyzyxR dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf zx yz xy xy D D D D yx coscoscos 1 22 系 两类曲面积分之间的关 号 取曲面的右侧时取正 号 取曲面的前侧时取正 号 取曲面的上侧时取正 其中 对坐标的曲面积分 对面积的曲面积分 高斯公式 高斯公式 高斯公式 高斯公式 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 nnn n n nn n urrus u uu uuuuuuuuLL 绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛 时收敛 时发散 级数 收敛 级数 收敛 发散 而调和级数 为条件收敛级数 收敛 则称发散 而如果 收敛级数 肯定收敛 且称为绝对收敛 则如果 为任意实数 其中 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn LL LL 幂级数 幂级数 幂级数 幂级数 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 0 0 1 0 3 lim 3 1 1 1 1 1 1 1 2 210 32 R R R aa a a R Rx Rx Rx R xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 时 时 时 的系数 则是 其中求收敛半径的方法 设 称为收敛半径 其中 时不定 时发散 时收敛 使在数轴上都收敛 则必存 收敛 也不是在全 如果它不是仅在原点 对于级数 时 发散 时 收敛于 LL LL 函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 LL LL n n n n n n n n n x n f x f xffxfx Rxfxx n f R xx n xf xx xf xxxfxf 0 2 0 0 0 0 0lim 1 2 2 0 1 0 1 0 0 2 0 0 00 时即为麦克劳林公式 充要条件是 可以展开成泰勒级数的余项 函数展开成泰勒级数 一些函数展开成幂级数 一些函数展开成幂级数 一些函数展开成幂级数 一些函数展开成幂级数 12 1 5 3 sin 11 1 1 2 1 1 1 12 1 53 2 qp xrxr ececy 21 21 两个相等实根 04 2 qp xr exccy 1 21 一对共轭复根 04 2 qp 2 4 2 2 21 pqp irir sincos 21 xcxcey x 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数 型 为常数 sin cos xxPxxPexf xPexf qpxfqyypy nl x m x 概率公式整理概率公式整理 1 随机事件及其概率 吸收律 AABA AA A ABAA A AA ABABABA 反演律 BABA BAAB IU n i i n i i AA 11 UI n i i n i i AA 11 2 概率的定义及其计算 1 APAP 若BA APBPABP 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 对任意两个事件A B 有 ABPBPABP 加法公式 对任意两个事件A B 有 ABPBPAPBAP BPAPBAP 1 21 1 1111 n n n nkji kji nji ji n i i n i i AAAPAAAPAAPAPAPLL U APABPAPABP 0 121 12112121 n nnn AAAP AAAAPAAPAPAAAP L LLL 全概率公式 n i i ABPAP 1 1 i n i i BAPBP Bayes 公式 ABP k AP ABP k n i ii kk BAPBP BAPBP 1 4 随机变量及其分布 分布函数计算 aFbF aXPbXPbXaP n n np 有 L 2 1 0 1 lim k k eppC k kn n k n k n n 3 Poisson 分布 P L 2 1 0 k k ekXP k 6 连续型随机变量 1 均匀分布 baU 其他 0 0 xe xf x 0 1 0 0 xe x xF x 3 正态分布N 2 xexf x 2 2 2 2 1 x t texFd 2 1 2 2 2 N 0 1 标准正态分布 xex x 2 2 2 1 xtex x t d 2 1 2 2 7 多维随机变量及其分布 二维随机变量 X Y 的分布函数 xy dvduvufyxF 边缘分布函数与边缘密度函数 x X dvduvufxF dvvxfxfX y Y dudvvufyF duyufyfY 8 连续型二维随机变量 1 区域G上的均匀分布 U G 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 其他 0 1 Gyx A yxf 2 二维正态分布 xfxyfxfyxf X XY X 0 yfyxfyf Y YX Y dyyfyxfdyyxfxf Y YX X dxxfxyfdxyxfyf X XY Y yxf YX yf yxf Y yf xfxyf Y XXY xyf XY xf yxf X xf yfyxf X YYX 10 随机变量的数字特征 数学期望 1 k kkp xXE dxxxfXE 随机变量函数的数学期望 X的k阶原点矩 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 k XE X的k阶绝对原点矩 k XE X的k阶中心矩 k XEXE X的 方差 2 XDXEXE X Y的k l阶混合原点矩 lkY XE X Y的k l阶混合中心矩 lk YEYXEXE X Y的 二阶混合原点矩 XYE X Y的二阶混合中心矩X Y的协方差 YEYXEXE X Y的相关系数 XY YDXD YEYXEX E X的方差 D X E X E X 2 22 XEXEXD 协方差 cov YEYXEXEYX 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 YEXEXYE 2 1 YDXDYXD 相关系数 cov YDXD YX XY 线性代数部分线性代数部分 梳理 条理化 给出一个系统的 有内在有机结构的理论体系 沟通 突出各部分内容间的联系 充实提高 围绕考试要求 介绍一些一般教材上没有的结果 教给大家常见问题的实用而简捷 的方法 大家要有这样的思想准备 发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同 有的方法是你不 知道的 但是我相信 只要你对它们了解了 掌握了 会提高你的解题能力的 基本运算基本运算 ABBA CBACBA cBcABAc dAcAAdc AcddAc 00 ccA或0 A AA T T TTT BABA T T AccA TT T ABAB 2 1 211 2 nn Cnn n L nnA aAaAaD 2222222121 L 转置值不变AAT 逆值变 A A 1 1 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 AccA n 2121 321 A 3 阶矩阵 321 B BABA 332211 BA 332211 BA BA B A B A 0 0 1 cjiE 有关乘法的基本运算有关乘法的基本运算 njinjijiij bababaC L 2211 线性性质 BABABAA 2121 2121 ABABBBA cBAABcBcA 结合律 BCACAB TTT ABAB BAAB lklk AAA kl l k AA kk k BAAB 不一定成立 不一定成立 AAE AEA kAkEA kAAkE EBAEAB 与数的乘法的不同之处与数的乘法的不同之处 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 kkk BAAB 不一定成立 不一定成立 无交换律无交换律因式分解障碍是交换性 一个矩阵A的每个多项式可以因式分解 例如 EAEAEAA 332 2 无消去律 无消去律 矩阵和矩阵相乘 当0 AB时0 A或0 B 由0 A和00 BAB 由0 A时CBACAB 无左消去律 特别的特别的设A可逆 则A有消去律有消去律 左消去律 CBACAB 右消去律 CBCABA 如果A列满秩 则A有左消去律 即 00 BAB CBACAB 可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质 i 当A可逆时 T A也可逆 且 T T AA 1 1 k A也可逆 且 k k AA 1 1 数0 c cA也可逆 1 11 A c cA ii A B是两个n阶可逆矩阵AB 也可逆 且 11 1 ABAB 推论 设A B是两个n阶矩阵 则EBAEAB 命题 初等矩阵都可逆 且 jiEjiE 1 c iEciE 1 1 cjiEcjiE 1 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 命题 准对角矩阵 kk A A A A 000 000 000 000 22 11 O 可逆 每个 ii A都可逆 记 1 1 22 1 11 1 000 000 000 000 kk A A A A O 伴随矩阵的基本性质 伴随矩阵的基本性质 EAAAAA 当A可逆时 E A A A 得 A A A 1 求逆矩阵的伴随矩阵法 且得 1 1 A A A A A A AAA 1 111 伴随矩阵的其他性质伴随矩阵的其他性质 1 n AA 1 AAA TT AA 1A ccA n ABAB k k AA AAA n2 2 n时 AA dc ba A 关于矩阵右上肩记号关于矩阵右上肩记号 T k 1 i 任何两个的次序可交换 如 T T AA 11 AA等 ii 11 1 ABABABAB TT T ABAB 但 kkk ABAB 不一定成立 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 线性表示线性表示 s 0 21 L si 21 L sss xxxLL 221121 有解 x s 21 L有解 T s xxx 1 L Ax有解 即 可用 A 的列向量组表示 s rrrCAB 21 L n A 21 L 则 ns rrr 2121 LL st 2121 LL 则存在矩阵C 使得 C st 2121 LL 线性表示关系有传递性当 pst rrr 212121 LLL 则 pt rrr 2121 LL 等价关系 如果 s 21 L与 t 21 L互相可表示 ts 2121 LL 记作 ts 2121 LL 线性相关线性相关 1 s 单个向量 0 x 相关0 2 s 21 相关 对应分量成比例 21 相关 nn bababa 2211 L 向量个数s 维数n 则 n1 L线性相 无 关 0 1 n L n A 21 L 0 Ax有非零解0 A 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 如果ns 则 s 21 L一定相关 0 Ax的方程个数 则 t 1 L一定线性相关 证明 记 s A 1 L t B 1 L 则存在ts 矩阵C 使得ACB 0 Cx有s个方程 t个未知数 ts 唯一解 nAA 无穷多解 nAA 方程个数方程个数m mAmA 当 mA 时 mA 有解 当nm 时 nA 不会是唯一解 对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组0 Ax 只有零解 nA 即A列满秩 有非零解 nA ACxCxACxCxBxx TTTT C可逆 0 x 0 Cx 我们给出关于正定的以下性质我们给出关于正定的以下性质 A正定EA 存在实可逆矩阵C CCA T A 的正惯性指数n A 的特征值全大于0 A 的每个顺序主子式全大于0 判断判断A正定的三种方法 正定的三种方法 顺序主子式法 特征值法 定义法 基本概念基本概念 对称矩阵对称矩阵AAT 反对称矩阵反对称矩阵AAT 简单阶梯形矩阵简单阶梯形矩阵 台角位置的元素都为 1 台角正上方的元素都为 0 如果A是一个n阶矩阵 A是阶梯形矩阵 A是上三角矩阵 反之不一定 矩阵消元法矩阵消元法 解的情况 写出增广矩阵 A 用初等行变换化 A为阶梯形矩阵 B 用 B判别解的情况 i 如果 B最下面的非零行为 d0 0 L 则无解 否则有解 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 ii 如果有解 记 是 B的非零行数 则 n 时唯一解 n 时无穷多解 iii 唯一解求解的方法 初等变换法 去掉 B的零行 得 00 B 它是 cnn 矩阵 0 B是n阶梯形矩阵 从而是上三角 矩阵 则0 nn b iinn bbL 0 1 1 都不为0 ErBA 行行 就是解 一个一个n阶行列式阶行列式 nnnn n n aaa aaa aaa L LLLL L L 21 22221 11211 的值 的值 是 n项的代数和 每一项是n个元素的乘积 它们共有 n项 n njjj aaaL 21 21 其中 n jjjL 21 是n 2 1L的一个全 排列 n njj aaL 1 1 前面乘的应为 n jjjL 21 1 n jjjL 21 的逆序数 n n n jjj njjj jjj aaa L L L 21 21 21 21 1 2 1 211 2 nn Cnn n L 代数余子式代数余子式 ij M为 ij a的余子式 ij ji ij MA 1 定理 一个行列式的值D等于它的某一行 列 各元素与各自代数余子式乘积之和 nnA aAaAaD 2222222121 L 一行 列 的元素乘上另一行 列 的相应元素代数余子式之和为0 范德蒙行列式范德蒙行列式 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 ji ij n aa aaa 111 11 L L 2 n C个 乘法相关乘法相关 AB的 ji 位元素是A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和 njinjijiij bababaC L 2211 乘积矩阵的列向量与行向量乘积矩阵的列向量与行向量 1 设nm 矩阵 n A 21 L n维列向量 T n bbb 21 L 则 nn bbbA L 2211 矩阵乘法应用于方程组矩阵乘法应用于方程组 方程组的矩阵形式 Ax T m bbb 21 L 方程组的向量形式 nn xxxL 2211 2 设CAB s AAAAB 21 L nniiiii bbbAr L 2211 AB的第i个列向量是A的列向量组的线性组合 组合系数是B的第i个列向量的各分 量 AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合 组合系数是A的第i个行向量的各分 量 矩阵分解矩阵分解 当矩阵C的每个列向量都是A的列向量的线性组合时 可把C分解为A与一个矩阵B 的乘积 特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题 n n 000 000 000 000 2 1 21 O L nn 2211 L 对角矩阵从右侧乘一矩阵A 即用对角线上的元素依次乘A的各列向量 对角矩阵从左侧乘一矩阵A 即用对角线上的元素依次乘A的各行向量 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 于是AAE AEA kAkEA kAAkE 两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘 对角矩阵的k次方幂只须把每个对角线上元素作k次方幂 对一个n阶矩阵A 规定 Atr为A的对角线上元素之和称为A的迹数 于是 T k T k T 1 T k T tr 1 TT tr 其他形式方阵的高次幂也有规律 例如 101 020 101 A 初等矩阵及其在乘法中的作用初等矩阵及其在乘法中的作用 1 jiE 交换E的第ji 两行或交换E的第ji 两列 2 ciE 用数 0 c乘E的第i行或第i列 3 cjiE 把E的第j行的c倍加到第i行上 或把E的第i列的c倍加到第j列上 初等矩阵从左 右 侧乘一个矩阵A等同于对A作一次相当的初等行 列 变换 乘法的分块法则乘法的分块法则 一般法则 在计算两个矩阵A和B的乘积时 可以先把A和B用纵横线分割成若干小矩阵来进 行 要求A的纵向分割与B的横向分割一致 两种常用的情况两种常用的情况 1 BA 都分成 4 块 2221 1211 AA AA A 2221 1211 BB BB B 其中 1i A的列数和 j B1的行数相等 2i A的列数和 j B2的行数相关 2222122121221121 2212121121121111 BABABAAA BABABABA AB 2 准对角矩阵 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 kk A A A L O L L 00 00 00 22 11 kkkkkkkk BA BA BA B B B A A A 00 00 00 00 00 00 00 00 00 2222 1111 22 11 22 11 O L L L LLLL L L L OM L L 矩阵方程与可逆矩阵矩阵方程与可逆矩阵 两类基本的矩阵方程两类基本的矩阵方程 都需求A是方阵 且0 A BAxI BxAII I 的解法 xEBA 行 II 的解法 先化为 TTT BxA TTT xEBA 通过逆求解 BAx BAx 1 可逆矩阵及其逆矩阵可逆矩阵及其逆矩阵 定义 设A是n阶矩阵 如果存在n阶矩阵H 使得EAH 且EHA 则称A是可逆矩 阵 称H是A的逆矩阵 证作 1 A 定理 n阶矩阵A可逆0 A 求求 1 A的方程的方程 初等变换法 1 AEEA 行 伴随矩阵伴随矩阵 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 T ij nnnn n n A AAA AAA AAA A L LLLL L L 21 22212 12111 线性表示线性表示 可以用 s 21 L线性表示 即 可以表示为 s 21 L的线性组合 也就是存在 s ccc 21 L使得 ss cccL 2211 记号 s 21 L 线性相关性线性相关性 线性相关 存在向量 i 可用其它向量 sii 111 LL 线性表示 线性无关 每个向量 i 都不能用其它向量线性表示 定 义 如 果 存 在 不 全 为0的 s ccc 21 L 使 得0 2211 ss ccc L则 称 s 21 L线性相关 否则称 s 21 L线性无关 即 s 21 L线性相 无 关0 11 ss xx L有 无 非零解 0 21 x s L有 无 非零解 极大无关组和秩极大无关组和秩 定义 s 21 L的一个部分组 I称为它的一个极大无关组 如果满足 i I线性无关 ii I再扩大就相关 I s 21 L III s L 1 定义 规定 s 21 L的秩 I s 21 L 如果 s 21 L每个元素都是零向量 则规定其秩为0 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 sn s min 0 1 L 有相同线性关系的向量组有相同线性关系的向量组 定义 两个向量若有相同个数的向量 ss 2121 LL 并且向量方程 0 2211 ss xxx L与0 2211 ss xxx L同解 则称它们有相同的线性关 系 对应的部分组有一致的相关性 421 的对应部分组 421 若 421 相关 有不全为0的 421 ccc使得 0 442211 ccc 即 0 0 0 421 Lccc是0 2211 ss xxx L的解 从而也是0 2211 ss xxx L的解 则有 0 442211 ccc 321 也相关 极大无关组相对应 从而秩相等 有一致的内在线表示关系 设 s A 21 L s B 21 L 则 0 2211 ss xxx L即0 Ax 0 2211 ss xxx L即0 Bx s 21 L与 s 21 L有相同的线性关系即0 Ax与0 Bx同解 反之 当0 Ax与0 Bx同解时 A和B的列向量组有相同的线性关系 矩阵的秩矩阵的秩 定理 矩阵A的行向量组的秩 列向量组的秩 规定 Ar行 列 向量组的秩 Ar的计算的计算 用初等变换化A为阶梯形矩阵B 则B的非零行数即 Ar 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 命题 AAr 的非零子式阶数的最大值 方程组的表达形式方程组的表达形式 1 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa L L L L 2211 22222121 11212111 2 Ax 是解 A 3 nn xxxL 2211 有解 n 21 L 基础解系和通解基础解系和通解 1 1 1 1 0 Ax有非零解时的基础解系有非零解时的基础解系 e 21 L是0 Ax的基础解系的条件 每个 i 都是0 Ax的解 e 21 L线性无关 0 Ax的每个解 e 21 L Anl 通解通解 如果 e 21 L是0 Ax的一个基础解系 则0 Ax的通解为 ee ccc L 2211 i c任意 如果 0 是 0 Ax的一个解 e 21 L是0 Ax的基础解系 则 Ax的通解 为 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 ee ccc L 22110 i c任意 特征向量与特征值特征向量与特征值 定义 如果0 并且 A与 线性相关 则称 是A的一个特征向量 此时 有数 使 得 A 称 为 的特征值 设A是数量矩阵E 则对每个n维列向量 A 于是 任何非零列向量都是E 的 特征向量 特征值都是 特征值有限特征向量无穷多 若 A cccAcA 221122112211 22 11 ccAcAcccA A A 每个特征向量有唯一特征值 而有许多特征向量有相同的特征值 计算时先求特征值 后求特征向量 特征向量与特征值计算特征向量与特征值计算 0 A 0 0 AE 是 0 xAE 的非零解 命题 是A的特征值0 AE 是属于 的特征向量 是 0 xAE 的非零解 称多项式AxE 为A的特征多项式 是A的特征值 是A的特征多项式AxE 的根 的重数 作为AxE 的根的重数 n阶矩阵A的特征值有n个 n 21 L 可能其中有的不是实数 有的是多重的 计算步骤 求出特征多项式AxE 求AxE 的根 得特征值 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 对每个特征值 i 求 0 xAE i 的非零解 得属于 i 的特征向量 n n n n 阶矩阵的相似关系阶矩阵的相似关系 设A B是两个n阶矩阵 如果存在n阶可逆矩阵U 使得BAUU 1 则称A与B相似 记作BA n n n n 阶矩阵的对角化阶矩阵的对角化 基本定理A可对角化 A有n个线性无关的特征向量 设可逆矩阵 n U 21 L 则 n AUU 000 000 000 000 2 1 1 O nn n n UA 000 000 000 000 2211 2 1 21 L O L iii A ni 2 1L 判别法则判别法则 A可对角化 对于A的每个特征值 的重数 AEn 计算 对每个特征值 i 求出 0 xAE i 的一个基础解系 把它们合在一起 得到n个线 性无关的特征向量 n 1 L 令 n U 21 L 则 n AUU 000 000 000 000 2 1 1 O 其中 i 为 i 的特征值 二次型 实二次型 二次型 实二次型 二次型及其矩阵二次型及其矩阵 一个n元二次型的一般形式为 ji ji ij n i iiin xxaxaxxxf n xxxfL 例 如 标 准 二 次 型 22 22 2 1121 nnn xdxdxdxxxf LL正 定0 i d ni 1L 必要性 取1 1 x 0 2 x xxL 此时 00 0 1 1 dfL同样可证每 个0 i d 实对称矩阵正定实对称矩阵正定即二次型AxxT正定 也就是 当0 x时 0 AxxT 例如实对角矩阵 n 000 000 00 0 000 2 1 O 正定0 i ni 1L 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 定义定义 设A是一个n阶矩阵 记 r A是A的西北角的r阶小方阵 称 r A为A的第r个顺序主子 式 或r阶顺序主子式 附录一附录一内积 正交矩阵 实对称矩阵的对角化内积 正交矩阵 实对称矩阵的对角化 一 向量的内积一 向量的内积 1 1 1 1 定义 定义 两个n维实向量 的内积是一个数 记作 规定为它们对应分量乘积之和 设 nn b b b a a a MM 2 1 2 1 则 nnb ababa L 2211 T 2 2 2 2 性质 性质 对称性 双线性性质 2121 2121 ccc 正交性 0 且 00 n i i a 1 2 3 3 长度与正交 长度与正交 向量 的长度 n i i a 1 2 00 cc 单位向量 长度为1的向量 0 0 1 0 1 0 2 2 0 2 2 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 若0 则 是单位向量 称为 的单位化单位化 1 1 两个向量 如果内积为 0 0 称它们是正交正交的 如果n维向量组 s 21 L两两正交 并且每个都是单位向量 则称为单位正交向量组正交向量组 例 1 如果向量组 s 21 L两两正交 并且每个向量都不为零向量 则它们线性无关 证 记 s A 21 L 则 2 2 2 2 1 000 000 000 000 s T AA O 则 sArsAAr T 即 sr s 1 L 例 2 若A是一个实的矩阵 则 ArAAr T 二 正交矩阵二 正交矩阵 一个实n阶矩阵A如果满足EAAT 就称为正交矩阵 1 AAT 定理A是正交矩阵A 的行向量组是单位正交向量组 A 的列向量组是单位正交向量组 例 3 正交矩阵A保持内积 即 AA A 证 TTT AAAA 例 4 04 A是 3 阶正交矩阵 并且1 11 a 求 0 0 1 Ax的解 三 施密特正交化方法三 施密特正交化方法 这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 c 12 设 321 线性无关 正交化 令 11 1 11 21 22 设 122 k 111212 k 当 11 12 k时 12 正交 2 22 32 1 11 31 33 单位化 令 1 1 1 2 2 2 3 3 3 则 321 是与 321 等价的单位正交向量组 四 实对称矩阵的对角化四 实对称矩阵的对角化 设A是一个实的对称矩阵 则 A的每个特征值都是实数 对每个特征值 重数 AErn 即A可以对角化 属于不同特征值的特征向量互相正交 于是 存在正交矩阵Q 使得AQQ 1 是对角矩阵 对每个特征值 找 0 xAE 的一个单位正交基础的解 合在一起构造正交矩阵 设A是6阶的有3个特征值 1 二重 2 三重 1 一重 找 1 的2个单位正交特征向量 21 考研论坛考研论坛 考研论坛考研论坛 找 2 的3个单位正交特征向量 543 找 3 的一个单位特征向量 6 654321 Q 例 5 04 A是3阶实对称矩阵 2 Ar 6是它的一个二重特征值 0 1 1 1 1 2 和 3 2 1 都是属于6的特征向量 1 求A的另一个特征值 2 求A 解 1 另一个特征值为0 2 设 3 2 1 x x x 是属于0的特征向量 则 032 02 0 321 321 21 xxx xxx xx 此方程组3 n 2