广东省阳东广雅中学高二数学下学期期中试题 理.doc

阳东广雅中学20142015学年第二学期高二年级期中考试试卷理科数学 第一部分 选择题一、选择题：本大题共8小题, 每小题5分, 满分40分 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1复数在复平面上对应的点的坐标是ab c d 2下列命题中，假命题是abcd3有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有a12种b24种c48种d120种4. 定积分的值为ab1cd2 5若，其中，则= a b c d6双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率的值为abcd27观察，由归纳推理可得：若是定义在上的奇函数，记为的导函数，则abcd8一平行六面体中，顶点为端点的三条棱长均为1，且它们两两夹角均为，那么对角线的长为abc2d第二部分 非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9焦点为的抛物线的标准方程是 10在的展开式中，的系数为 11从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有_ 12设复数则复数的虚部等于 .13在平面上，若两个正三角形的边长之比为，则它们的面积比为；类似地：在空间，若两个正四面体的棱长比为，则它们的体积比为 14已知函数及其导函数的图象如图所示，则曲线在点处的切线方程是 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15（本小题满分12分）已知函数（1）求；（2）求函数的单调区间16（本小题满分12分）某中学校本课程共开设了共门选修课,每个学生必须且只能选修门选修课,现有该校的甲、乙、丙名学生.() 求这名学生选修课所有选法的总数；() 求恰有门选修课没有被这名学生选择的概率；() 求选修课被这名学生选择的人数的分布列17 （本小题满分14分）观察下列三个三角恒等式（1）（2）（3）的特点，由此归纳出一个一般的等式，使得上述三式为它的一个特例，并证明你的结论（说明：本题依据你得到的等式的深刻性分层评分）18（本小题满分14分）如图，已知四棱锥的底面是矩形，、分别是、的中点，底面，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值19（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，且椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程；（2）是否存在以为直角顶点且内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由（本小题满分14分） 己知函数求函数的定义域； (2) 求函数的增区间；(3) 是否存在实数，使不等式在时恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由阳东广雅中学20142015学年第二学期高二年级期中考试理科数学答案及说明选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分 1【解析】选d2【解析】选c因为，所以c不确3【解析】选b4【解析】选a5【解析】选c6【解析】选c由已知得，所以，故，即所以7【解析】选d由给出的例子可以归纳推理得出“奇函数的导数是偶函数”，所以8【解析】选a，所以第二部分非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9【解析】填因为，所以，开口向右，所以标准方程为10【解析】填10因为，所以的系数为1011【解析】24012【解析】填113【解析】填体积比为相似比的立方14【解析】填因为切线的斜率为，所以切线方程为，即三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15（本小题满分12分）【解析】（1）因为（2分）（2）要使有意义，则的取值范围是（4分）由得（5分）因为，所以，即，或（7分）由得（8分） 因为，所以，即（10分）所以的单调增区间为；单调减区间为（12分）（本小题满分12分） .【解析】()每个学生有四个不同选择,根据分步计数原理,选法总数 2分 () 设“恰有门选修课没有被这名学生选择”为事件,则,即恰有门选修课没有被这名学生选择的概率为.6分() 的所有可能取值为,且, , 10所以的分布列为12分17（本小题满分14分）【解析】以下给出两个层次解答供参考等式一：若，且，则（4分）证明如下：因为，所以（6分）即（8分）所以（10分）即移项得（12分）等式二：若，则（6分）证明如下：因为（10分）所以（12分）即移项得（14分）18（本小题满分14分）【解析一】（1）以点为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，如图所示则依题意可知相关各点的坐标分别是：， ，如下图所示（2分）所以点的坐标分别为（3分）所以，（4分）因为，所以（6分）又因为，所以（7分）所以平面（8分）（2）设平面的法向量，则，（9分）所以即（10分）所以令，则显然，就是平面的法向量（11分）所以（12分）由图形知，二面角是钝角二面角（13分）所以二面角的余弦值为（14分）【解析二】（1）取的中点，连接，则，又，所以四点共面.因为，且（2分） 所以.又因为，所以平面.（4分）所以所以平面.（6分）易证所以平面（8分）（2）连接，则所以.（9分）同（1）可证明平面.所以，且平面平面.明显，所以.（10分）过作，垂足为，则平面.连接，则（11分）因为，所以平面，为二面角平面角的补角. （12分）在中，所以.在中，.所以.（13分）所以二面角的余弦值为（14分）（本小题满分14分） 【解析】（1）由得，（1分）又（2分）故椭圆方程为，椭圆经过点，则（3分）所以 （4分）所以椭圆的标准方程为（5分）（2）假设存在这样的等腰直角三角形.明显直线的斜率存在，因为点的坐标为，设直线的方程为，则直线的方程为（6分）将的方程代入椭圆得所以，或 所以点的纵坐标为（7分）所以（8分）同理（9分）因为是等腰直角三角形，所以，即（10分）即所以，即（11分）所以即所以，或（12分）所以，或（13分）所以这样的直角三角形有三个（14分）20.解（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思