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第六部分 二次型线性代数考研辅导讲义6第六部分 二次型一.二次型的概念 1.二次型 其中. 2.二次型的矩阵表示式 令-二次型的矩阵,则-二次型的矩阵表示式.-二次型的秩.二.二次型化成标准形 1.二次型的标准形及规范形-二次型的标准形,其矩阵为.-二次型的规范形.其中为二次型的正惯性指数,为二次型的正惯性指数,为二次型的秩.(惯性定理).2.二次型化为标准形(1)配方法(2)正交变换法定理 对实二次型,存在正交变换,将二次型化成标准形其中为的特征值.注意用正交变换化二次型为标准形的步骤:(1)求的特征值;(2)对的特征值,求属于的两两正交且单位化的特征向量;(3)将的两两正交且单位化的特征向量作为正交矩阵的列向量组,得正交变换;并写出二次型的标准形.三.正定二次型,正定矩阵1.正定二次型与正定矩阵的定义2.正定二次型与正定矩阵的判别定理实二次型正定(实对称矩阵正定)的正惯性指数等于 的特征值全大于零 的顺序主子式全大于零 存在可逆矩阵,使得.典型例题例1 设的个列向量线性无关,则必为( ).(A)正定矩阵 (B)实对称但非正定矩阵 (C)正交矩阵 (D)反对称矩阵解 选(A).例2 已知二次型为正定二次型,则应满足 .解 利用霍尔维茨定理.答案: .例3 设为阶实对称矩阵,证明: 为正定矩阵的充分必要条件是与单位矩阵合同.证 必要性: 为正定矩阵, 必为实对称矩阵,存在正交矩阵,使得,又正定,故.令,则.令,则可逆,且,即与单位矩阵合同.充分性: ,则为实对称矩阵.任给,且,所以为正定矩阵.例4 设为阶非零矩阵,且,证明为正交矩阵.证 只需证.令,则.因为为阶非零矩阵,则存在.又.例5 设均为阶实正交矩阵,且,求.解 由正交,则也是正交矩阵,同理也是正交矩阵.所以.例6 设为阶实对称矩阵, .求(1)二次型的标准形;(2) .解 (1)设为的特征值,则.又为实对称矩阵,则存在正交矩阵,使得,其中为的特征值.由知, 中有个1, 个0,故,所以二次型的标准形.(2)由.又,则.例7 设.(1)求一个正交变换,将化成标准形,并指明表示什么曲面?(2)求平面被曲面所截下的部分的面积.解 (1)二次型的矩阵为,其特征值.对应的线性无关的特征向量为,正交规范化得.对应的线性无关的特征向量为,单位化得.令正交变换,则表示圆
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