高等数学第57讲讲义.doc

7. 2 常系数线性微分方程一、 知识结构1、二阶常系数齐次线性微分方程2、二阶常系数非齐次线性微分方程二、 考试大纲要求1、了解二阶线性微分方程解的结构。2、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。3、掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。（自由项限定为，其中为的次多项式，为实常数）一、二阶常系数齐次线性微分方程1、定义 方程 （*）称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p、q均为常数. 例 微分方程y-2y-3y=02、解的结构（1）定理(解的线性组合还是解)： 如果函数与是方程(*)的两个解, 则也是方程(*)的解，其中是任意常数.（2）函数的线性相关与线性无关: 设y1(x), y2(x), , yn(x)为定义在区间I上的n个函数. 如果存在n个不全为零的常数k1, k2, , kn, 使得当xI 时有恒等式k1y1(x)+k2y2(x)+ + knyn(x)0成立, 那么称这n个函数在区间I上线性相关; 否则称为线性无关. 判别两个函数线性相关性的方法: 对于两个函数, 它们线性相关与否, 只要看它们的比是否为常数, 如果比为常数, 那么它们就线性相关, 否则就线性无关. 例 1, cos2x , sin2x 在整个数轴上是线性相关的. 函数1, x, x2在任何区间(a, b)内是线性无关的. （3）定理 如果与是方程(*)的两个线性无关的特解，则就是方程(*)的通解，其中是任意常数.（4）特征方程（就是把换成，换成，换成得到的方程）方程r2+pr+q=0叫做二阶常系数微分方程的特征方程. 例 微分方程y-2y-3y=0的特征特征方程的两个根r1、r2可用公式求出. .（5）求解步骤求二阶常系数齐次线性微分方程 的通解的步骤为: 第一步 写出微分方程的特征方程：r2+pr+q=0第二步 求出特征方程的两个根r1、r2. 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解. 例 求微分方程y-2y-3y=0的通解. 解 所给微分方程的特征方程为r2-2r-3=0, 即(r+1)(r-3)=0. 其根r1=-1, r2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为y=C1e-x+C2e3x. 例 求方程y+2y+y=0满足初始条件y|x=0=4、y| x=0=-2的特解. 解 所给方程的特征方程为r2+2r+1=0, 即(r+1)2=0. 其根r1=r2=-1是两个相等的实根, 因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x. 将条件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 从而y=(4+C2x)e-x. 将上式对x求导, 得y=(C2-4-C2x)e-x. 再把条件y|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解为y=(4+2x)e-x. 例 求微分方程y-2y+5y= 0的通解. 解 所给方程的特征方程为r2-2r+5=0. 特征方程的根为r1=1+2i, r2=1-2i, 是一对共轭复根, 因此所求通解为y=ex(C1cos2x+C2sin2x). （2006年试题）27：求方程的通解.解 所给微分方程的特征方程为其根是两个不相等的实根，因此所求通解为（2007年试题）20：的特征方程