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第二部分题型研究 题型四新定义与阅读理解题 类型三新解题方法型 例3 2017台州 在平面直角坐标系中 借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根 比如对于方程x2 5x 2 0 操作步骤是 第一步 根据方程的系数特征 确定一对固定点a 0 1 b 5 2 第二步 在坐标平面中移动一个直角三角板 使一条直角边恒过点a 另一条直角边恒过点b 第三步 在移动过程中 当三角板的直角顶点落在x轴上点c处时 点c的横坐标m即为该方程的一个实数根 如图 第四步 调整三角板直角顶点的位置 当它落在x轴上另一点d处时 点d的横坐标n即为该方程的另一个实数根 例3题图 1 在图 中 按照 第四步 的操作方法作出点d 请保留作出点d时直角三角板两条直角边的痕迹 思维教练 由题意得 点c必在以ab为直径的圆上 所以以ab为直径画圆 与x轴相交于两点 除点c外的另一点就是所求 解 如解图 先作出ab的中点o1 以o1为圆心 ab为半径画圆 x轴上另外一个交点即为d点 例3题解图 2 结合图 请证明 第三步 操作得到的m就是方程x2 5x 2 0的一个实数根 思维教练 因为 acb 90 aoc 90 所以过点b作be x轴 垂足为点e 则构造了一个 k 字型的基本图形 再由相似三角的性质得出比例式 化简后得m2 5m 2 0 问题得证 证明 如解图 过点b作x轴的垂线交x轴于点e adb 90 ado bde 90 oad ado 90 oad bde aod deb 90 aod deb 即 m2 5m 2 0 m是x2 5x 2 0的一个实根 3 上述操作的关键是确定两个固定点的位置 若要以此方法找到一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 b2 4ac 0 的实数根 请你直接写出一对固定点的坐标 思维教练 根据定义 需要先将二次函数系数化为1 再根据解析式写出固定点坐标 解 0 1 或 0 c 4 实际上 3 中的固定点有无数对 一般地 当m1 n1 m2 n2与a b c之间满足怎样的关系时 点p m1 n1 q m2 n2 就是符合要求的一对固定点 思维教练 本小题解题的关键是要抓住图 中的 k 字型 只要p q两点分别在ad bd上 过p q分别作x轴垂线 垂足为点m n 这样就构造出满足条件的基本图形 再应用相似三角形的性质 可得相应的关系式 解 在解图 中 p在ad上 q在bd上 过p q分别作x轴的垂线交x轴于m n 由 2 知 pmd dnq x2
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