中考数学一轮复习 第二章 方程（组）与不等式（组）2.2 一元二次方程及其应用（试卷部分）课件.ppt

2 2一元二次方程及其应用 中考数学 湖南专用 a组2014 2018年湖南中考题组 五年中考 考点一一元二次方程及其解法 1 2015湖南衡阳 8 3分 若关于x的方程x2 3x a 0有一个根为 1 则另一个根为 a 2b 2c 4d 3 答案a把x 1代入x2 3x a 0 可得1 3 a 0 解得a 2 原方程为x2 3x 2 0 解得x1 1 x2 2 故选a 2 2018湖南郴州 13 3分 已知关于x的一元二次方程x2 kx 6 0有一个根为 3 则方程的另一个根为 答案2 解析解法一 因为关于x的一元二次方程x2 kx 6 0有一个根为 3 所以将x 3代入原方程 求得k 1 解一元二次方程得另一个根为2 解法二 由一元二次方程根与系数的关系可得 两根之积为 6 原方程的一个根是 3 所以另一个根为2 3 2014湖南岳阳 10 4分 方程x2 3x 2 0的根是 答案1或2 解析将原式因式分解 得 x 1 x 2 0 解得x1 1 x2 2 4 2017湖南湘潭 22 8分 多项式乘法 x a x b x2 a b x ab 将该式从右到左使用 即可得到 十字相乘法 进行因式分解的公式 x2 a b x ab x a x b 示例 分解因式 x2 5x 6 x2 2 3 x 2 3 x 2 x 3 1 尝试 分解因式 x2 6x 8 x x 2 应用 请用上述方法解方程 x2 3x 4 0 解析 1 x2 6x 8 x2 2 4 x 2 4 x 2 x 4 2 x2 3x 4 0 x 1 x 4 0 则x 1 0或x 4 0 解得x 1或x 4 思路分析 1 类比题干中因式分解的方法求解即可 2 利用十字相乘法将左边因式分解后求解 考点二一元二次方程根的判别式 根与系数的关系 1 2018湖南娄底 5 3分 关于x的一元二次方程x2 k 3 x k 0的根的情况是 a 有两个不相等的实数根b 有两个相等的实数根c 无实数根d 不能确定 答案a由题意得 k 3 2 4 1 k k2 2k 9 k 1 2 8 k 1 2 0 k 1 2 8 0 即 0 方程有两个不相等的实数根 故选a 2 2017湖南怀化 7 4分 若x1 x2是一元二次方程x2 2x 3 0的两个根 则x1 x2的值是 a 2b 2c 4d 3 答案d x1 x2是一元二次方程x2 2x 3 0的两个根 x1 x2 3 故选d 3 2017湖南益阳 6 3分 关于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两根为x1 1 x2 1 那么下列结论一定成立的是 a b2 4ac 0b b2 4ac 0c b2 4ac 0d b2 4ac 0 答案a由题意可知关于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有两个不相等的实数根 所以b2 4ac 0 故选a 4 2018湖南常德 13 3分 若关于x的一元二次方程2x2 bx 3 0有两个不相等的实数根 则b的值可能是 只写一个 答案6 答案不唯一 解析 关于x的一元二次方程2x2 bx 3 0有两个不相等的实数根 b2 4 2 3 0 解得b2 故答案可以为6 答案不唯一 解题关键本题考查了根的判别式 牢记 当 0时 一元二次方程有两个不相等的实数根 是解题的关键 5 2016湖南岳阳 22 8分 已知关于x的方程x2 2m 1 x m m 1 0 1 求证 方程总有两个不相等的实数根 2 已知方程的一个根为x 0 求代数式 2m 1 2 3 m 3 m 7m 5的值 要求先化简再求值 解析 1 证明 2m 1 2 4m m 1 1 0 方程总有两个不相等的实数根 2 x 0是方程x2 2m 1 x m m 1 0的一个根 0 2m 1 0 m m 1 0 解得m 0或m 1 2m 1 2 3 m 3 m 7m 5 4m2 4m 1 9 m2 7m 5 3m2 3m 5 当m 0时 3m2 3m 5 3 02 3 0 5 5 当m 1时 3m2 3m 5 3 1 2 3 1 5 3 3 5 5 综上 2m 1 2 3 m 3 m 7m 5的值是5 评析本题主要考查一元二次方程根的判别式 一元二次方程的解法 属于中等难度题 6 2014湖南株洲 21 6分 已知关于x的一元二次方程 a c x2 2bx a c 0 其中a b c分别是 abc的三边长 1 如果x 1是方程的一个根 试判断 abc的形状 并说明理由 2 如果方程有两个相等的实数根 试判断 abc的形状 并说明理由 3 如果 abc是等边三角形 试求出这个一元二次方程的根 解析 1 abc是等腰三角形 理由 将x 1代入原方程得a c 2b a c 0 即可得a b 故 abc是等腰三角形 2 abc是直角三角形 理由 由题意可知 2b 2 4 a c a c 0 即4b2 4 a2 c2 0 可得b2 c2 a2 故 abc是直角三角形 3 因为 abc是等边三角形 所以a b c 0 故原方程可化为2ax2 2ax 0 解得x1 0 x2 1 考点三一元二次方程的应用 1 2016湖南衡阳 9 3分 随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展 家用汽车已越来越多地进入普通家庭 抽样调查显示 截止至2015年底某市汽车拥有量为16 9万辆 已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆 设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x 根据题意列方程得 a 10 1 x 2 16 9b 10 1 2x 16 9c 10 1 x 2 16 9d 10 1 2x 16 9 答案a2013年底该市汽车拥有量为10万辆 则2014年底该市汽车拥有量为10 1 x 万辆 2015年底该市汽车拥有量为10 1 x 2万辆 故可得方程10 1 x 2 16 9 故选a 思路分析理解增长率的含义 2015年为16 9万辆 是在2013年10万辆的基础上增长两年的结果 故可列方程为10 1 x 2 16 9 评析本题考查了一元二次方程的实际应用 熟悉相关的实际背景有助于解决这类问题 属容易题 2 2016湖南永州 24 10分 某种商品的标价为400元 件 经过两次降价后的价格为324元 件 并且两次降价的百分率相同 1 求该种商品每次降价的百分率 2 若该种商品进价为300元 件 两次降价共售出此种商品100件 为使两次降价销售的总利润不少于3210元 问第一次降价后至少要售出该种商品多少件 解析 1 设该种商品每次降价的百分率为x 依题意得400 1 x 2 324 解得x1 0 1 10 x2 1 9 不合题意 舍去 答 该种商品每次降价的百分率为10 2 设第一次降价后售出该种商品m件 则第二次降价后售出该种商品 100 m 件 第一次降价后的单件利润为400 1 10 300 60 元 第二次降价后的单件利润为324 300 24 元 依题意得60m 24 100 m 3210 解得m 22 5 m为整数 m的最小值为23 答 第一次降价后至少要售出该种商品23件 b组2014 2018年全国中考题组 考点一一元二次方程及其解法 1 2015山西 5 3分 我们解一元二次方程3x2 6x 0时 可以运用因式分解法 将此方程化为3x x 2 0 从而得到两个一元一次方程 3x 0或x 2 0 进而得到原方程的解为x1 0 x2 2 这种解法体现的数学思想是 a 转化思想b 函数思想c 数形结合思想d 公理化思想 答案a将高次方程问题转化为低次方程问题求解 将复杂问题转化为简单问题求解 将未知问题转化为已知问题求解 体现了转化思想 故选a 2 2015广西柳州 17 3分 若x 1是一元二次方程x2 2x m 0的一个根 则m的值为 答案 3 解析将x 1代入原方程得1 2 m 0 解得m 3 故答案为 3 评析本题主要考查的是方程的解 根 的定义 将方程的解 根 代入方程得到关于m的方程是解题的关键 考点二一元二次方程根的判别式 根与系数的关系 1 2017四川绵阳 7 3分 关于x的方程2x2 mx n 0的两个根是 2和1 则nm的值为 a 8b 8c 16d 16 答案c由一元二次方程根与系数的关系得解得m 2 n 4 故nm 4 2 16 故选c 2 2017甘肃兰州 6 4分 如果一元二次方程2x2 3x m 0有两个相等的实数根 那么实数m的取值范围为 a m b m c m d m 答案c因为一元二次方程2x2 3x m 0有两个相等的实数根 所以b2 4ac 9 8m 0 解得m 故选c 思路分析一元二次方程有两个相等的实数根 则判别式 0 列出关于m的方程 解方程即可 方法规律对于一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 当b2 4ac 0时 一元二次方程有两个不相等的实数根 当b2 4ac 0时 一元二次方程有两个相等的实数根 当b2 4ac 0时 一元二次方程没有实数根 3 2017内蒙古呼和浩特 5 3分 关于x的一元二次方程x2 a2 2a x a 1 0的两个实数根互为相反数 则a的值为 a 2b 0c 1d 2或0 答案b由一元二次方程根与系数的关系得x1 x2 a2 2a 又互为相反数的两数之和为0 a2 2a 0 解得a 0或2 当a 2时 原方程为x2 1 0 无解 当a 0时 原方程为x2 1 0 符合题意 故a 0 易错警示本题易忽视当a 2时 原方程无解这一情况 从而导致错误 4 2016广西桂林 10 3分 若关于x的一元二次方程 k 1 x2 4x 1 0有两个不相等的实数根 则k的取值范围是 a k5 答案b 关于x的一元二次方程 k 1 x2 4x 1 0有两个不相等的实数根 即解得k 5且k 1 故选b 5 2018江西 11 3分 一元二次方程x2 4x 2 0的两根为x1 x2 则 4x1 2x1x2的值为 答案2 解析 一元二次方程x2 4x 2 0的两根为x1 x2 4x1 2 x1x2 2 4x1 2x1x2 2 2 2 2 6 2018北京 20 5分 关于x的一元二次方程ax2 bx 1 0 1 当b a 2时 利用根的判别式判断方程根的情况 2 若方程有两个相等的实数根 写出一组满足条件的a b的值 并求此时方程的根 解析 1 依题意 得 a 2 2 4a a2 4 0 故方程有两个不相等的实数根 2 由题意可知 a 0 b2 4a 0 答案不唯一 如 当b 2 a 1时 方程为x2 2x 1 0 x 1 2 0 x1 x2 1 考点三一元二次方程的应用 1 2017甘肃兰州 10 4分 王叔叔从市场上买了一块长80cm 宽70cm的矩形铁皮 准备制作一个工具箱 如图 他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为xcm的正方形后 剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方体工具箱 根据题意可列方程为 a 80 x 70 x 3000b 80 70 4x2 3000c 80 2x 70 2x 3000d 80 70 4x2 70 80 x 3000 答案c长方体工具箱的底面是一个长为 80 2x cm 宽为 70 2x cm的矩形 由题意可得方程 80 2x 70 2x 3000 思路分析用含x的代数式分别表示出长方体底面的长和宽 然后根据 面积 长 宽 列方程 解题关键本题考查了一元二次方程的实际应用 解题的关键是找出题目中的相等关系 并能用含未知数的代数式表示相等关系中的相关量 2 2015辽宁铁岭 9 3分 某商品经过连续两次降价 销售单价由原来200元降到162元 设平均每次降价的百分率为x 根据题意可列方程为 a 200 1 x 2 162b 200 1 x 2 162c 162 1 x 2 200d 162 1 x 2 200 答案a由题意可列方程为200 1 x 2 162 故选a 评析此题考查一元二次方程的应用 基本的数量关系 商品原价 1 平均每次降价的百分率 2 现在的价格 3 2015内蒙古呼伦贝尔兴安盟 10 3分 学校要组织足球比赛 赛制为单循环形式 每两队之间赛一场 计划安排21场比较 应邀请多少个球队参赛 设邀请x个球队参赛 根据题意 下面所列方程正确的是 a x2 21b x x 1 21c x2 21d x x 1 21 答案b邀请x个球队 每个球队都要赛 x 1 场 但两队之间只比赛一场 由题意得x x 1 21 故选b c组教师专用题组 考点一一元二次方程及其解法 1 2015甘肃兰州 6 4分 一元二次方程x2 8x 1 0配方后可变形为 a x 4 2 17b x 4 2 15c x 4 2 17d x 4 2 15 答案cx2 8x 1 0变形得x2 8x 1 x2 8x 16 1 16 x 4 2 17 故选c 2 2015黑龙江大庆 16 3分 方程3 x 5 2 2 x 5 的根是 答案x1 5 x2 解析将原方程变形得3 x 5 2 2 x 5 0 分解因式得 x 5 3 x 5 2 0 可得x 5 0或3x 17 0 解得x1 5 x2 故答案为x1 5 x2 评析此题考查了解一元二次方程的方法 熟练掌握因式分解法是解本题的关键 考点二一元二次方程根的判别式 根与系数的关系 1 2018福建 10 4分 已知关于x的一元二次方程 a 1 x2 2bx a 1 0有两个相等的实数根 下列判断正确的是 a 1一定不是关于x的方程x2 bx a 0的根b 0一定不是关于x的方程x2 bx a 0的根c 1和 1都是关于x的方程x2 bx a 0的根d 1和 1不都是关于x的方程x2 bx a 0的根 答案d由 2b 2 4 a 1 2 0得b a 1 因为a 1 0 所以b 0 当b a 1 时 x 1是方程x2 bx a 0的根 a 1 0 a可以取0 故x 0可能是方程x2 bx a 0的根 当b a 1时 x 1是方程x2 bx a 0的根 因为b a 1 和b a 1不能同时成立 所以x 1和x 1不能同时为方程x2 bx a 0的根 故选d 2 2017江西 5 3分 已知一元二次方程2x2 5x 1 0的两个根为x1 x2 下列结论正确的是 a x1 x2 b x1 x2 1c x1 x2都是有理数d x1 x2都是正数 答案d根据一元二次方程根与系数的关系可得x1 x2 0 x1x2 0 则x1 0 x2 0 故选d 3 2017上海 2 4分 下列方程中 没有实数根的是 a x2 2x 0b x2 2x 1 0c x2 2x 1 0d x2 2x 2 0 答案da项 2 2 4 1 0 4 0 b项 2 2 4 1 1 8 0 c项 2 2 4 1 1 0 d项 2 2 4 1 2 4 0 d项中的方程没有实数根 故选d 思路分析对于一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 b2 4ac 当 0时 方程有两个实数根 当 0时 方程无实数根 所以应先算出各选项中方程的判别式 再进行判断 4 2017内蒙古包头 8 3分 若关于x的不等式x 1的解集为x 1 则关于x的一元二次方程x2 ax 1 0根的情况是 a 有两个相等的实数根b 有两个不相等的实数根c 无实数根d 无法确定 答案c解不等式得x 1 根据题意得 1 1 解得a 0 所以方程可化为x2 1 0 所以 4 0 所以一元二次方程无实数根 思路分析先解不等式 然后将解集与题目中的解集对照可求得a的值 从而可判断一元二次方程根的情况 5 2017河南 6 3分 一元二次方程2x2 5x 2 0的根的情况是 a 有两个相等的实数根b 有两个不相等的实数根c 只有一个实数根d 没有实数根 答案b 5 2 4 2 2 25 16 41 0 所以该一元二次方程有两个不相等的实数根 故选b 6 2015湖南株洲 8 3分 有两个一元二次方程m ax2 bx c 0和n cx2 bx a 0 其中a c 0 a c 下列四个结论中 错误的是 a 如果方程m有两个相等的实数根 那么方程n也有两个相等的实数根b 如果方程m的两根符号相同 那么方程n的两根符号也相同c 如果5是方程m的一个根 那么是方程n的一个根d 如果方程m和方程n有一个相同的根 那么这个根必是x 1 答案d如果方程m有两个相等的实数根 那么 b2 4ac 0 所以方程n也有两个相等的实数根 故a项不符合题意 如果方程m的两根符号相同 那么 b2 4ac 0 0 即 0 所以方程n的两根符号也相同 故b项不符合题意 如果5是方程m的一个根 那么25a 5b c 0 两边同除以25 得c b a 0 所以是方程n的一个根 故c项不符合题意 如果方程m和方程n有一个相同的根 那么ax2 bx c cx2 bx a 即 a c x2 a c 又由a c得x2 1 解得x 1 故d项符合题意 故选d 7 2015河北 12 2分 若关于x的方程x2 2x a 0不存在实数根 则a的取值范围是 a a1c a 1d a 1 答案b由题意知 4 4a1 故选b 8 2015湖南怀化 7 4分 设x1 x2是方程x2 5x 3 0的两个根 则 的值是 a 19b 25c 31d 30 答案c由题意知x1 x2 5 x1x2 3 则 x1 x2 2 2x1x2 5 2 2 3 31 故选c 思路分析由根与系数关系分别表示x1 x2 x1 x2的值 再将所求代数式恒等变形 解题关键将 恒等变形为 x1 x2 2 2x1x2 转化为两根之和与两根之积的表达式 9 2015湖南张家界 6 3分 若关于x的一元二次方程kx2 4x 3 0有实数根 则k的非负整数值是 a 1b 0 1c 1 2d 1 2 3 答案a由题意可得k 0且 4 2 4 3k 0 解得k 且k 0 所以k的非负整数值是1 故选a 思路分析由一元二次方程的定义及根的判别式分别列出关于k的不等式 求解确定k值 易错警示忽略方程为一元二次方程的隐含条件 二次项系数不为0 即k 0 求得k 错选b 10 2016湖南长沙 14 3分 若关于x的一元二次方程x2 4x m 0有两个不相等的实数根 则实数m的取值范围是 答案m 4 解析 一元二次方程x2 4x m 0有两个不相等的实数根 0 即b2 4ac 4 2 4 1 m 16 4m 0 解得m 4 11 2017江苏南京 12 2分 已知关于x的方程x2 px q 0的两根为 3和 1 则p q 答案4 3 解析因为方程x2 px q 0的两根为 3和 1 所以p 3 1 4 q 3 1 3 12 2016湖北黄石 12 3分 关于x的一元二次方程x2 2x 2m 1 0的两实数根之积为负 则实数m的取值范围是 答案m 解析设x1 x2为方程x2 2x 2m 1 0的两个实数根 由已知得即解得m 故答案为m 评析本题考查了根与系数的关系 根的判别式以及解一元一次不等式组 解题的关键是得出关于m的一元一次不等式组 本题属于基础题 难度不大 13 2015内蒙古赤峰 10 3分 若关于x的一元二次方程x2 a 5 x 8a 0的两个实数根分别为2和b 则ab 答案4 解析 关于x的一元二次方程x2 a 5 x 8a 0的两个实数根分别是2 b 由根与系数的关系 得解得 ab 1 4 4 故答案是4 14 2017北京 21 5分 关于x的一元二次方程x2 k 3 x 2k 2 0 1 求证 方程总有两个实数根 2 若方程有一个根小于1 求k的取值范围 解析 1 证明 依题意 得 k 3 2 4 2k 2 k 1 2 k 1 2 0 方程总有两个实数根 2 由求根公式 得x x1 2 x2 k 1 方程有一个根小于1 k 1 1 k 0 即k的取值范围是k 0 考点三一元二次方程的应用 1 2017浙江杭州 7 3分 某景点的参观人数逐年增加 据统计 2014年为10 8万人次 2016年为16 8万人次 设参观人次的年平均增长率为x 则 a 10 8 1 x 16 8b 16 8 1 x 10 8c 10 8 1 x 2 16 8d 10 8 1 x 1 x 2 16 8 答案c根据 2014年的人次 1 年平均增长率 2 2016年的人次 列方程得10 8 1 x 2 16 8 此题选c 解题关键确定等量关系是解决此类题目的关键 2 2015宁夏 7 3分 如图 某小区有一块长为18m 宽为6m的矩形空地 计划在其中修建两块相同的矩形绿地 它们的面积之和为60m2 两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道 若设人行通道的宽度为xm 则可以列出关于x的方程是 a x2 9x 8 0b x2 9x 8 0c x2 9x 8 0d 2x2 9x 8 0 答案c由题意得 18 3x 6 2x 60 化简得x2 9x 8 0 3 2017河北 26 12分 某厂按用户的月需求量x 件 完成一种产品的生产 其中x 0 每件的售价为18万元 每件的成本y 万元 是基础价与浮动价的和 其中基础价保持不变 浮动价与月需求量x 件 成反比 经市场调研发现 月需求量x与月份n n为整数 1 n 12 符合关系式x 2n2 2kn 9 k 3 k为常数 且得到了下表中的数据 1 求y与x满足的关系式 请说明一件产品的利润能否是12万元 2 求k 并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损 3 在这一年12个月中 若第m个月和第 m 1 个月的利润相差最大 求m 解析 1 由题意设y a 由表中数据 得解得 y 6 3分 由题意 若12 18 则 0 x 0 0 不可能 5分 2 将n 1 x 120代入x 2n2 2kn 9 k 3 得120 2 2k 9k 27 解得k 13 将n 2 x 100代入x 2n2 26n 144也符合 k 13 6分 由题意 得18 6 求得x 50 50 2n2 26n 144 即n2 13n 47 0 13 2 4 1 47 0 方程无实根 不存在 9分 3 第m个月的利润w x 18 y 18x x 12 x 50 24 m2 13m 47 第 m 1 个月的利润w 24 m 1 2 13 m 1 47 24 m2 11m 35 若w w w w 48 6 m m取最小1 w w 240最大 若w w w w 48 m 6 m 1 12 m 11 m取最大11 w w 240最大 m 1或11 12分 a组2016 2018年模拟 基础题组考点一一元二次方程及其解法 三年模拟 1 2018湖南衡阳三模 3 下列方程中 不是一元二次方程的是 a x 1 x 1b 4c 3x2 5 0d 2y y 1 4 答案b因为b中的方程是分式方程 故选b 解题关键本题考查一元二次方程的定义 判断一个方程是否是一元二次方程 首先要看是否是整式方程 然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2 2 2018湖南岳阳一模 12 方程3x x 1 2 x 1 的根为 答案x1 1 x2 解析 3x x 1 2 x 1 0 3x 2 x 1 0 解得x1 1 x2 易错警示易忽略x 1 0的情况 直接两边约去 x 1 解得原方程的根为 遗漏另一根x 1 3 2018湖南冷水滩4月模拟 12 已知关于x的一元二次方程2x2 3kx 4 0的一个根是1 则k 答案2 解析将x 1代入原方程得2 12 3k 1 4 0 解得k 2 4 2017湖南永州二模 12 已知关于x的一元二次方程2x2 3kx 4 0的一个根是1 则k 答案2 解析把x 1代入方程2x2 3kx 4 0中 得2 3k 4 0 解得k 2 5 2017湖南娄底模拟 17 若代数式x2 8x 12的值是21 则x的值是 答案9或 1 解析根据题意得x2 8x 12 21 整理得x2 8x 9 0 x 9 x 1 0 则x 9 0或x 1 0 所以x 9或 1 6 2017湖南长沙长郡教育集团一模 13 一元二次方程6x2 12x 0的解是 答案x1 0 x2 2 解析由6x2 12x 0 得6x x 2 0 解得x1 0 x2 2 7 2016湖南长沙一模 14 方程x2 x的根是 答案x1 0 x2 1 解析 x2 x x x 1 0 x 0或x 1 0 x1 0 x2 1 8 2016湖南株洲模拟 17 关于x的两个方程x2 x 2 0与 有一个解相同 则a 答案 5 解析解方程x2 x 2 0得x 2或x 1 把x 2和x 1分别代入方程 当x 2时 x 2 0 方程 无意义 当x 1时 得到 解得a 5 考点二一元二次方程根的判别式 根与系数的关系 1 2018湖南湘西一中一模 6 若关于x的一元二次方程 k 1 x2 2k 1 x k 0有两个不相等的实数根 则k的取值范围是 a k b k 且k 1c k d k 且k 0 答案b 关于x的一元二次方程 k 1 x2 2k 1 x k 0有两个不相等的实数根 2k 1 2 4 k 1 k 8k 1 0 且k 1 0 k的取值范围是k 且k 1 故选b 2 2018湖南永州东安模拟 7 已知关于x的一元二次方程mx2 2x 1 0有两个实数根 则m的取值范围是 a m 1b m 1c m 1且m 0d m 1且m 0 答案d 关于x的一元二次方程mx2 2x 1 0有两个实数根 解得m 1且m 0 思路分析根据二次项系数非零结合根的判别式 0即可得出关于m的一元一次不等式组 解之即可 易错警示忽略一元二次方程中二次项系数非零这一隐含条件 错选b 3 2017湖南长沙三模 9 若一元二次方程x2 2x m 0有实数根 则m的取值范围是 a m 1b m 1c m1 答案b 一元二次方程x2 2x m 0有实数根 4 4m 0 m 1 故选b 4 2017湖南长沙一模 8 关于x的方程x2 mx 1 0的根的情况是 a 有两个不相等的实数根b 有两个相等的实数根c 没有实数根d 不能确定 答案a由题得 m 2 4 1 1 m2 4 m2 0 m2 4 0 即 0 原方程有两个不相等的实数根 故选a 5 2016湖南株洲石峰模拟 8 若一元二次方程x2 2x m 1 0有实数根 则 a m的最小值是1b m的最小值是 1c m的最大值是0d m的最大值是2 答案c 一元二次方程x2 2x m 1 0有实数根 22 4 m 1 0 解得m 0 故选c 6 2016湖南永州一模 12 已知一元二次方程x2 2x 5 0的两根为x1 x2 则x1 x2 答案 2 解析由根与系数的关系知x1 x2 2 7 2018湖南湘西一中模拟 20 关于x的一元二次方程x2 3x m 1 0的两个实数根分别为x1 x2 1 求m的取值范围 2 若3 x1 x2 x1x2 10 0 求m的值 解析 1 关于x的一元二次方程x2 3x m 1 0有两个实数根 3 2 4 m 1 13 4m 0 解得m 即m的取值范围为m 2 由题意得x1 x2 3 x1x2 m 1 3 x1 x2 x1x2 10 3 3 m 1 10 0 解得m 0 当3 x1 x2 x1x2 10 0时 m的值为0 8 2016湖南湘潭二模 已知关于x的一元二次方程x2 2x k 0有两个不相等的实数根 1 求k的取值范围 2 当k取最大整数值时 求该方程的解 解析 1 关于x的一元二次方程x2 2x k 0有两个不相等的实数根 22 4k 0 解得k 1 2 k 1 符合条件的最大整数k 0 此时方程为x2 2x 0 x x 2 0 x1 0 x2 2 考点三一元二次方程的应用 1 2018湖南永州冷水滩一模 11 中国古代数学家杨辉的 田亩比类乘除捷法 中有这么一道题 直田积八百六十四步 只云长阔共六十步 问长多阔几何 意思是 一块矩形田地的面积为864平方步 只知道它的长与宽共60步 问它的长比宽多多少步 经过计算 你的结论是长比宽多 a 12步b 24步c 36步d 48步 答案a设矩形田地的长为x x 30 步 则宽为 60 x 步 根据题意得x 60 x 864 整理得x2 60 x 864 0 解得x 36或x 24 舍去 x 60 x 12 故选a 思路分析设矩形田地的长为x x 30 步 则宽为 60 x 步 由矩形的面积 长 宽 即可得出关于x的一元二次方程 解之即可得出x的值 将其代入x 60 x 中 即可得出结论 2 2017湖南娄底一模 6 某种品牌运动服经过两次降价 每件零售价由560元降为315元 已知两次降价的百分率相同 求每次降价的百分率 设每次降价的百分率为x 下面所列方程中正确的是 a 560 1 x 2 315b 560 1 x 2 315c 560 1 2x 2 315d 560 1 x2 315 答案b第一次降价后的售价是560 1 x 元 第二次降价后的售价是560 1 x 2元 故选b 3 2016湖南岳阳十二校联考 学校去年年底的绿化面积为5000平方米 预计到明年年底增加到7200平方米 求这两年的年平均增长率 解析设这两年的年平均增长率为x 根据题意得 5000 1 x 2 7200 即 1 x 2 1 44 开方得 1 x 1 2或1 x 1 2 解得x 0 2 20 或x 2 2 舍去 答 这两年的年平均增长率为20 b组2016 2018年模拟 提升题组 时间 20分钟分值 50分 一 选择题 每小题3分 共15分 1 2018湖南永州冷水滩一模 4 若关于x的一元二次方程x2 k 3 x 2 0的一个根是 1 则另一个根是 a 1b 0c 2d 2 答案d设原方程的另一个根是t 根据题意得 1 t 2 解得t 2 即方程的另一个根是 2 故选d 2 2017湖南娄底3月模拟 11 关于x的方程x2 ax 2a 0的两根的平方和是5 则a的值是 a 1或5b 1c 5d 1 答案d设原方程的两根分别为x1 x2 则x1 x2 a x1x2 2a 5 x1 x2 2 2x1x2 5 a2 4a 5 0 a1 5 a2 1 又由题意知 a2 8a 0 即a 8或a 0 a 1 故选d 3 2017湖南娄底3月模拟 2 关于x的一元二次方程 a 1 x2 x a 1 0的一个根是0 则实数a的值为 a 1b 0c 1d 1或1 答案a把x 0代入原方程得 a 1 0 a 1 又由题知a 1 0 即a 1 a 1 故选a 思路分析先把x 0代入原方程求出a的值 然后根据二次项系数不能为0 把a 1舍去 易错警示忽略一元二次方程的二次项系数不能为0的条件 错选d 4 2016湖南怀化模拟 10 下列关于方程x2 x 1 0的说法中正确的是 a 该方程有两个相等的实数根b 该方程有两个不相等的实数根 且它们互为相反数c 该方程有一根为d 该方程有一根为 答案da项 12 4 1 0 方程x2 x 1 0有两个不相等的实数根 故本选项错误 b项 方程两根的和为 1 它们不互为相反数 故本选项错误 c项 把x 代入x2 x 1 0 等号左右两边不相等 故本选项错误 d项 把x 代入x2 x 1 0 等号左右两边相等 故本选项正确 故选d 5 2016湖南常德模拟 7 某等腰三角形的边长分别为a b 2 且a b是关于x的一元二次方程x2 6x n 1 0的两根 则n的值为 a 9b 10c 9或10d 8或10 答案b 该三角形是等腰三角形 当a 2 或b 2时 a b是关于x的一元二次方程x2 6x n 1 0的两根 把x 2代入x2 6x n 1 0得 22 6 2 n 1 0 解得n 9 当n 9时 方程的两根是2和4 而边长分别为2 4 2的三边不能构成三角形 故n 9不合题意 当a b时 方程x2 6x n 1 0有两个相等的实数根 6 2 4 n 1 0 解得n 10 当n 10时 方程的两根是3和3 边长分别为3 3 2的三边能构成三角形 故n 10符合题意 故选b 思路分析先确定等腰三角形中a b的值 再由a b为方程的根 确定n的值 解题关键分类讨论等腰三角形的腰的情况并结合根与系数的关系求未知字母的值 二 填空题 每小题4分 共8分 6 2018湖南湘潭模拟 12 已知关于x的方程x2 6x k 0的两个根分别是x1