中考数学总复习 第三章 变量与函数 3.4 二次函数（试卷部分）课件.ppt

第三章变量与函数 3 4二次函数 中考数学 浙江专用 1 2018杭州 9 3分 四位同学在研究函数y x2 bx c b c是常数 甲发现当x 1时 函数有最小值 乙发现 1是方程x2 bx c 0的一个根 丙发现函数的最小值为3 丁发现当x 2时 y 4 已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的 则该同学是 a 甲b 乙c 丙d 丁 考点一二次函数解析式 a组2014 2018年浙江中考题组 五年中考 答案b假设甲和丙发现的结论正确 则解得 该函数的解析式为y x2 2x 4 若 1是方程x2 bx c 0的一个根 则x 1是函数y x2 bx c的一个零点 当x 1时 y x2 2x 4 7 0 乙发现的结论不正确 当x 2时 y x2 2x 4 4 丁发现的结论正确 四位同学中只有一位发现的结论是错误的 假设成立 故选b 2 2017宁波 10 4分 抛物线y x2 2x m2 2 m是常数 的顶点在 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 答案a y x2 2x m2 2 y x 1 2 m2 1 抛物线的顶点坐标为 1 m2 1 又1 0 m2 1 0 顶点在第一象限 故选a 思路分析根据配方法得出顶点坐标 从而判断出顶点所在的象限 3 2017绍兴 8 4分 矩形abcd的两条对称轴为坐标轴 点a的坐标为 2 1 一张透明纸上画有一个点和一条抛物线 平移透明纸 使纸上的点与点a重合 此时抛物线的函数表达式为y x2 再次平移透明纸 使纸上的点与点c重合 则此时抛物线的函数表达式变为 a y x2 8x 14b y x2 8x 14c y x2 4x 3d y x2 4x 3 答案a如图 a 2 1 则可得c 2 1 一点从a 2 1 平移到c 2 1 需要向左平移4个单位 向下平移2个单位 则所求表达式为y x 4 2 2 x2 8x 14 故选a 4 2015宁波 11 4分 二次函数y a x 4 2 4 a 0 的图象在2 x 3这一段位于x轴的下方 在6 x 7这一段位于x轴的上方 则a的值为 a 1b 1c 2d 2 答案a因为函数y a x 4 2 4 a 0 图象的对称轴是x 4 又因为在2 x 3时函数图象在x轴下方 所以在5 x 6时函数图象也在x轴下方 又因为在6 x 7时函数图象在x轴上方 所以函数图象必过点 6 0 所以4a 4 0 即a 1 解题关键巧妙利用二次函数图象的对称性是解决此题的关键 5 2016嘉兴 14 5分 把抛物线y x2先向右平移2个单位 再向上平移3个单位 平移后抛物线的表达式是 答案y x 2 2 3 解析y x2y x 2 2y x 2 2 3 评析本题考查了二次函数图象的平移 二次函数平移的规律为 上加下减 左加右减 6 2015嘉兴 舟山 12 4分 把二次函数y x2 12x化为形如y a x h 2 k的形式 答案y x 6 2 36 解析y x2 12x x2 12x 36 36 x 6 2 36 7 2015湖州 15 4分 如图 已知抛物线c1 y a1x2 b1x c1和c2 y a2x2 b2x c2都经过原点 顶点分别为a b 与x轴的另一交点分别为m n 如果点a与点b 点m与点n都关于原点o中心对称 就称抛物线c1和c2为姐妹抛物线 请你写出一对姐妹抛物线c1和c2 使四边形anbm恰好是矩形 你所写的一对抛物线的函数表达式是 答案y x2 2x y x2 2x 答案不唯一 解析连接ab 根据姐妹抛物线的定义 可得姐妹抛物线所对应的二次函数的二次项的系数互为相反数 一次项系数相等且不等于零 常数项都是零 设抛物线c1的解析式为y ax2 bx 根据四边形anbm恰好是矩形可得oa om 又oa ma aom是等边三角形 取om 2 则点a的坐标是 1 点m的坐标为 2 0 可得c1的解析式为y x2 2x 则抛物线c2的解析式为y x2 2x 故答案可为y x2 2x y x2 2x 8 2014杭州 15 4分 设抛物线y ax2 bx c a 0 过a 0 2 b 4 3 c三点 其中点c在直线x 2上 且点c到抛物线的对称轴的距离等于1 则抛物线的函数解析式为 答案y x2 x 2或y x2 x 2 解析把a 0 2 b 4 3 两点的坐标代入y ax2 bx c a 0 可得c 2 16a 4b 1 由点c到抛物线对称轴的距离等于1 可知抛物线的对称轴是直线x 1或x 3 即 1或 3 由得由得故所求解析式为y x2 x 2或y x2 x 2 9 2018湖州 19 6分 已知抛物线y ax2 bx 3 a 0 经过点 1 0 3 0 求a b的值 解析把点 1 0 3 0 的坐标代入y ax2 bx 3 得解得即a的值为1 b的值为 2 10 2016金华 23 10分 在平面直角坐标系中 点o为原点 平行于x轴的直线与抛物线l y ax2相交于a b两点 点b在第一象限 点d在ab的延长线上 1 已知a 1 点b的纵坐标为2 如图1 向右平移抛物线l使该抛物线过点b 与ab的延长线交于点c 求ac的长 如图2 若bd ab 过点b d的抛物线l2的顶点m在x轴上 求该抛物线的函数表达式 2 如图3 若bd ab 过三点o b d的抛物线l3的顶点为p 对应函数的二次项系数为a3 过点p作pe x轴交抛物线l于e f两点 求的值 并直接写出的值 解析 1 对于二次函数y x2 当y 2时 2 x2 解得x1 x2 ab 2 平移得到的抛物线l1经过点b bc ab 2 ac 4 如图 记抛物线l2的对称轴与ad相交于点n 根据抛物线的轴对称性 得bn db om 设抛物线l2的函数表达式为y a2 由 及已知得 点b的坐标为 2 2 a2 解得a2 4 抛物线l2的函数表达式为y 4 即y 4x2 12x 18 2 如图 记抛物线l3与x轴交于点g 其对称轴与x轴交于点q 过点b作bk x轴于点k 设ok t 则bd ab 2t 点b的坐标为 t at2 根据抛物线的轴对称性 得oq 2t og 2oq 4t 则抛物线l3的函数表达式为y a3x x 4t 该抛物线过点b t at2 at2 a3t t 4t 又 t 0 11 2015绍兴 21 10分 如果抛物线y ax2 bx c过定点m 1 1 则称此抛物线为定点抛物线 1 张老师在投影屏幕上出示了一个题目 请你写出一条定点抛物线的一个解析式 小敏写出了一个答案 y 2x2 3x 4 请你写出一个不同于小敏的答案 2 张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题 已知定点抛物线y x2 2bx c 1 求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式 请你解答 解析 1 不唯一 如y x2 2x 2 2 定点抛物线的顶点坐标为 b c b2 1 且 1 2b c 1 1 c 1 2b 顶点纵坐标c b2 1 2 2b b2 b 1 2 1 当b 1时 c b2 1最小 即抛物线顶点纵坐标的值最小 此时c 1 抛物线的解析式为y x2 2x 方法点拨解决新定义题目 一定要先审清题意 1 2018湖州 10 3分 在平面直角坐标系xoy中 已知点m n的坐标分别为 1 2 2 1 若抛物线y ax2 x 2 a 0 与线段mn有两个不同的交点 则a的取值范围是 a a 1或 ad a 1或a 考点二二次函数的图象与性质 答案a抛物线y ax2 x 2恒过 0 2 点 且对称轴为直线x 易得直线mn的解析式为y x 由消去y得3ax2 2x 1 0 0 a0时 若抛物线与线段mn有两个交点 则 0 且当x 2时 y 1 即4a 2 2 1 即a 综上所述 a 1或 a 故选a 2 2017金华 6 4分 对于二次函数y x 1 2 2的图象与性质 下列说法正确的是 a 对称轴是直线x 1 最小值是2b 对称轴是直线x 1 最大值是2c 对称轴是直线x 1 最小值是2d 对称轴是直线x 1 最大值是2 答案b y x 1 2 2 抛物线开口向下 顶点坐标为 1 2 对称轴为直线x 1 当x 1时 y有最大值2 故选b 3 2017丽水 8 3分 将函数y x2的图象用下列方法平移后 所得的图象不经过点a 1 4 的方法是 a 向左平移1个单位b 向右平移3个单位c 向上平移3个单位d 向下平移1个单位 答案da 平移后 得y x 1 2 图象经过a点 故a不符合题意 b 平移后 得y x 3 2 图象经过a点 故b不符合题意 c 平移后 得y x2 3 图象经过a点 故c不符合题意 d 平移后 得y x2 1 图象不经过a点 故d符合题意 故选d 关键提示本题主要考查了函数图象的平移 解题的关键是熟练掌握平移的规律 左加右减 上加下减 4 2017杭州 9 3分 设直线x 1是函数y ax2 bx c a b c是实数 且a1 则 m 1 a b 0b 若m 1 则 m 1 a b0d 若m 1 则 m 1 a b 0 答案c 直线x 1是函数y ax2 bx c aam2 bm c 即a m2 1 b m 1 0 当m 1时 m 1 a b 0 此题选c 思路分析由a 0和图象的对称轴可以确定函数的最大值 其他的函数值都比这个值小 由此可以得到一个不等式 进而求解 5 2016宁波 11 4分 已知函数y ax2 2ax 1 a是常数 a 0 下列结论正确的是 a 当a 1时 函数图象过点 1 1 b 当a 2时 函数图象与x轴没有交点c 若a 0 则当x 1时 y随x的增大而减小d 若a 0 则当x 1时 y随x的增大而增大 答案d选项a 当a 1时 y x2 2x 1 当x 1时 y 2 即函数图象不经过点 1 1 错误 选项b 当a 2时 y 2x2 4x 1 42 4 2 1 8 0 即函数图象与x轴有两个交点 错误 选项c 二次函数y ax2 2ax 1图象的对称轴为x 1 若a 0 则抛物线开口向上 当x 1时 y随x的增大而增大 错误 选项d 二次函数y ax2 2ax 1图象的对称轴为x 1 若a 0 则抛物线开口向下 当x 1时 y随x的增大而增大 正确 故选d 方法总结二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴交点的个数可以利用判别式 b2 4ac来判断 当 0时 图象与x轴有两个交点 当 0时 图象与x轴有一个交点 当 0时 图象与x轴没有交点 二次函数的增减性要利用图象开口方向和对称轴的位置来确定 6 2016绍兴 9 4分 抛物线y x2 bx c 其中b c是常数 过点a 2 6 且抛物线的对称轴与线段y 0 1 x 3 有交点 则c的值不可能是 a 4b 6c 8d 10 答案a 抛物线过点a 2 6 4 2b c 6 b 抛物线的对称轴与线段y 0 1 x 3 有交点 1 3 6 b 2 即 6 2 解得6 c 14 则c的值不可能是4 故选a 7 2016湖州 9 3分 定义 若点p a b 在函数y 的图象上 将以a为二次项系数 b为一次项系数构造的二次函数y ax2 bx称为函数y 的一个 派生函数 例如 点在函数y 的图象上 则函数y 2x2 x称为函数y 的一个 派生函数 现给出以下两个命题 1 存在函数y 的一个 派生函数 其图象的对称轴在y轴的右侧 2 函数y 的所有 派生函数 的图象都经过同一点 下列判断正确的是 a 命题 1 与命题 2 都是真命题b 命题 1 与命题 2 都是假命题c 命题 1 是假命题 命题 2 是真命题d 命题 1 是真命题 命题 2 是假命题 答案c若点p a b 在y 的图象上 则ab 1 0 0 又二次函数y ax2 bx的图象的对称轴为x 所以y 的 派生函数 的图象的对称轴只能在y轴左侧 故命题 1 是假命题 当x 0时 y ax2 bx 0 函数y 的所有 派生函数 的图象都经过同一点 0 0 命题 2 是真命题 故选c 8 2016嘉兴 10 4分 已知二次函数y x 1 2 5 当m x n且mn 0时 y的最小值为2m 最大值为2n 则m n的值为 a b 2c d 答案d由mn 0得 m n异号 结合m x n 得m为负数 n为正数 二次函数y x 1 2 5的图象的开口向下 对称轴为x 1 y最大 5 对于m x n 当0 n 1时 在x n处y取最大值2n 即2n n 1 2 5 解这个方程得n 2 不满足0 n 1 舍去 当n 1时 y最大 5 2n 即n 2 5 y最小 m 1 2 5 2m 即m1 2 m2 2 不合题意 舍去 m n 2 2 5 故选d 关键提示本题考查了二次函数的图象 性质及分类讨论的思想 按照题意 得出m n的取值范围 并按n的取值分类讨论是解决本题的关键 9 2016温州 10 4分 如图 在 abc中 acb 90 ac 4 bc 2 p是ab边上一动点 pd ac于点d 点e在p的右侧 且pe 1 连接ce p从点a出发 沿ab方向运动 当e到达点b时 p停止运动 在整个运动过程中 图中阴影部分面积s1 s2的大小变化情况是 a 一直减小b 一直不变c 先减小后增大d 先增大后减小 答案c作cf ab于f 在rt abc中 acb 90 bc 2 ac 4 ab 2 cf 易知 apd abc 设pd x 则ad 2x ap x be 2 1 x s1 x2 s2 2 1 x 4 2x s1 s2 x2 2x 4 x 1 2 3 根据二次函数的图象及性质可知 当x1时 s1 s2随x增大而增大 故选c 关键提示这是一道关于面积变化的题目 需设立变量表示出面积 进而利用相关函数性质解题 10 2015杭州 10 3分 设二次函数y1 a x x1 x x2 a 0 x1 x2 的图象与一次函数y2 dx e d 0 的图象交于点 x1 0 若函数y y1 y2的图象与x轴仅有一个交点 则 a a x1 x2 db a x2 x1 dc a x1 x2 2 dd a x1 x2 2 d 答案b 一次函数y2 dx e d 0 的图象经过点 x1 0 0 dx1 e e dx1 y2 dx dx1 d x x1 y y1 y2 a x x1 x x2 d x x1 x x1 a x x2 d 又 二次函数y1 a x x1 x x2 a 0 x1 x2 的图象与一次函数y2 dx e d 0 的图象交于点 x1 0 函数y y1 y2的图象与x轴仅有一个交点 函数y y1 y2是二次函数 且它的顶点在x轴上 即y y1 y2 a x x1 2 x x1 a x x2 d a x x1 2 a x x2 d a x x1 整理得a x2 x1 d 故选b 11 2015嘉兴 舟山 10 3分 如图 抛物线y x2 2x m 1交x轴于点a a 0 和b b 0 交y轴于点c 抛物线的顶点为d 下列四个命题 当x 0时 y 0 若a 1 则b 4 抛物线上有两点p x1 y1 和q x2 y2 若x12 则y1 y2 点c关于抛物线对称轴的对称点为e 点g f分别在x轴和y轴上 当m 2时 四边形edfg周长的最小值为6 其中真命题的序号是 a b c d 答案cy x2 2x m 1 x 1 2 m 2 可知抛物线对称轴为直线x 1 当x b时 y2 且x1y2 故 正确 当m 2时 y x 1 2 4 d 1 4 e 2 3 又g f分别在x轴和y轴上 由轴对称的性质可得 d 1 4 关于y轴的对称点为d 1 4 e 2 3 关于x轴的对称轴为点e 2 3 连接d e 与x轴交于点g 与y轴交于点f 此时四边形edfg的周长最小 d 1 4 e 2 3 d e 又de 四边形edfg的周长的最小值 d e de 故 错 故选c 关键提示此题考查了二次函数的图象和性质及轴对称的性质 确定最短周长的问题中找到符合条件的点g f是关键 12 2014嘉兴 10 4分 当 2 x 1时 二次函数y x m 2 m2 1可取到的最大值为4 则实数m的值为 a b 或 c 2或 d 2或 或 答案c由已知得 二次函数图象的对称轴为直线x m 若m1 则当x 1时 y取最大值 则 1 m 2 m2 1 4 解得m 2 综上所述 m的值为2或 故选c 13 2014宁波 12 4分 已知点a a 2b 2 4ab 在抛物线y x2 4x 10上 则点a关于抛物线对称轴的对称点坐标为 a 3 7 b 1 7 c 4 10 d 0 10 答案d 点a a 2b 2 4ab 在抛物线y x2 4x 10上 a 2b 2 4 a 2b 10 2 4ab a2 4ab 4b2 4a 8b 10 2 4ab a 2 2 4 b 1 2 0 a 2 0 b 1 0 解得a 2 b 1 a 2b 2 2 1 4 2 4ab 2 4 2 1 10 点a的坐标为 4 10 对称轴为直线x 2 点a关于抛物线对称轴的对称点坐标为 0 10 故选d 14 2018湖州 15 4分 如图 在平面直角坐标系xoy中 已知抛物线y ax2 bx a 0 的顶点为c 与x轴的正半轴交于点a 它的对称轴与抛物线y ax2 a 0 交于点b 若四边形aboc是正方形 则b的值是 答案 2 解析 四边形aboc是正方形 ao与bc相互垂直平分且相等 抛物线y ax2 bx的对称轴为直线x 点b的坐标为 把b的坐标代入y ax2中 得 a 即b2 2b 0 b 0 b 2 故b 2 15 2015衢州 16 4分 如图 已知直线y x 3分别交x轴 y轴于点a b p是抛物线y x2 2x 5的一个动点 其横坐标为a 过点p且平行于y轴的直线交直线y x 3于点q 则当pq bq时 a的值是 答案 1或4或4 2或4 2 解析p是抛物线上一动点 q在直线y x 3上 当pq bq时 p q所在位置不唯一 有如图所示4种情况 设点p的坐标为 则点q为 又易知点b为 0 3 bq a pq pq bq a 即 a2 a 2 a或 a2 a 2 a 整理得a2 3a 4 0或a2 8a 4 0 解得a1 1 a2 4 a3 4 2 a4 4 2 思路分析设出点p的坐标 进而表示出pq bq的长度 然后根据pq bq列方程求解 16 2018温州 21 10分 如图 抛物线y ax2 bx a 0 交x轴正半轴于点a 直线y 2x经过抛物线的顶点m 已知该抛物线的对称轴为直线x 2 交x轴于点b 1 求a b的值 2 p是第一象限内抛物线上的一点 且在对称轴的右侧 连接op bp 设点p的横坐标为m obp的面积为s 记k 求k关于m的函数表达式及k的范围 解析 1 将x 2代入y 2x 得y 4 m 2 4 由题意得 2 如图 过点p作ph x轴于点h 点p的横坐标为m 抛物线的解析式为y x2 4x ph m2 4m b 2 0 ob 2 s ob ph 2 m2 4m m2 4m k m 4 k随着m的增大而减小 易得a 4 0 又m 2 4 2 m 4 0 k 2 思路分析 1 根据已知求得点m 2 4 由点m为抛物线的顶点列出关于a b的方程组 求解即 2 作ph x轴于h 根据三角形的面积公式求得s m2 4m 根据k 可得k关于m的函数解析式 再结合点p的位置得出m的范围 利用一次函数的性质可得结果 方法总结本题主要考查抛物线的性质 解题的关键是用待定系数法求抛物线解析式及一次函数的性质的应用 17 2018金华 22 10分 如图 抛物线y ax2 bx a 0 过点e 10 0 矩形abcd的边ab在线段oe上 点a在点b的左边 点c d在抛物线上 设a t 0 当t 2时 ad 4 1 求抛物线的函数表达式 2 当t为何值时 矩形abcd的周长有最大值 最大值是多少 3 保持t 2时的矩形abcd不动 向右平移抛物线 当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点g h 且直线gh平分矩形的面积时 求抛物线平移的距离 解析 1 设抛物线的函数表达式为y ax x 10 当t 2时 ad 4 点d的坐标为 2 4 4 a 2 2 10 解得a 抛物线的函数表达式为y x2 x 2 由抛物线的对称性得be oa t ab 10 2t 当x t时 ad t2 t 矩形abcd的周长 2 ab ad 2 t 1 2 0 当t 1时 矩形abcd的周长有最大值 最大值是 3 当t 2时 点a b c d的坐标分别为 2 0 8 0 8 4 2 4 矩形abcd对角线的交点p的坐标为 5 2 当平移后的抛物线过点a时 点h的坐标为 4 4 此时gh不能将矩形面积平分 当平移后的抛物线过点c时 点g的坐标为 6 0 此时gh也不能将矩形面积平分 当g h中有一点落在线段ad或bc上时 直线gh不可能将矩形面积平分 当点g h分别落在线段ab dc上时 直线gh过点p 必平分矩形abcd的面积 ab cd 线段od平移后得到线段gh 线段od的中点q平移后的对应点是p 在 obd中 pq是中位线 pq ob 4 抛物线向右平移的距离是4个单位 18 2017杭州 22 12分 在平面直角坐标系中 设二次函数y1 x a x a 1 其中a 0 1 若函数y1的图象经过点 1 2 求函数y1的表达式 2 若一次函数y2 ax b的图象与y1的图象经过x轴上同一点 探究实数a b满足的关系式 3 已知点p x0 m 和q 1 n 在函数y1的图象上 若m n 求x0的取值范围 解析 1 由题意知 1 a 1 a 1 2 即a a 1 2 因为y1 x2 x a a 1 所以y1 x2 x 2 2 由题意知 函数y1的图象与x轴交于点 a 0 和 a 1 0 当y2的图象过点 a 0 时 得a2 b 0 当y2的图象过点 a 1 0 时 得a2 a b 0 3 由题意知 函数y1的图象的对称轴为直线x 所以点q 1 n 与点 0 n 关于直线x 对称 又因为函数y1的图象开口向上 所以当m n时 0 x0 1 关键提示解决第 3 问需确定函数y1图象的对称轴和开口方向 19 2015温州 23 12分 如图 抛物线y x2 6x交x轴正半轴于点a 顶点为m 对称轴mb交x轴于点b 过点c 2 0 作射线cd交mb于点d d在x轴上方 oe cd交mb于点e ef x轴交cd于点f 作直线mf 1 求点a m的坐标 2 当bd为何值时 点f恰好落在该抛物线上 3 当bd 1时 求直线mf的解析式 并判断点a是否落在该直线上 延长oe交fm于点g 取cf中点p 连接pg fpg 四边形degp 四边形ocde的面积分别记为s1 s2 s3 则s1 s2 s3 解析 1 令y 0 则 x2 6x 0 解得x1 0 x2 6 a 6 0 对称轴是直线x 3 m 3 9 2 oe cf oc ef c 2 0 ef oc 2 bc 1 点f的横坐标为5 点f落在抛物线y x2 6x上 f 5 5 be 5 de 2bd be 3bd bd 3 当bd 1时 be 3 f 5 3 设mf的解析式为y kx b 将m 3 9 f 5 3 代入 得解得 y 3x 18 当x 6时 y 3 6 18 0 点a落在直线mf上 3 4 8 评析本题主要考查二次函数与几何问题的综合 主要涉及二次函数图象与坐标轴的交点坐标 点是否在抛物线上 函数与方程综合等知识点 20 2014绍兴 22 12分 如果二次函数的二次项系数为1 则此二次函数可表示为y x2 px q 我们称 p q 为此函数的特征数 如函数y x2 2x 3的特征数是 2 3 1 若一个函数的特征数为 2 1 求此函数图象的顶点坐标 2 探究下列问题 若一个函数的特征数为 4 1 将此函数的图象先向右平移1个单位 再向上平移1个单位 求得到的图象对应的函数的特征数 若一个函数的特征数为 2 3 问此函数的图象经过怎样的平移 才能使得到的图象对应的函数的特征数为 3 4 解析 1 由题意得特征数为 2 1 的函数解析式为y x2 2x 1 x 1 2 函数图象的顶点坐标为 1 0 2 特征数为 4 1 的函数为y x2 4x 1 即y x 2 2 5 函数图象先向右平移1个单位 再向上平移1个单位 平移后的解析式为y x 2 1 2 5 1 即y x2 2x 3 特征数为 2 3 特征数为 2 3 的函数为y x2 2x 3 即y x 1 2 2 特征数为 3 4 的函数为y x2 3x 4 即y 所求平移为先向左平移个单位 再向下平移个单位 评析本题是新定义下的二次函数图象的平移问题 考查了学生的阅读和理解能力 难度适中 1 2015金华 8 3分 图2是图1中拱形大桥的示意图 桥拱与桥面的交点为o b 以点o为原点 水平直线ob为x轴 建立平面直角坐标系 桥拱可以近似看成抛物线y x 80 2 16 桥拱与桥墩ac的交点c恰好在水面 有ac x轴 若oa 10米 则桥面离水面的高度ac为 a 16米b 米c 16米d 米 考点三二次函数综合 答案b把x 10代入y x 80 2 16得 y 故选b 2 2016台州 16 5分 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数 小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球 假设两个小球离手时离地高度相同 在各自抛出后1 1秒时到达相同的最大离地高度 第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同 则t 答案1 6 解析各自抛出后1 1秒时到达相同的最大离地高度 设这个最大高度为h 又设小球抛出后时间为x秒 高度为y 则y a x 1 1 2 h 由题意 得a t 1 1 2 h a t 1 1 1 2 h 解得t 1 6 故第一个小球抛出后1 6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同 故填1 6 方法指导先构建二次函数 再利用方程思想解决问题 3 2017温州 16 5分 小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头 如图1 完全开启后 水流路线呈抛物线 把手端点a 出水口b和落水点c恰好在同一直线上 点a到出水管bd的距离为12cm 洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示 现用高10 2cm的圆柱形水杯去接水 若水流所在抛物线经过点d和杯子上底面中心e 则点e到洗手盆内侧的距离eh为cm 答案24 8 解析如图所示 建立直角坐标系 过a作ag oc于g 交bd于q 过m作mp ag于p 由题可得 aq 12 pq md 6 故ap 6 ag 36 在rt apm中 mp 8 故dq og mp 8 bq 12 8 4 由bq cg可得 abq acg 即 cg 12 oc 12 8 20 c 20 0 水流所在抛物线经过点d 0 24 可设抛物线为y ax2 bx 24 把c 20 0 b 12 24 代入抛物线解析式 可得解得 抛物线的解析式为y x2 x 24 又 点e的纵坐标为10 2 令y 10 2 则10 2 x2 x 24 解得x1 6 8 x2 6 8 舍去 点e的横坐标为6 8 又 on 30 eh 30 6 8 24 8 即点e到洗手盆内侧的距离eh为 24 8 cm 思路分析先建立合适的平面直角坐标系 再作辅助线构造相似三角形 由此可求得c点坐标 进而结合d b坐标确定抛物线的表达式 从而得到点e的坐标 求得eh 4 2016衢州 15 4分 某农场拟建三间长方形种牛饲养室 饲养室的一面靠墙 墙长50m 中间用两道墙隔开 如图 已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m 则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为m2 答案144 解析如图 设总占地面积为sm2 cd的长度为xm 由题意知ab cd ef gh xm bh 48 4x m 易知0 x 12 s ab bh x 48 4x 4 x 6 2 144 当x 6时 s取得最大值 最大值为144 方法点拨解决此类题时 需根据题意建立函数关系 进而利用相应函数性质求解 5 2018杭州 22 12分 设二次函数y ax2 bx a b a b是常数 a 0 1 判断该二次函数图象与x轴的交点的个数 说明理由 2 若该二次函数图象经过a 1 4 b 0 1 c 1 1 三个点中的其中两个点 求该二次函数的表达式 3 若a b0 在该二次函数图象上 求证 a 0 解析 1 该二次函数图象与x轴的交点有两个或一个 理由如下 由题意得 b2 4 a a b b2 4ab 4a2 2a b 2 0 该二次函数图象与x轴的交点有两个或一个 2 当x 1时 y a b a b 0 该函数图象不经过点c 把点a 1 4 b 0 1 分别代入二次函数的表达式得解得 该二次函数的表达式为y 3x2 2x 1 3 证明 当x 2时 m 4a 2b a b 3a b 0 a b0 相加得2a 0 a 0 思路分析 1 利用判别式进行判断 2 当x 1时 y 0 所以函数图象不过点c 故图象过点a b 将a b两点坐标分别代入函数表达式 解方程组即可 3 用a b表示m 由m的范围结合a b0 方法总结本题考查了二次函数图象的性质及数形结合思想 解答时 注意将相关的点的坐标代入表达式 6 2018温州 23 10分 温州某企业安排65名工人生产甲 乙两种产品 每人每天生产2件甲或1件乙 甲产品每件可获利15元 根据市场需求和生产经验 乙产品每天产量不少于5件 当每天生产5件时 每件可获利120元 每增加1件 当天平均每件利润减少2元 设每天安排x人生产乙产品 1 根据信息填表 2 若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元 求每件乙产品可获得的利润 3 该企业在不增加工人的情况下 增加生产丙产品 要求每天甲 丙两种产品的产量相等 已知每人每天可生产1件丙 每人每天只能生产一种产品 丙产品每件可获利30元 求每天生产三种产品可获得的总利润w 元 的最大值及相应x的值 解析 1 由已知得 每天安排x人生产乙产品时 生产甲产品的有 65 x 人 共生产甲产品2 65 x 件 在乙产品每件获利120元的基础上 增加 x 5 件乙产品 则当天平均每件获利减少2 x 5 元 则乙产品的每件利润为 130 2x 元 2 由题意得15 2 65 x x 130 2x 550 x2 80 x 700 0 解得x1 10 x2 70 不符合题意 舍去 130 2x 110 每件乙产品可获得的利润是110元 3 设生产甲产品的工人有m人 则w x 130 2x 15 2m 30 65 x m 2 x 25 2 3200 2m 65 x m m x m都是非负整数 取x 26 此时m 13 65 x m 26 即当x 26时 w最大值 3198 安排26人生产乙产品时 可获得的总利润最大 为3198元 思路分析 1 根据题意列代数式即可 2 根据 1 中数据表示出每天生产甲 乙产品获得的利润 根据题意列方程即可 3 根据每天甲 丙两种产品的产量相等得到m与x之间的关系式 用x表示出总利润 利用二次函数的性质求最值 7 2018嘉兴 23 10分 已知 点m为二次函数y x b 2 4b 1图象的顶点 直线y mx 5分别交x轴正半轴 y轴于点a b 1 判断顶点m是否在直线y 4x 1上 并说明理由 2 如图1 若二次函数图象也经过点a b 且mx 5 x b 2 4b 1 根据图象 写出x的取值范围 3 如图2 点a坐标为 5 0 点m在 aob内 若点c d都在二次函数图象上 试比较y1与y2的大小 解析 1 点m坐标是 b 4b 1 把x b代入y 4x 1中 得y 4b 1 点m在直线y 4x 1上 2 如图 直线y mx 5与y轴交于点b 点b的坐标为 0 5 图 又 b 0 5 在抛物线上 5 0 b 2 4b 1 解得b 2 二次函数的表达式为y x 2 2 9 当y 0时 得x1 5 x2 1 舍 a 5 0 观察图象可得 当m 5 x b 2 4b 1时 x的取值范围为x5 3 如图 设直线y 4x 1与直线ab交于点e 与y轴交于点f 图 解方程组得 点e 易得f 0 1 点m在 aob内 0y2 当b 时 y1 y2 当 b 时 y1 y2 8 2018衢州 23 10分 某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池 喷水池的周边有一圈喷水头 喷出的水柱为抛物线 在距水池中心3米处达到最高 高度为5米 且各方向喷出的水柱恰好在水池中心的装饰物处汇合 如图所示 以水平方向为x轴 喷水池中心为原点建立直角坐标系 1 求水柱所在抛物线 第一象限部分 的函数表达式 2 王师傅在水池内维修设备期间 喷水管意外喷水 为了不被淋湿 身高1 8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内 3 经检修评估 游乐园决定对喷水设施做如下设计改进 在喷出水柱的形状不变的前提下 把水池的直径扩大到32米 各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物 高度不变 处汇合 请探究扩建改造后水柱的最大高度 解析 1 由题意可知抛物线的顶点为 3 5 设y a x 3 2 5 将 8 0 代入得a y x 3 2 5 0 x 8 2 当y 1 8时 1 8 x 3 2 5 可得x1 7 x2 1 舍去 所以王师傅必须站在离水池中心7米以内 3 由y x 3 2 5可得原抛物线与y轴的交点为 装饰物高度不变 新抛物线也过点 喷出水柱的形状不变 a 直径扩大到32米 新抛物线过点 16 0 设新抛物线解析式为y新 x2 bx c 将和 16 0 代入 解得b 3 c y新 x2 3x 当x 时 y新 答 扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 或14 45 米 9 2017温州 22 10分 如图 过抛物线y x2 2x上一点a作x轴的平行线 交抛物线于另一点b 交y轴于点c 已知点a的横坐标为 2 1 求抛物线的对称轴和点b的坐标 2 在ab上任取一点p 连接op 作点c关于直线op的对称点d 连接bd 求bd的最小值 当点d落在抛物线的对称轴上 且在x轴上方时 求直线pd的函数表达式 解析 1 对称轴是直线x 4 点a b关于直线x 4对称 点a的横坐标为 2 点b的横坐标为10 当x 10时 y 5 点b的坐标为 10 5 2 如图 连接od ob 点c d关于直线op对称 od oc 5 od bd ob bd ob od 5 5 当点d在线段ob上时 bd有最小值5 5 如图 连接od 设抛物线的对称轴交x轴于点f 交bc于点h od 5 of 4 df 3 d 4 3 dh hf df 2 设cp a 则pd pc a ph 4 a 在rt phd中 4 a 2 22 a2 a p 设直线pd的函数表达式为y kx b k 0 解得 直线pd的函数表达式为y x 10 2016杭州 20 10分 把一个足球垂直于水平地面向上踢 时间为t 秒 时该足球距离地面的高度h 米 适用公式h 20t 5t2 0 t 4 1 当t 3时 求足球距离地面的高度 2 当足球距离地面的高度为10米时 求t的值 3 若存在实数t1和t2 t1 t2 当t t1或t2时 足球距离地面的高度都为m 米 求m的取值范围 解析 1 当t 3时 h 20t 5t2 20 3 5 9 15 所以 此时足球离地面的高度为15米 2 由题意知h 10 所以20t 5t2 10 即t2 4t 2 0 解得t 2 或t 2 所以 经过 2 或 2 秒时 足球距离地面的高度为10米 3 因为m 0 由题意得t1和t2是方程20t 5t2 m的两个不相等的实数根 所以 b2 4ac 202 20m 0 所以m 20 所以m的取值范围是0 m 20 11 2016杭州 22 12分 已知函数y1 ax2 bx y2 ax b ab 0 在同一平面直角坐标系中 1 若函数y1的图象过点 1 0 函数y2的图象过点 1 2 求a b的值 2 若函数y2的图象经过y1的图象的顶点 求证 2a b 0 当1 x 时 比较y1与y2的大小 解析 1 由题意 得解得所以a 1 b 1 2 证明 因为函数y1的图象的顶点坐标为 所以a b 即b 因为ab 0 所以 b 2a 所以2a b 0 因为b 2a 所以y1 ax x 2 y2 a x 2 所以y1 y2 a x 2 x 1 因为10 所以 x 2 x 1 0时 a x 2 x 1 0 即y1 y2 12 2016绍兴 21 10分 课本中有一个例题 有一个窗户形状如图1 上部是一个半圆 下部是一个矩形 如果制作窗框的材料总长为6m 如何设计这个窗户 使透光面积最大 这个例题的答案是 当窗户半圆的半径约为0 35m时 透光面积的最大值约为1 05m2 我们如果改变这个窗户的形状 上部改为由两个正方形组成的矩形 如图2 材料总长仍为6m 利用图3 解答下列问题 1 若ab为1m 求此时窗户的透光面积 2 与课本中的例题比较 改变窗户形状后 窗户透光面积的最大值有没有变大 请通过计算说明 解析 1 由已知得ad s m2 2 窗户透光面积的最大值变大 理由 设ab xm 则ad 3 x 3 x 0 01 05 与课本中的例题比较 现在窗户透光面积的最大值变大 方法点拨解决面积最值问题一般需建立二次函数模型 方法总结建立函数模型解决最值问题的基本步骤 1 选择与问题相关的 简单合适的变量 将这个变量设为未知数 2 用所设的未知数表示问题所需的边或角 3 列函数关系式 列函数关系式常用的方法有 用勾股定理列函数关系式 用几何图形的面积公式 三角形的面积公式 平行四边形的面积公式 列函数关系式 用三角形的边角关系和三角函数知识列函数关系式 用相似三角形对应边成比例列出函数关系式 4 根据函数的增减性求最大或最小值 13 2016湖州 23 10分 如图 已知二次函数y x2 bx c b c为常数 的图象经过点a 3 1 点c 0 4 顶点为点m 过点a作ab x轴 交y轴于点d 交该二次函数图象于点b 连接bc 1 求该二次函数的解析式及点m的坐标 2 若将该二次函数图象向下平移m m 0 个单位 使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 abc的内部 不包括 abc的边界 求m的取值范围 3 点p是直线ac上的动点 若点p 点c 点m所构成的三角形与 bcd相似 请所有点p的坐标 直接写出结果 不必写解答过程 解析 1 由二次函数y x2 bx c的图象经过点a 3 1 点c 0 4 得解得 2分 二次函数的解析式为y x2 2x 4 3分 由配方 得y x 1 2 5 点m的坐标为 1 5 4分 2 设表示直线ac的函数解析式为y kx n k n都为常数且k 0 直线ac过点a 3 1 c 0 4 解得 直线ac的函数解析式为y x 4 5分 结合图象 得抛物线的对称轴x 1与 abc两边分别交于点e 1 3 f 1 1 2 m 4 7分 3 符合题意的点p有4个 分别为p1 3 7 p2 3 1 p3 p4 10分 思路分析本题是二次函数的综合题 第 1 问 用待定系数法求二次函数的解析式 进而配方得顶点坐标 第 2 问 求出 abc与抛物线对称轴x 1的交点 进而得m的范围 第 3 问 关注相似三角形的对应边和对应角 由此进行分类讨论 14 2016丽水 23 10分 如图1 地面bd上两根等长立柱ab cd之间悬挂一根近似成抛物线y x2 x 3的绳子 1 求绳子最低点离地面的距离 2 因实际需要 在离ab为3米的位置处用一根立柱mn撑起绳子 如图2 使左边抛物线f1的最低点距mn为1米 离地面1 8米 求mn的长 3 将立柱mn的长度提升为3米 通过调整mn的位置 使抛物线f2对应函数的二次项系数始终为 设mn离ab的距离为m 抛物线f2的顶点离地面距离为k 当2 k 2 5时 求m的取值范围 解析 1 a 0 抛物线顶点为最低点 y x2 x 3 x 4 2 绳子最低点离地面的距离为米 2 由 1 可知 bd 8 令x 0 得y 3 a 0 3 c 8 3 由题意得 抛物线f1的顶点坐标为 2 1 8 设f1的解析式为y a x 2 2 1 8 a 0 将 0 3 代入 得4a 1 8 3 解得a 0 3 抛物线f1的解析式为y 0 3 x 2 2 1 8 当x 3时 y 0 3 1 1 8 2 1 mn的长度为2 1米 3 mn cd 3 根据抛物线的对称性可知抛物线f2的顶点在nd的垂直平分线上 抛物线f2的顶点坐标为 抛物线f2的解析式为y k 把c 8 3 代入 得 k 3 k 3 k m 8 2 3 k是关于m的二次函数 又 m 8 k随m的增大而增大 当k 2时 m 8 2 3 2 解得m1 4 m2 12 不符合题意 舍去 当k 2 5时 m 8 2 3 2 5 解得m1 8 2 m2 8 2 不符合题意 舍去 m的取值范围是4 m 8 2 15 2016宁波 22 10分 如图 已知抛物线y x2 mx 3与x轴交于a b两点 与y轴交于点c 点b的坐标为 3 0 1 求m的值及抛物线的顶点坐标 2 点p是抛物线对称轴l上的一个动点 当pa pc的值最小时 求点p的坐标 解析 1 把b 3 0 代入y x2 mx 3 得0 32 3m 3 解得m 2 3分 y x2 2x 3 y x2 2x 3 x2 2x 1 4 x 1 2 4 顶点坐标为 1 4 6分 2 连接bc交抛物线对称轴l于点p 连接ap 此时pa pc的值最小 理由 设q是直线l上任意一点 连接aq cq bq 直线l垂直平分ab aq bq ap bp aq cq bq cq bc bc bp cp ap cp 即aq cq ap cp 设直线bc的解析式为y kx b k 0 把 3 0 0 3 代入 得 直线bc的解析式为y x 3 8分 当x 1时 y 1 3 2 当pa pc的值最小时 点p的坐标为 1 2 10分 方法点拨 1 待定系数法是求函数解析式的常用方法 应用的一般步骤为 根据函数的特征设出函数的解析式 有时题中会给出 将函数图象所经过的点的坐标代入函数的解析式 得到关于变量的方程 或方程组 解方程 或方程组 求得待定系数的值 然后写出函数的解析式 2 解决本题要用到初中数学中一个典型的模型 将军饮马 问题 如图1 在一条可以近似看成直线的河a的同旁 将军牵着马位于点a处 现将军要牵着马到河边给马儿喂水 然后再牵着马回到军营 点b处 设饮马的位置为河边的点m 那么这个点m在何处才能使走的路程最短 换句话说就是使am bm最短 图1图2具体的作法是 如图2 作点b关于直线a的对称点b 连接ab 交直线a于点m 则该点即为所求 16 2016温州 23 12分 如图 抛物线y x2 mx 3 m 0 交y轴于点c ca y轴 交抛物线于点a 点b在抛物线上 且在第一象限内 be y轴 交y轴于点e 交ao的延长线于点d be 2ac 1 用含m的代数式表示be的长 2 当m 时 判断点d是否落在抛物线上 并说明理由 3 作ag y轴 交ob于点f 交bd于点g 若 doe与 bgf的面积相等 求m的值 连接ae 交ob于点m 若 amf与 bgf的面积相等 则m的值是 解析 1 抛物线的对称轴是直线