2017-2018学年高中数学三角函数1.4.2第二课时正弦函数余弦函数的单调性与最值学案新人教A版.docx

第二课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值预习课本P3740，思考并完成以下问题(1)正、余弦函数的单调区间分别是什么？ (2)正、余弦函数的最值分别是多少？取最值时自变量x的值是多少？ 正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数余弦函数图象值域1,11,1单调性在(kZ)上递增，在 (kZ)上递减在2k，2k(kZ)上递增，在2k，2k(kZ)上递减最值x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1点睛(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数()(2)存在xR满足sin x.()(3)在区间0,2上，函数ycos x仅当x0时取得最大值1.()答案：(1)(2)(3)2在下列区间中，使函数ysin x为增函数的是()A0，BC D，2答案：C3函数y2sin x的最大值及取最大值时x的值为()Aymax3，xBymax1，x2k(kZ)Cymax3，x2k(kZ)Dymax3，x2k(kZ)答案：C4函数y32cos x的最大值为_答案：5正、余弦函数的单调性典例求函数y3sin的单调递减区间解y3sin3sin，y3sin是增函数时，y3sin是减函数函数ysin x在(kZ)上是增函数，2k2x2k，即kxk(kZ)函数y3sin的单调递减区间为(kZ)与正、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间(2)确定函数yAsin(x)(A0，0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将x看作一个整体，可令“zx”，即通过求yAsin z的单调区间而求出函数的单调区间若0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数活学活用求ycos的单调增区间解：因为ycoscos，所以令2k2x22k，kZ，得kxk，kZ.所以函数ycos的单调增区间为，kZ.三角函数值的大小比较典例比较下列各组数的大小：(1)sin 250与sin 260；(2)cos与cos.解(1)函数ysin x在上单调递减，且90250260sin 260.(2)coscoscos，coscoscos.函数ycos x在0，上单调递减，且0cos，coscos.比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上活学活用比较下列各组数的大小(1)cos与cos；(2)sin 194与cos 160.解：(1)coscos，coscoscoscos.0，且ycos x在(0，)上单调递减，coscos，即coscos.(2)sin 194sin (18014)sin 14，cos 160cos(18020)cos 20sin 70.0147090且ysin x在上单调递增，sin 70sin 14，即sin 14sin 70.故sin 194cos 160.正、余弦函数的最值题点一：形如yasin x(或yacos x)型1若yasin xb的最大值为3，最小值为1，则ab_.解析：当a0时，得当a0时，得答案：2题点二：形如yAsin(x)b或yAcos(x)b型2求函数y34cos，x的最大、最小值及相应的x值解：因为x，所以2x，从而cos1.所以当cos1，即2x0，x时，ymin341.当cos，即2x，x时，ymax345.综上所述，当x时，ymin1；当x时，ymax5.题点三：形如yAsin2xBsin xC或yAcos2xBcos xC型3求函数y34sin x4cos2x的值域解：y34sin x4cos2x34sin x4(1sin2x)4sin2x4sin x1，令tsin x，则1t1.y4t24t1422(1t1)当t时，ymin2，当t1时，ymax7.即函数y34sin x4cos2x的值域为2,7三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法(1)形如yasin x(或yacos x)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论(2)形如yAsin(x)b(或yAcos(x)b)型，可先由定义域求得x的范围，然后求得sin(x)(或cos(x)的范围，最后求得最值(3)形如yasin2xbsin xc(a0)型，可利用换元思想，设tsin x，转化为二次函数yat2btc求最值t的范围需要根据定义域来确定层级一学业水平达标1函数f(x)2sin x1，x的值域是()A1,3B1,3C3,1 D1,1解析：选Bx，sin x1,1，2sin x11,32函数y|sin x|的一个单调递增区间是()A BC D解析：选C由y|sin x|的图象，易得函数y|sin x|的单调递增区间为，kZ，当k1时，得为函数y|sin x|的一个单调递增区间3下列函数中，既为偶函数又在(0，)上单调递增的是()Ay|cos x| Bycos|x|Cysin Dysin解析：选Cy|cos x|在上是减函数，排除A；ycos|x|cos|x|在(0，)上是减函数排除B；ysinsincos x是偶函数，且在(0，)上单调递增，符合题意；ysin在(0，)上是单调递减的4函数ysin，xR在()A上是增函数B0，上是减函数C，0上是减函数 D，上是减函数解析：选Bysincos x，所以在区间，0上是增函数，在0，上是减函数，故选B.5函数f(x)sin在区间上的最小值为()A1 BC D0解析：选Bx，2x，当2x时，f(x)sin有最小值.6已知函数y3cos(x)，则当x_时，函数取得最大值解析：y3cos(x)3cos x，当cos x1，即x2k，kZ时，y有最大值3.答案：2k，kZ7ysin x，x，则y的范围是_解析：由正弦函数图象，对于x，当x时，ymax1，当x时，ymin，从而y.答案：8函数ysin(x)在上的单调递增区间为_解析：因为sin(x)sin x，所以要求ysin(x)在上的单调递增区间，即求ysin x在上的单调递减区间，易知为.答案：9求下列函数的最大值和最小值(1)y ；(2)y32cos.解：(1)1sin x1.当sin x1时，ymax；当sin x1时，ymin.(2)1cos1，当cos1时，ymax5；当cos1时，ym