垂径定理及其推论.doc

垂径定理及其推论一、教学内容的说明 教师只有对教材有较为准确、深刻、本质的理解，并从“假如我是学生”的角度审视学生的可接受性，才能处理好教材。同时垂径定理和它的推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、弧相等、垂直关系的重要依据，还为进行圆的计算和作图提供了重要依据，因此这部分内容是学习的重点，同时由于它的题设和结论较为复杂，容易混淆，因此也是学习的难点。鉴于这种理解，我确定出如下教学内容： (1)了解圆的轴对称性。(2) 弄清垂径定理及其推论的题设和结论。(3)运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明。(4)学会与垂径定理有关的添加辅助线的方法。 教学重点：垂径定理及其推论教学难点：垂径定理的证明方法，其中圆的轴对称性是理解垂径定理的关键。二、教学目标的确立根据本课的具体内容、学生的实际情况，我确立了如下的教学目标：1、通过直观演示了解圆的轴对称性。2、通过“试验观察猜想证明”掌握垂径定理及其推论。3、运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。4、培养学生的数学直觉能力、抽象概括能力。激发学生的探索精神。三、教学方法与手段的选择在教学方法方面:本节课主要采用教师启发、学生自主探究、小组合作学习的方法。在教学过程中，遵循“实验观察猜想证明讨论总结应用”这一思路，使学生由感性认识上升到理性认识，再到实际应用。遵循“阶梯式发展”原则，引导学生在独立分析、认真思考的基础上，以小组讨论等形式合作探究，进而解决问题、掌握方法。在教学手段方面：我采用教具直观演示与计算机辅助教学，以提高课堂教学效率。四、教学过程的设计（一）以旧引新、引导探究 人类认识事物大多遵循由感性认识到理性认识，由旧知到新知的上升过程，为此我先引导学生复习与本课新知识有关的旧知识，出示如下两个问题： （1）什么是轴对称图形（2）观察下列图形哪些是轴对称图形？并指出对称轴条数。然后出示圆，提问：圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？对称轴在什么位置？进而通过学生折叠圆形纸片、教师投影演示明确：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。这样通过创设问题情境，以旧引新，引出本课课题圆的轴对称性。BCDAOE（二）动手操作，观察猜想首先让学生按要求在事先准备好的圆形纸片中画图折叠、观察、猜想。 画出O的一条弦AB 过O画AB的垂线交O于C、D两点，垂足为E. 问题1：过O点垂直AB的直线有几条？（说出理由）设计意图：明确垂直于弦的直线有且只有一条。 问题2：直径CD还有什么性质？（投影）（引导学生将O纸片沿直径CD折叠，观察重合部分，猜想结论（小组交流猜想结论。教师投影演示与学生共享猜想结论）设计意图：通过调动学生的多种感官功能，使学生在动手动脑中强化思维品质。 同时为用“叠合法”证明垂径定理起铺路搭桥的作用。（三）指导论证，引申结论在师生共同得出猜想结论后，教师追问质疑：猜想的结果是否正确，必须要加以证明，将学生的活跃思维从实验猜想拉回到对猜想的严格证明中。教学安排：学生回答已知、求证后教师投影。随后指导学生从圆的轴对称性入手，讨论出联结OA和OB后，抓住只要能够证出直径CD既是等腰三角形OAB的对称轴，又是圆的对称轴，即可利用圆的轴对称性证明出结论。进而让学生试述，教师板书证明过程，总结出垂径定理的内容，并引导学生分析出定理的题设和结论。说明知道了题设的两个条件，就可以得出三个结论。此时出示判断题 (1)过圆心的直径平分弦（）(2)垂直于弦的直线平分弦（）(3)O中，OE弦AE于E，则AE=BE（）引导小组讨论，允许争论，关键要让学生说明理由，举反例。交流讨论、统一思想后，教师要充分利用评价机制鼓励学生，并强调垂径定理题设中的两个条件缺一不可。然后再次通过提问：如果将题设中的两个条件改为“直径平分弦”，能否得出其它三个结论呢？自然的引出对例1的教学： 【例1：已知:如图，在O中，直径CD交弦AB于E，AE=BE 求证：CDAB, 弧AD=弧BD，弧AC=弧BC通过教师引导、小组讨论分析证明出垂径定理的推论：平分弦(非直径)的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。使学生初步认识到将定理中题设的两个条件之一与三个结论之一交换一个，也可得出其它三个结论。然后再次出示小组讨论题，【小组讨论：下列命题是否正确？说明理由1、弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧。()2、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，且平分弦所对的另一条弧()】进一步强化刚才的初步认识，进而归纳总结出其中规律：五个条件，知二推三。在整个过程中教师要及时引导学生通过画图分析、讨论，说明理由，辨别正误，从而有效的突破难点，突出重点。（四）巩固练习，加深理解【例2、已知：如图在O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。】1、选题意图 教学安排 解决问题：此题先提醒学生审清题意，思考如何构造出圆的半径及圆心O到弦AB的距离。在个人独立思考建立图形以后，进行小组交流、讨论。最后各组派代表展示学习成果并说明理由，教师点拨，最后投影出完整解题步骤。 反思拓展：提问：在解答此题的过程中，你用到了几个定理？ABCOD通过讨论，使学生体会到：在解决有关弦、半径（直径）、圆心到弦的距离等问题时，通常是通过构造直角三角形将垂径定理和勾股定理结合起来。然后再通过一道证明题，再一次的巩固垂径定理及辅助线的做法。【练习：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于