（江苏专用）高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 曲线与方程 理.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 曲线与方程 理1.曲线与方程一般地，如果曲线c上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)0的解，且以方程f(x，y)0的解(x，y)为坐标的点都在曲线c上，那么，方程f(x，y)0叫做曲线c的方程，曲线c叫做方程f(x，y)0的曲线.2.求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系.(2)设点设轨迹上的任一点p(x，y).(3)列式列出动点p所满足的关系式.(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简.(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.3.两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，对于曲线c1：f1(x，y)0和曲线c2：f2(x，y)0，由于p0(x0，y0)是c1与c2的公共点所以，求两条曲线的交点，就是求方程组的实数解.反过来，方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点.(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.4.圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点f和到一条定直线l(f不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹.当0e1时，它表示双曲线；当e1时，它表示抛物线.其中e是圆锥曲线的离心率，定点f是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0，y0)0是点p(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件.()(2)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线.()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2.()(4)方程y与xy2表示同一曲线.()(5)ykx与xy表示同一直线.()1.方程(x2y24)0的曲线形状是_.答案解析由题意可得xy10或它表示直线xy10和圆x2y240在直线xy10右上方的部分.2.已知点p是直线2xy30上的一个动点，定点m(1，2)，q是线段pm延长线上的一点，且pmmq，则q点的轨迹方程是_.答案2xy50解析由题意知，m为pq中点，设q(x，y)，则p为(2x，4y)，代入2xy30得2xy50.3.设定点f1(0，3)，f2(0,3)，动点p满足条件pf1pf2a (a0)，则点p的轨迹是_.答案椭圆或线段解析a26.当a3时，a6，此时pf1pf2f1f2，p点的轨迹为线段f1f2，当a3，a0时，pf1pf2f1f2.由椭圆定义知p点的轨迹为椭圆.4.(教材改编)和点o(0,0)，a(c,0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为_.答案2x22y22cxc2c0解析设p(x，y)为轨迹上一点，则x2y2(xc)2y2c，2x22y22cxc2c0.5.(教材改编)已知o方程为x2y24，过m(4,0)的直线与o交于a，b两点，则弦ab中点p的轨迹方程为_.答案(x2)2y24(0x1)解析根据垂径定理知：oppm，所以p点轨迹是以om为直径的圆且在o内的部分，以om为直径的圆的方程为(x2)2y24，它与o的交点为(1，)，结合图形可知所求轨迹方程为(x2)2y24(0x2mn.由椭圆的定义可知，曲线c是以m，n为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2).思维升华应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解.已知两个定圆o1和o2，它们的半径分别是1和2，且o1o24.动圆m与圆o1内切，又与圆o2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心m的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.解如图所示，以o1o2的中点o为原点，o1o2所在直线为x轴建立平面直角坐标系.由o1o24，得o1(2,0)，o2(2,0).设动圆m的半径为r，则由动圆m与圆o1内切，有mo1r1；由动圆m与圆o2外切，有mo2r2.mo2mo13.点m的轨迹是以o1、o2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支.a，c2，b2c2a2.点m的轨迹方程为1 (x).题型二直接法求轨迹方程命题点1已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)例2在平面直角坐标系xoy中，点p(a，b)为动点，f1，f2分别为椭圆1(ab0)的左，右焦点.已知f1pf2为等腰三角形.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线pf2与椭圆相交于a，b两点，m是直线pf2上的点，满足2，求点m的轨迹方程.解(1)设f1(c,0)，f2(c,0)(c0).由题意，可得pf2f1f2，即2c，整理得2210，得1(舍去)或.所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线pf2的方程为y(xc).a，b两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c，得方程组的解不妨设a，b(0，c).设点m的坐标为(x，y)，则，(x，yc).由y(xc)，得cxy.于是，(x，x)，由2，即xx2.化简得18x216xy150.将y代入cxy，得c0.所以x0.因此，点m的轨迹方程是18x216xy150(x0).命题点2无明确等量关系求轨迹方程例3(2014广东)已知椭圆c：1(ab0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆c的标准方程；(2)若动点p(x0，y0)为椭圆c外一点，且点p到椭圆c的两条切线相互垂直，求点p的轨迹方程.解(1)由题意知c，所以a3，b2a2c24，故椭圆c的标准方程为1.(2)设两切线为l1，l2，当l1x轴或l1x轴时，对应l2x轴或l2x轴，可知p(3，2).当l1与x轴不垂直且不平行时，x03.设l1的斜率为k，则k0，l2的斜率为，故l1的方程为yy0k(xx0)，联立1，得(9k24)x218(y0kx0)kx9(y0kx0)2360.因为直线l1与椭圆c相切，所以0，得9(y0kx0)2k2(9k24)(y0kx0)240，所以36k24(y0kx0)240，所以(x9)k22x0y0ky40，所以k是方程(x9)x22x0y0xy40(x03)的一个根，同理是方程(x9)x22x0y0xy40(x03)的另一个根，所以k()，得xy13，其中x03，所以此时点p的轨迹方程为xy13(x03).因为p(3，2)满足xy13，综上可知，点p的轨迹方程为xy13.思维升华直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略：(1)题目给出等量关系，求轨迹方程.直接代入即可得出方程.(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程.可利用已知条件寻找等量关系，得出方程.(1)已知a，b为平面内两定点，过该平面内动点m作直线ab的垂线，垂足为n.若2，其中为常数，则动点m的轨迹不可能是下列中的_.圆；椭圆；抛物线；双曲线.答案解析以ab所在直线为x轴，ab的中垂线为y轴，建立坐标系，设m(x，y)，a(a,0)，b(a,0)，则n(x,0).因为2，所以y2(xa)(ax)，即x2y2a2，当1时，轨迹是圆；当0且1时，轨迹是椭圆；当0)，由，得(x，y)(m，m)(n，n)(mn，mn).整理得x24mn，又mn，p点的轨迹方程为x21 (x0).它表示以原点为中心，焦点在x轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x21的右支.题型三相关点法求轨迹方程例4设直线xy4a与抛物线y24ax交于两点a，b(a为定值)，c为抛物线上任意一点，求abc的重心的轨迹方程.解设abc的重心为g(x，y)，点c的坐标为(x0，y0)，a(x1，y1)，b(x2，y2).由方程组：消去y并整理得：x212ax16a20.x1x212a，y1y2(x14a)(x24a)(x1x2)8a4a.g(x，y)为abc的重心，又点c(x0，y0)在抛物线上，将点c的坐标代入抛物线的方程得：(3y4a)24a(3x12a)，即(y)2(x4a).又点c与a，b不重合，x0(62)a，abc的重心的轨迹方程为(y)2(x4a)(x(6)a).思维升华“相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.设f(1,0)，m点在x轴上，p点在y轴上，且2，当点p在y轴上运动时，求点n的轨迹方程.解设m(x0,0)，p(0，y0)，n(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)(1，y0)0，x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y0)，即x0，即y24x.故所求的点n的轨迹方程是y24x.20.利用参数法求轨迹方程典例(16分)如图，在正方形oabc中，o为坐标原点，点a的坐标为(10,0)，点c的坐标为(0,10)，分别将线段oa和ab十等分，分点分别记为a1，a2，a9和b1，b2，b9，连结obi，过ai作x轴的垂线与obi交于点pi(in*,1i9).(1)求证：点pi(in*,1i9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线e的方程；(2)过点c作直线l与抛物线e交于不同的两点m，n，若ocm与ocn的面积比为41，求直线l的方程.规范解答方法一解(1)依题意，过ai(in*,1i9)且与x轴垂直的直线方程为xi，bi的坐标为(10，i)，所以直线obi的方程为yx.2分设pi的坐标为(x，y)，由得yx2，即x210y.所以点pi(in*,1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线e的方程为x210y.6分(2)依题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx10.由得x210kx1000，此时100k24000，直线l与抛物线e恒有两个不同的交点m，n.8分设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则因为socmsocn41，所以socm4socn，所以|x1|4|x2|.又x1x20，满足题意.综上，中的曲线不是“好曲线”. 3.已知点a(1,0)，直线l：y2x4，点r是直线l上的一点，若，则点p的轨迹方程为_.答案y2x解析设p(x，y)，r(x1，y1)，由知，点a是线段rp的中点，即点r(x1，y1)在直线y2x4上，y12x14，y2(2x)4，即y2x.4.已知abc的顶点a(5,0)，b(5,0)，abc的内切圆圆心在直线x3上，则顶点c的轨迹方程是_.答案1 (x3)解析如图，adae8，bfbe2，cdcf，所以cacb8263).5.平面直角坐标系中，已知两点a(3,1)，b(1,3)，若点c满足12(o为原点)，其中1，2r，且121，则点c的轨迹是_.答案直线解析设c(x，y)，则(x，y)，(3,1)，(1,3)，12，又121，x2y50表示一条直线.6.已知两定点a(2,0)，b(1,0)，如果动点p满足pa2pb，则点p的轨迹所包围的图形的面积为_.答案4解析设p(x，y)，由pa2pb，得2，3x23y212x0，即x2y24x0.p的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆.即轨迹所包围的图形的面积等于4.7.曲线c是平面内与两个定点f1(1,0)和f 2(1,0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹.给出下列三个结论：曲线c过坐标原点；曲线c关于坐标原点对称；若点p在曲线c上，则f1pf2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是_.答案解析因为原点o到两个定点f1(1,0)，f2(1,0)的距离的积是1，且a1，所以曲线c不过原点，即错误；因为f1(1,0)，f2(1,0)关于原点对称，所以pf1pf2a2对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为sf1pf2pf1pf2sin f1pf2pf1pf2a2，即f1pf2的面积不大于a2，所以正确.8.如图，p是椭圆1上的任意一点，f1，f2是它的两个焦点，o为坐标原点，延长po与椭圆交于点m，且，则动点q的轨迹方程是_.答案1解析由于，又22，设q(x，y)，则(，)，即p点坐标为(，)，又p在椭圆上，则有1，即1.9.在abc中，|4，abc的内切圆切bc于d点，且|2，求顶点a的轨迹方程.解以bc的中点为原点，中垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，e、f分别为两个切点.则bebd，cdcf，aeaf，abac2).10.在圆o：x2y24上任取一点p，过点p作x轴的垂线段pd，d为垂足.设m为线段pd的中点.(1)当点p在圆o上运动时，求点m的轨迹e的方程；(2)若圆o在点p处的切线与x轴交于点n，试判断直线mn与轨迹e的位置关系.解(1)设m(x，y)，则p(x,2y).点p在圆x2y24上，x2(2y)24，即点m的轨迹e的方程为y21.(2)当直线pn的斜率不存在时，直线mn的方程为x2或x2.显然与轨迹e相切.当直线pn的斜率存在时，设pn的方程为ykxt (k0).直线pn与圆o相切，2，即t24k240.又直线mn的斜率为，点n的坐标为，直线mn的方程为y，即y(kxt).由得(1k2)x22ktxt240.(2kt)24(1k2)(t24)4(t24k24)0，直线mn与轨迹e相切.综上可知，直线mn与轨迹e相切.b组专项能力提升(时间：30分钟)11.动点p在直线x1上运动，o为坐标原点，以op为直角边，点o为直角顶点作等腰直角三角形opq，则动点q的轨迹是_.答案两条平行直线解析设q(x，y)，p(1，y0)，由题意知opoq，且0，将y0代入得x2y212，化简即y21，y1，表示两条平行直线.12.如图所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点m在ab上，且amab，点p在平面abcd上，且动点p到直线a1d1的距离的平方与p到点m的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xay中，动点p的轨迹方程是_.答案y2x解析过p作pqad于q，再过q作qha1d1于h