高三数学 章末综合测试题（13）立体几何（1）.doc

2013届高三数学章末综合测试题（13）立体几何（1）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为() a7 b6 c5 d3 解析a依题意，设圆台上、下底面半径分别为r、3r，则有(r3r)384，解得r7.2如图所示，在空间四边形abcd中，点e、h分别是边ab、ad的中点，f、g分别是边bc、cd上的点，且，则()aef与gh平行bef与gh异面cef与gh的交点m可能在直线ac上，也可能不在直线ac上def与gh的交点m一定在直线ac上 解析d依题意，可得ehbd，fgbd，故ehfg，所以e、f、g、h共面因为ehbd，fgbd，故ehfg，所以efgh是梯形，ef与gh必相交，设交点为m.因为点m在ef上，故点m在平面acb上同理，点m在平面acd上，即点m是平面acb与平面acd的交点，而ac是这两个平面的交线，所以点m一定在ac上3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k() a1 b c d 解析dk abk(1,1,0)(1,0,2)(k1，k,2)，2ab2(1,1,0)(1,0,2) (3,2，2)，两向量垂直，3(k1)2k220，k.4已知直线m、n和平面，在下列给定的四个结论中，mn的一个必要但不充分条件是()am，n bm，ncm，n dm、n与所成的角相等 解析d对于选项a，当m，n时，直线m、n可以是平行、相交或异面；而当mn时，m、n与的关系不确定，故选项a是mn的既不充分也不必要条件；选项b是mn的充分不必要条件；选项c是mn的既不充分也不必要条件；对于选项d，由mn可以得到m、n与所成的角相等，但是m、n与所成的角相等得不到mn.故选项d符合题意5已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是() a28836 b60 c28872 d28818解析a依题意得，该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为8、6、6，半个圆柱相应的圆柱底面半径为3、高为8，因此该几何体的体积等于86632828836，故选a.6l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()al1l2，l2l3l1l3bl1l2，l2l3l1l3cl1l2l3l1，l2，l3共面dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面 解析b在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故a错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，b正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故c错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故d错7将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了()a6a2 b12a2c18a2d24a2 解析b依题意，小正方体的棱长为，所以27个小正方体的表面积总和为276218a2，故表面积增加量为18a26a212a2.8在长方体abcda1b1c1d1中，abbc2，aa11，则bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为()a. b. c. d. 解析d如图，连接a1c1，b1d1，交于点o1，由长方体的性质易知c1bo1为bc1与平面bb1d1d所成的角bc2，cc11，bc1，又c1o1a1c1，在rtbo1c1中，sin c1bo1.9已知，是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，如果把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有命题中，真命题有()a0个 b1个 c2个 d3个 解析c若，换为直线a，b，则命题化为“ab，且ab”，此命题为真命题；若，换为直线a，b，则命题化为“a，且abb”，此命题为假命题；若，换为直线a，b，则命题化为“a，且bab”，此命题为真命题10如图所示，在长方体abcda1b1c1d1中，ab10，ad5，aa14.分别过bc、a1d1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为v1vaea1dfd1，v2vebe1a1fcf1d1，v3vb1e1bc1f1c.若v1v2v3131，则截面a1efd1的面积为() a4 b8 c20 d16 解析c由v1v3，可得aeb1e1，设aex，则(10x)4513，得x4，则a1e4，所以截面a1efd1的面积为20.11如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，a，b，c是展开图上的三点，则在正方体盒子中，abc的值为() a30 b45 c60 d90解析c还原正方体，如下图所示，连接ab，bc，ac，可得abc是正三角形，则abc60.故选c.12连接球面上两点的线段称为球的弦半径为4的球的两条弦ab、cd的长度分别等于2、4，m、n分别为ab、cd的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦ab、cd可能相交于点m；弦ab、cd可能相交于点n；mn的最大值为5；mn的最小值为1.其中真命题的个数是 ()a1 b2 c3 d4 解析c易求得m、n到球心o的距离分别为om3，on2，若两弦交于m，则onmn，在rtonm中，有onom，符合题意，故正确若两弦交于n，同推得，omon，矛盾，故错当m、o、n共线，m、n在o同侧，则mn取最小值1；m、n在o两侧，则mn取最大值5，故正确二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13. 如图，在正四棱柱a1c中，e，f，g，h分别是棱cc1，c1d1，d1d，dc的中点，n是bc的中点，点m在四边形efgh及其内部运动，则m只需满足条件_时，就有mn平面b1bdd1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况) 解析fhdd1，hnbd，平面fhn平面b1bdd1，只要mfh，则mn平面fhn，mn平面b1bdd1.(答案不唯一)【答案】m位于线段fh上14已知、是两个不同的平面，m、n是平面及平面之外的两条不同的直线，给出四个论断：mn，m，n，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_. 解析同垂直于一个平面的两条直线互相平行，同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行【答案】15已知命题：“若xy，yz，则xz”成立，那么字母x，y，z在空间所表示的几何图形有可能是：都是直线；都是平面；x，y是直线，z是平面；x，z是平面，y是直线上述判断中，正确的有_(请将你认为正确的序号都填上) 解析当字母x，y，z都表示直线时，命题成立；当字母x，y，z都表示平面时，命题也成立；当x，z表示平面，y表示直线时，由相关的判定定理知命题也成立；当x，y表示直线，z表示平面时，xz不一定成立，还有可能xz或x与z相交，故正确，不正确【答案】16如图，二面角l的大小是60，线段ab，bl，ab与l所成的角为30，则ab与平面所成的角的正弦值是_ 解析如图，作ao于o，acl于c，连接ob、oc，则ocl.设ab与所成角为，则abo，由图得sin sin 30sin 60.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)如图所示，矩形abcd中，ab3，bc4，沿对角线bd把abd折起，使点a在平面bcd上的射影e落在bc上(1)求证：平面acd平面abc; (2)求三棱锥abcd的体积 解析(1)ae平面bcd，aecd.又bccd，且aebce，cd平面abc.又cd平面acd，平面acd平面abc.(2)由(1)知，cd平面abc，又ab平面abc，cdab.又abad，cdadd，ab平面acd.vabcdvbacdsacdab.又在acd中，accd，adbc4，abcd3，ac.vabcd33.18(12分)如图，四边形abcd为正方形，四边形bdef为矩形，ab2bf，de平面abcd，g为ef的中点(1)求证：cf平面ade；(2)求证：平面abg平面cdg；(3)求二面角cfgb的余弦值 解析(1)bfde，bcad，bfbcb，deadd，平面cbf平面ade.又cf平面cbf，cf平面ade.(2)如图，取ab的中点m，cd的中点n，连接gm、gn、mn、ac、bd，设ac、mn、bd交于o，连接go.四边形abcd为正方形，四边形bdef为矩形，ab2bf，de平面abcd，g为ef的中点，则go平面abcd，gomn，gnmg.又gndc，abdc，gnab.又abmgm，gn平面gab.又gn平面cdg，平面abg平面cdg.(3)由已知易得cgfg，由(2)知goef，cgo为二面角cfgb的平面角，cos cgo.19(12分)(2011南昌二模)如图所示的多面体abca1b1c1中，三角形abc是边长为4的正三角形，aa1bb1cc1，aa1平面abc，aa1bb12cc14.(1)若o是ab的中点，求证：oc1a1b1；(2)求平面ab1c1与平面a1b1c1所成的角的余弦值 解析(1)设线段a1b1的中点为e，连接oe，c1e.由aa1平面abc得aa1ab，又bb1aa1且aa1bb1，所以aa1b1b是矩形又点o是线段ab的中点，所以oeaa1，所以oea1b1.由aa1平面abc得aa1ac，a1abc.又bb1aa1cc1，所以bb1bc，cc1ac，cc1bc，且acbc4，aa1bb14，cc12，所以a1c1b1c1，所以c1ea1b1.又c1eoee，所以a1b1平面oc1e，因为oc1平面oc1e，所以oc1a1b1.(2)如图，以o为原点，所在方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系oxyz，则a(0,2,0)，a1(4,2,0)，b1(4，2,0)，c1(2,0,2)，设平面ab1c1的法向量为n1(x1，y1，z1)，则有令x11，则n1(1,1,0)设平面a1b1c1的法向量为n2(x2，y2，z2)，则有令z21，则n2(，0,1)所以cosn1，n2，所以平面ab1c1与平面a1b1c1所成的角的余弦值是.20(12分)如图所示，在直四棱柱abcda1b1c1d1中，dbbc，dbac，点m是棱bb1上一点(1)求证：b1d1平面a1bd；(2)求证：mdac；(3)试确定点m的位置，使得平面dmc1平面cc1d1d. 解析(1)由直四棱柱概念，得bb1綊dd1，四边形bb1d1d是平行四边形，b1d1bd.而bd平面a1bd，b1d1平面a1bd，b1d1平面a1bd.(2)bb1平面abcd，ac平面abcd，bb1ac.又bdac，且bdbb1b，ac平面bb1d1d.而md平面bb1d1d，mdac.(3)当点m为棱bb1的中点时，取dc的中点n，d1c1的中点n1，连接nn1交dc1于o，连接om，如图所示n是dc的中点，bdbc，bndc.又dc是平面abcd与平面dcc1d1的交线，而平面abcd平面dcc1d1，bn平面dcc1d1.又可证得，o是nn1的中点，bm綊on，即四边形bmon是平行四边形，bnom，om平面cc1d1d，om平面dmc1，平面dmc1平面cc1d1d.21(12分)如图所示，在直角梯形abcp中，bcap，abbc，cdap，addcpd2.e，f，g分别为线段pc，pd，bc的中点，现将pdc折起，使平面pdc平面abcd.(1)求证：pa平面efg；(2)求二面角gefd的大小 解析(1)peec，pffd，efcd.又cdab，efab，ef平面pab.同理，eg平面pab.又efege，平面pab平面efg，而pa在平面pab内，pa平面efg.(2)如图，以d为坐标原点，da，dc，df所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则a(2,0,0)，p(0,0,2)，e(0,1,1)，f(0,0,1)，g(1,2,0)，易知(2,0,0)为平面efd的一个法向量设平面efg的一个法向量为n(x，y，z)，又(0，1，0)，(1,1，1)，由得即取x1，得n(1,0,1)设所求二面角为，cos ，45，即二面角gefd的平面角的大小为45.22(12分)在侧棱垂直于底面的四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd为菱形，且bad60，a1aab，e为bb1延长线上的一点，d1e面d1ac.(1)求二面角eacd1的大小；(2)在d1e上是否存在一点p，使a1p平面eac？若存在，求d1ppe的值；若不存在，说明理由 解析设ac与bd交于o，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，设a