高中数学 第2章 函数 2.2.2 函数的奇偶性课件 苏教版必修1.ppt

第2章2 2函数的简单性质 2 2 2函数的奇偶性 1 结合具体函数 了解函数奇偶性的含义 2 掌握判断函数奇偶性的方法 了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系 3 会利用函数的奇偶性解决简单问题 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一函数奇偶性的概念 答案 1 一般地 设函数y f x 的定义域为a 如果对于任意的x a 都有f x 那么称函数y f x 是偶函数 如果对于任意的x a 都有f x 那么称函数y f x 是奇函数 2 如果函数f x 是奇函数或偶函数 我们就说函数f x 具有 f x f x 奇偶性 答案 思考为什么奇 偶函数的定义域一定要关于原点对称 答由函数奇偶性的定义知 若x是定义域中的一个数值 则 x也必然在定义域中 因此函数y f x 是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在x轴上所表示的区间关于原点对称 换言之 所给函数的定义域若不关于原点对称 则这个函数必不具有奇偶性 例如函数y x2在区间 上是偶函数 但在区间 1 2 上却无奇偶性可言了 1 若一个函数是奇函数 则它的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形 反之 若一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 则这个函数是奇函数 2 若一个函数是偶函数 则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形 反之 若一个函数的图象关于y轴对称 则这个函数是偶函数 知识点二奇函数 偶函数的图象特征 1 若函数f x 是奇函数 且0在定义域内 则必有f 0 0 2 奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同 偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反 3 一次函数f x kx b k 0 为奇函数 b 0 二次函数f x ax2 bx c a 0 为偶函数 b 0 常数函数f x c c为常数 为偶函数 知识点三奇偶性应用中常用结论 答案 思考存在既是奇函数又是偶函数的函数吗 返回 答存在 如f x 0既是奇函数又是偶函数 且这样的函数有无穷多个 实际上 函数f x 0 x d 只要定义域d关于原点对称 则f x 既是奇函数又是偶函数 例1判断下列函数的奇偶性 1 f x 2 x 题型探究重点突破 题型一函数奇偶性的判断 解 函数f x 的定义域为r 关于原点对称 又f x 2 x 2 x f x f x 为偶函数 解析答案 解 函数f x 的定义域为 1 1 关于原点对称 且f x 0 又 f x f x f x f x f x 既是奇函数又是偶函数 解 函数f x 的定义域为 x x 1 不关于原点对称 f x 是非奇非偶函数 解析答案 解f x 的定义域是 0 0 关于原点对称 当x 0时 x0 f x 1 x 1 x f x 综上可知 对于x 0 0 都有f x f x f x 为偶函数 解析答案 反思与感悟 判断函数奇偶性的方法 1 定义法 若函数定义域不关于原点对称 则函数为非奇非偶函数 若函数定义域关于原点对称 则应进一步判断f x 是否等于 f x 或判断f x f x 是否等于0 从而确定奇偶性 2 图象法 若函数图象关于原点对称 则函数为奇函数 若函数图象关于y轴对称 则函数为偶函数 3 分段函数的奇偶性应分段说明f x 与f x 的关系 只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时 才能判定函数的奇偶性 反思与感悟 解析答案 解析 两项 函数均为偶函数 项中函数为非奇非偶函数 而 项中函数为奇函数 解析答案 2 若f x ax2 bx c a 0 是偶函数 则g x ax3 bx2 cx是 函数 判断奇偶性 奇 解析 f x ax2 bx c是偶函数 f x f x 得b 0 g x ax3 cx g x a x 3 c x g x g x 为奇函数 例2已知f x ax5 bx3 cx 8 且f d 10 求f d 题型二利用函数的奇偶性求值 解析答案 反思与感悟 解方法一f d ad5 bd3 cd 8 f d a d 5 b d 3 c d 8 ad5 bd3 cd 8 得f d f d 16 f d 10 f d 16 10 26 方法二设g x ax5 bx3 cx 则g x 为奇函数 由题意可得f d g d 8 10 g d 18 又f d g d 8 且g x 为奇函数 g d g d f d g d 8 18 8 26 反思与感悟 解决这类由奇偶性求值问题 应先分析给定函数特点 把原函数化为一个奇函数 或偶函数 g x 和一个常数的和 然后借助奇函数 或偶函数 的性质求出g d 也可以通过两式相加 或相减 达到正负抵消 从而使问题得解 反思与感悟 跟踪训练2函数f x x5 ax3 bx 2 且f 3 1 则f 3 解析答案 解析令g x x5 ax3 bx 易知g x 为奇函数 从而g 3 g 3 3 又因为f x g x 2 f 3 1 所以g 3 1 所以g 3 1 所以f 3 g 3 2 1 2 3 例3已知函数f x x r 是奇函数 且当x 0时 f x 2x 1 求函数f x 的解析式 题型三利用奇偶性求函数解析式 解析答案 反思与感悟 解当x 0 x 0 f x 2 x 1 2x 1 又 f x 是奇函数 f x f x f x 2x 1 又f x x r 是奇函数 f 0 f 0 即f 0 0 1 本题易忽视定义域为r的条件 漏掉x 0的情形 若函数f x 的定义域内含0且为奇函数 则必有f 0 0 2 利用奇偶性求解析式的思路 1 在待求解析式的区间内设x 则 x在已知解析式的区间内 2 利用已知区间的解析式进行代入 3 利用f x 的奇偶性 求待求区间上的解析式 反思与感悟 跟踪训练3 1 已知函数f x 是定义在r上的偶函数 x 0时 f x x2 2x 则函数f x 在r上的解析式是 填序号 f x x x 2 f x x x 2 f x x x 2 f x x x 2 解析答案 解析 f x 在r上是偶函数 且x 0时 f x x2 2x 当x 0时 x 0 f x x 2 2x x2 2x 则f x f x x2 2x x x 2 又当x 0时 f x x2 2x x x 2 因此f x x x 2 解析利用奇函数的性质f x f x 求解 解析答案 f x 为奇函数 f 1 f 1 2 2 利用偶函数的性质f x f x f x 避免讨论 解决思想方法 解析答案 例4已知偶函数f x 在 0 上单调递减 f 2 0 若f x 1 0 则x的取值范围是 解析 f 2 0 f x 1 0 f x 1 f 2 又 f x 是偶函数 且在 0 上单调递减 f x 1 f 2 x 1 2 2 x 1 2 1 x 3 x 1 3 故填 1 3 1 3 反思与感悟 本题的关键是利用偶函数的性质 f x f x f x 从而由f x 1 f 2 转化得f x 1 f 2 再由f x 在 0 上单调递减即可脱去 f 得到 x 1 2 其优点在于避免了讨论 反思与感悟 跟踪训练4函数f x 是定义在实数集上的偶函数 且在 0 上是增函数 f 3 f 2a 1 则a的取值范围是 解析因为函数f x 在实数集上是偶函数 且f 3 1或a 2 a 1或a 2 返回 解析答案 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 解析由函数的奇偶性排除 由函数的单调性排除 由y x x 的图象可知当x 0时此函数为增函数 又该函数为奇函数 1 2 3 4 5 2 若f x x a x 4 为偶函数 则实数a 解析由f x x a x 4 得f x x2 a 4 x 4a 若f x 为偶函数 则a 4 0 即a 4 4 解析答案 1 2 3 4 5 3 设偶函数f x 的定义域为 5 5 若当x 0 5 时 f x 的图象如图所示 则不等式f x 0的解集是 解析由于偶函数的图象关于y轴对称 所以可根据对称性确定不等式f x 0的解 当x 0 5 时 f x 0的解为2 x 5 所以当x 5 0 时 f x 0的解为 5 x 2 所以f x 0的解是 5 x 2或2 x 5 解析答案 x 5 x 2 或2 x 5 1 2 3 4 5 4 已知函数y f x 是r上的奇函数 且当x 0时 f x x x2 则f 2 解析因为当x 0时 f x x x2 所以f 2 2 22 2 又f x 是奇函数 所以f 2 f 2 2 解析答案 2 1 2 3 4 5 5 已知f x 是定义域为r的偶函数 当x 0时 解析式为f x x2 x 则当x 0时 f x 解析答案 解析设x0 f x x 2 x x2 x 又 f x 是定义域为r的偶函数 f x f x x2 x 当x 0时 f x x2 x x2 x 课堂小结 1 定义域在数轴上关于原点对称是函数