CAU 考研资料包 考研数学1st 概率论 第八章

假设检验的基本原理 小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生 大概率事件在一次试验中几乎是必然发生的 假设检验的概念与思想 第八章假设检验 对总体参数或总体分布的一种看法总体参数包括总体均值 比例 方差等分析之前必需陈述 什么是假设 什么是假设检验 概念事先对总体参数或分布形式作出某种假设然后利用样本信息来判断原假设是否成立类型参数假设检验非参数假设检验特点采用概率论的反证法依据统计上的小概率原理 假设检验中的基本原理 小概率原理1 在一次试验中 一个几乎不可能发生的事件发生的概率2 在一次试验中小概率事件一旦发生 我们就有理由拒绝原假设3 小概率由研究者事先确定 假设检验的基本思想 因此我们拒绝假设 50 样本均值 m 50 抽样分布 H0 假设检验的过程 提出假设 抽取样本 作出决策 H0 无罪 假设检验中的两类错误 决策结果 假设检验就像一场审判过程 统计检验过程 假设检验中的两类错误 P 弃真 P 否定H0 H0成立 P 取伪 P 接受H0 H0不成立 1 第一类错误 弃真错误 原假设为真时拒绝原假设 被称为显著性水平 2 第二类错误 取伪错误 原假设为假时接受原假设 错误和 错误的关系 和 的关系就像翘翘板 小 就大 大 就小 假设检验的基本步骤给出原假设H0和备择假设H1选定分布已知的统计量构造小概率事件 确定出拒绝域做一次试验 由样本值看小概率事件是否发生了做出H0正确与否的推断 下面只对 进行控制 不考虑 小概率一般取 0 1 0 04 0 05 0 02 0 01等 1问题的提出 例1 某车间用一台包装机包装糖 额定标准每袋0 5kg 某天开工后为检验包装机工作正常否 随机抽取它所包的袋 称得净重为 0 497 0 506 0 518 0 524 0 488 0 511 0 510 0 515 0 512 由以往检验知包装机包得糖重量X N 问这天打包机工作正常否 2正态总体期望的假设检验 1 一个正态总体检验期望等于某个常数 是已知数 检验H0 0 H1 0 设X1 Xn是取自N 2 的样本 0 当H0成立时 也不应与0相差太多 故需找一个大的临界值 当H0成立时 计算Z的值 当 z z 2时否定H0 当H0成立时 需找个大的临界值 当H0成立时 计算T的值 当 T t 2 n 1 时否定H0 双边检验 显著性水平与拒绝域 双边检验 显著性水平与拒绝域 双边检验 显著性水平与拒绝域 双边检验 显著性水平与拒绝域 例1因为由以往检验知包装机包得糖重量X N 0 0152 所以属于正态总体检验期望 0 5 解 H0 0 5H1 0 5 计算得 1 8 n 9 z0 025 1 96 接受原假设H0 认为打包机工作正常 例2 已知某铁厂铁水含碳量X服从正态分布 今测试5炉铁水的含碳量如下 4 28 4 40 4 42 4 35 4 37 正常情况含碳量应为4 55 检验今铁水含碳量有无显著变化 解 H0 4 55H1 4 55 计算得 7 684 n 5 t0 025 4 2 776 否定原假设H0 认为含碳量有显著变化 2 一个正态总体检验期望不超过某个常数 知检验H0 0 H1 0 设X1 Xn是取自N 2 的样本 2未 当H0成立时 也不应太大 故需找一个大的临界值 但T分布未知 于是 计算统计量T的值 当T t n 1 时否定H0 考虑辅助随机变量 解 H0 21H1 21 所以 t0 05 16 1 746 不能否定H0 认为此批罐头维生素C含量合格 例3 番茄汁罐头中维生素C含量服从正态分布 按规定维生素C含量不得少于21毫克 现从一批罐头中抽17罐 算得维生素C含量的均值为23 标准差为3 98 问此批罐头维生素C含量是否合格 均值的单边Z检验 提出假设 单边检验 显著性水平与拒绝域 左边检验 显著性水平与拒绝域 左边检验 显著性水平与拒绝域 右边检验 显著性水平与拒绝域 二 两独立正态总体 检验期望相等 设X N 1 12 Y N 2 22 X Y相互独立 已知 12 22 2 但 2未知 X1 X2 Xn1为来自X的样本 Y1 Y2 Yn2为来自Y的样本 H0 1 2 H1 1 2 当H0成立时 应很小 故当找大的临界值 当H0成立时 P T t 2 n1 n2 2 计算T的值 当 T t 2 n1 n2 2 时否定H0 三 成对数据的假设检验 为比较两种产品或两种仪器 两种方法的差异 常在相同条件下作比较试验 这样得到的数据为成对数据 例4 为比较甲乙两种安眠药的效果 选10个失眠者服用两种药延长睡眠时间如下 问两种安眠药疗效有无显著差异 分析 若两种安眠药疗效无显著差异 则它们的差异完全由随机因素所引起 故是随机误差 随机误差可认为服从期望为0的正态分布 这样问题转化为检验正态总体期望为0 解 设服用甲乙两种安眠药延长睡眠时间分别为X Y 则 Z X Y N 2 由已知得Z一组样本值zi的一组值 1 22 41 31 301 01 80 84 61 4 H0 0H1 0 t0 025 9 2 2622 否定H0 认为两种安眠药疗效有显著差异 3正态总体方差的假设检验 1 一个正态总体检验方差等于某个常数 知检验H0 2 02 H1 2 02 设X1 Xn是取自N 2 的样本 未 由S2估计 2 当H0成立时 S2 02应与1无太大的偏差 故需要找两个临界值 因为H0成立时 例5 某车间生产铜丝 生产一向比较稳定 今从产品中抽出10根铜丝测其折断力 得数据如下 单位 kg 578 572 570 568 572 570 570 572 596 584 可否认为该车间生产铜丝的折断力的方差为64 折断力服从正态分布 0 05 解 H0 2 02 H1 2 02 可为该车间生产铜丝的折断力的方差为64 卡方 2 检验实例 例 根据长期正常生产的资料可知 某厂所产维尼纶的纤度服从正态分布 其方差为0 0025 现从某日产品中随机抽取20根 测得样本方差为0 0042 试判断该日纤度的波动与平日有无显著差异 0 05 卡方 2 检验计算结果 H0 2 0 0025H1 2 0 0025 0 05n 20 1 19临界值 s 统计量 在 0 05的水平上接受H0 有证据表明该日纤度的波动比平时没有显著差异 决策 结论 2 一个正态总体检验方差不超过某个常数 知检验H0 2 02 H1 2 02 设X1 Xn是取自N 2 的样本 未 由S2估计 2 当H0成立时 S2 02不应比1大的太多 故需要从大的一头找一个临界值 因为H0成立时 分布未知 且 3 两独立正态总体 检验方差相等 设X N 1 12 Y N 2 22 X Y相互独立 1 2未知 检验 12 22 X1 X2 Xn1为来自X的样本 Y1 Y2 Yn2为来自Y的样本 H0 12 22 H1 12 22 用S12估计 12 S22估计 22 当H0成立时 S12 S22应和1差不多 故应找一个大于1 一个小于1的两临界值 因检验 12 22与检验 22 12等价 而F1 2 n1 1 n2 1 1以上方法可简化为 计算S12 S22的值 时 否定H0 H0成立时 S12 S22 F n1 1 n2 1 例6 从甲乙两车间生产的灯泡中分别抽50个 60个 测得平均寿命为 1282 1208小时 样本标准差80 94小时 问两车间生产灯泡质量有无显著差异 由统计资料知灯泡寿命服从正态分布 0 05 解 分别用X Y表示甲乙车间生产灯泡的寿命 H0 12 22 H1 12 22 1 67 F0 025 59 69 不能否定H0 认为 12 22 H0 1 2 H1 1 2 t0 025 n1 n2 2 t0 025 108 1 96 T t0 025 n1 n2 2 否定H0 认为两车间生产灯泡质量有显著差异 4 两独立正态总体 检验方差 12 22 设X N 1 12 Y N 2 22 X Y相互独立 1 2未知 X1 X2 Xn1为来自X的样本 Y1 Y2 Yn2为来自Y的样本 H0 12 22 H1 12 22 用S12估计 12 S22估计 22 当H0成立时 S12 S22应小于1 故应找一个大于1的临界值 当F F n1 1 n2 1 时 否定H0 计算F S12 S22的值 H0成立时 F S12 S22分布未知 利用置信区间进行假设检验 双边检验 求出双边检验均值的置信区间 2已知时 2未知时 若总体的假设值 0在置信区间外 拒绝H0 利用置信区间进行假设检验 双边检验 H0 0 H1 0 2未知 给定显著性水平 首先给出 的置信水平为1 的置信区间由此得到检验的接受域 亦即 利用置信区间进行假设检验 左边检验 求出单边置信下限 若总体的假设值 0