广西民族学院理学院2014-2015第一学期课程教学大纲之实.doc

实变函数Real variable functions【课程编号】BJ25122【课程类别】专业必修课【学分数】3分【编写日期】2014.05.21【学时数】60【先修课程】数学分析、常微分方程【适用专业】数学与应用数学一、教学目的、任务实变函数是大学数学系本科的一门重要的专业基础课，它是普通微积分的推广，使微积分的适用范围大大扩展，引起数学分析的深刻变化，它对于进一步学习泛函分析、近代数学理论、加深对数学分析及其他有关课程的理解有着至关重要的作用。通过本课程的学习，使学生在学习数学分析的基础上，比较全面系统地掌握实变函数的基本概念、基本知识、基本理论和基本方法，抽象思维能力与一定的逻辑推理能力这方面的数学素质得到提高。二、课程教学的基本要求理解和掌握集合的运算及其势（基数）；正确理解和掌握可测集、可测函数、依测度收敛、Lebesgue积分、有界变差函数、绝对连续函数和Lp空间等基本概念；熟练掌握可测集的性质和结构、可测函数的性质、Egoroff定理、Lusin定理及四种收敛方式（依测度收敛、逐步收敛、几乎处处收敛、一致收敛）之间的相互关系；学会运用Lebesgue积分理论的三大收敛定理（Levi定理、Fatou定理、Lebesgue控制收敛定理）及Fubini定理解决实际问题。三、教学内容和学时分配 第一章 集合及其运算 6学时（课堂讲授学时）主要内容：1.1 集合的定义1.2 交、并、余运算1.3上、下极限集1.4 -域教学要求：正确理解集合的定义, 深刻理解和掌握集合的交、并、余等运算；熟练掌握上、下极限集及-域等基本概念。其它教学环节（如实验、习题课、讨论课、其它实践活动）：无。 第二章 集合的势（基数） 6学时（课堂讲授学时）2.1 势的定义2.2 Bernstein定理2.3 可数集与连续集教学要求：理解并掌握势的定义；掌握Bernstein定理；深刻理解和掌握可数集与连续集等基本概念。其它教学环节：无 第三章 Rn中的点集 8学时（课堂讲授学时）主要内容：3.1聚点、内点、边界点及孤立点3.2开集与闭集3.3自密集与完备集教学要求：正确理解和掌握聚点、内点、边界点、开集、闭集、闭包、自密集、完全集及Cantor集等基本概念。其它教学环节：无第四章 外测度与可测集 10学时（课堂讲授学时）4.1外测度、可测集的定义和性质4.2 Lebesgue可测集的结构教学要求：正确理解和掌握外测度、可测集的定义和性质；掌握Lebesgue可测集的结构。其它教学环节：无第五章 可测函数 12学时（课堂讲授学时）主要内容：5.1 可测函数的定义与性质5.2 Egoroff定理5.3 Lusin定理5.4 依测度收敛教学要求：正确理解可测函数的定义与性质；熟练掌握Egoroff定理与 Lusin定理并学会应用解决实际问题；正确理解与掌握依测度收敛的定义及它与逐步收敛、几乎处处收敛、一致收敛等之间的关系。其它教学环节：无 第六章 Lebesgue积分 12学时（课堂讲授学时）主要内容：6.1 Lebesgue积分的定义 6.2 Lebesgue积分的性质6.3 Lebesgue积分的极限定理6.4 Fubini定理教学要求：理解和掌握Lebesgue积分的定义及性质；正确理解和掌握Levi定理、Fatou定理、Lebesgue控制收敛定理与Fubini定理，并学会应用解决实际问题。其它教学环节：无第七章 函数空间Lp 6学时（课堂讲授学时）主要内容：7.1 空间Lp7.2 Hilbert空间教学要求：理解和掌握Lp空间与Hilbert空间的定义和性质。其它教学环节：无四、教学重点、难点及教学方法考虑到本门课程的概念性强，内容抽象、推理严谨的特点，初学者普遍感到学习太吃力，难以把握本门课程的特点，所以教学重点与难点应对一些抽象的概念多做些必要的几何直观解释，对定理的来龙去脉交待的更清楚一点，并注重新旧知识之间的内在关联；考虑到教材配备的习题难度较大，初学者独立完成有一定困难，教者应该多讲解一些习题，让各种知识点相互碰撞，帮助初学者尽快掌握主要的内容和必要的证明技巧 五、考核方式及成绩评定方式： 闭卷考试；成绩评定方式：平时30%，考试70%六、教材及参考书目1、推荐教材：江泽坚，吴智泉编实变函数（第二版）. 北京：高等教育出版社，2000年6月。2、参考书：1 程其囊等编. 实变函数与泛函分析基础. 北京：高等教育出版社，2004年06月。2 夏道行