安徽省滁州市第二中学高三数学艺术班复习 平面向量(1).doc

安徽省滁州市第二中学2014届高三艺术班数学复习 平面向量向量向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积向量的数量积定比分点公式平 移物理学中的运用几何中的运用两向量平行的充要条件两向量垂直的充要条件一、基本概念：（1）向量的定义： 叫做向量，可用字母表示，如： ；也可用向量的有向线段的起点和终点字母表示，如： ；（2）向量的两个要素： 、 ；其中向量的大小又称为 ，记为 ；（3）向量与数量的区别：向量不同于数量，它是一种新的量，数量是只有大小的量，其大小可以用正数、负数或0来表示；它是一个代数量，可以进行各种代数运算；数量之间可以进行大小比较，“大于”、“小于”的概念对数量是适用的。向量是既有大小又有方向的量；向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的；由于方向不能比较大小，因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的。（4）特殊形式的向量：零向量： ；记为 ；方向为 ；规定：零向量与任一向量 ；单位向量： ；自由向量：一个向量只要不改变它的大小和方向，它的起点和终点可以任意平行移动的向量，叫做自由向量(本书研究的都是自由向量)平行向量： 叫做平行向量(也称为共线向量)；向量与向量平行，记作： ；相等向量： 叫做相等向量；向量与向量相等，记作： ；注：零向量与零向量相等；任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。两个向量相等是一个很重要的概念，从几何意义上看，就是这两个向量的长度相等且方向相同；从代数表达式考虑，就是它们对应的系数相等；对于用坐标表示的向量来说，就是这两个向量的坐标相等，这一点在解题中有很重要的作用。相反向量： 叫做相反向量，向量与向量相反，记作： ；二、向量的表示法（1）几何表示法：用有向线段表示，如：；（2）字母表示法：用一个小写字母表示，如：；注意：解题时，向量中的箭头不可省。 （3）坐标表示法：在直角坐标系内，分别取 的两个单位自量作基底，则对任一向量有且只有一对实数，使，就把叫做向量的(直角)坐标，记作 ；注意：叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标。；三、向量的运算：（1）向量的加法：向量法：三角形法则，平行四边形法则坐标法：若，则；重要结论：、围成一周顺次始终相接的向量的和为；、当两向量平行时，平行四边形法则不适用，可用三角形法则。（2）向量的减法向量法：三角形法则、平行四边形法则坐标法：若，则；重要结论：；（3）实数与向量的积(数乘)定义：一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：、当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；时，。坐标法：若，则；运算律：设为实数，为向量：结合律：；第一分配律：；第二分配律：；（4）平面向量的数量积数量积：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做和 的数量积(或内积)，记作：；注意：、夹角的范围：；其中当时，；当 时；当时；当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于0；反之如何？当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于0；反之如何？零向量与任何向量的数量积等于0。、投影：叫做向量在方向上的投影。坐标法运算：若，则； 运算律：交换律：；结合律：；分配律：； 注意：重要性质：、设都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则：；、；、当与同向时，；当与反向时，；特别是：，或、向量的夹角公式：； 、四、定理与公式：（1）平面向量基本定理(也叫做平面向量分解定理)：如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么该平面内任一向量，只有一对实数，使；我们把不共线的向量和叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（2）两个向量平行的充要条件：设，为实数向量式：；坐标式：；（3）两个向量垂直的充要条件：设向量式：；坐标式：；（4）两点间距离公式：xop1pp2y设，则；如：求函数的最小值。（5）线段的定比分点公式：设， 三角形重心公式：其中、为三角形三顶点的坐标。 六、向量中常见问题的处理：（1）；（2）；（3）在线段上或三点共线；（4）；（5）与垂直；（思考：其几何含义）（6）；（思考：其几何含义）（7）理解；平面向量练习一、 选择题:1、已知向量（）abcd2、已知向量则的坐标是（）abcd3、已知且，则x等于（）a3bcd4、若则与的夹角的余弦值为（）abcd5、若，与的夹角是，则等于（）a12bcd6、点关于点的对称点是（）abcd7、下列向量中，与垂直的向量是（ ）abcd8、已知a、b、c三点共线，且a、b、c三点的纵坐标分别为2、5、10，则点a分 所成的比是()abcd9、在平行四边形abcd中，若，则必有()a b或 cabcd是矩形dabcd是正方形10、已知点c在线段ab的延长线上，且等于( )a3bcd11、已知平面内三点，则x的值为()a3b6c7d918、将向量按向量平移后的函数解析式是()a bcd二、填空题（每题3分，共15分）19、三角形三边长满足，则c边的