（浙江通用）高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性.doc

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数i 2.3 函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xt)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称t为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期【知识拓展】1如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.2如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)3对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则t2a；(2)若f(xa)，则t2a.4对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称；(2)若对于r上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称；(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(3)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称()(5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则f(x)f(x)g(x)是偶函数()(6)若t是函数的一个周期，则nt(nz，n0)也是函数的周期()1(2015福建)下列函数为奇函数的是()ay by|sin x|cycos x dyexex答案d解析对于d，f(x)exex的定义域为r，f(x)exexf(x)，故yexex为奇函数而y的定义域为x|x0，不具有对称性，故y为非奇非偶函数y|sin x|和ycos x为偶函数故选d.2已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)等于()a2 b0 c1 d2答案a解析f(1)f(1)(11)2.3(2015天津)已知定义在r上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()aabc bcab cacb dcba答案b解析由函数f(x)2|xm|1为偶函数，得m0，所以f(x)2|x|1，当x0时，f(x)为增函数，log0.53log23，所以log25|log23|0，所以bf(log25)af(log0.53)cf(2m)f(0)，故选b.4已知定义在r上的函数f(x)满足f(1)，且对任意的x都有f(x3)，则f(7)_；f(2 014)_.答案5解析由f(x3)，得f(x6)f(x)，故函数f(x)是周期为6的周期函数故f(7)f(1)，f(2 014)f(63354)f(4)5.5已知函数f(x)是定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则x0时，f(x)_.答案x(1x)解析当x0，f(x)(x)(1x)又f(x)为奇函数，f(x)f(x)(x)(1x)，f(x)x(1x)题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x；(2)f(x)(x1) ；(3)f(x)解(1)定义域为r，关于原点对称，又f(x)(x)3(x)x3x(x3x)f(x)，函数为奇函数(2)由0可得函数的定义域为(1,1函数定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数(3)当x0时，x0，f(x)x2x，f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)；当x0，f(x)x2x，f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)对于x(，0)(0，)，均有f(x)f(x)函数为奇函数思维升华(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为r，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()af(x)g(x)是偶函数b|f(x)|g(x)是奇函数cf(x)|g(x)|是奇函数d|f(x)g(x)|是奇函数(2)函数f(x)loga(2x)，g(x)loga(2x)(a0且a1)，则函数f(x)f(x)g(x)，g(x)f(x)g(x)的奇偶性是()af(x)是奇函数，g(x)是奇函数bf(x)是偶函数，g(x)是奇函数cf(x)是偶函数，g(x)是偶函数df(x)是奇函数，g(x)是偶函数答案(1)c(2)b解析(1)易知f(x)|g(x)|定义域为r，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，f(x)|g(x)|为奇函数(2)f(x)，g(x)定义域均为(2,2)，由已知f(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)f(x)，g(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)g(x)，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数题型二函数的周期性例2(1)定义在r上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 017)_.(2)已知f(x)是定义在r上的偶函数，并且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.答案(1)337(2)2.5解析(1)f(x6)f(x)，t6.当3x1时，f(x)(x2)2；当1x0)设函数f(x)(xr)满足f(x)f(x)sin x当0x时，f(x)0，则f_.答案解析f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x)，f(x)的周期t2，又当0x时，f(x)0，f0，即ffsin0，f，fff.题型三函数性质的综合应用命题点1函数奇偶性的应用例3(1)已知f(x)，g(x)分别是定义在r上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)等于()a3 b1 c1 d3(2)(2015课标全国)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.答案(1)c(2)1解析(1)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)g(1)f(1)g(1)(1)3(1)211.故选c.(2)f(x)为偶函数，则ln(x)为奇函数，所以ln(x)ln(x)0，即ln(ax2x2)0，a1.命题点2单调性与奇偶性、周期性结合例4(1)(2015石家庄一模)已知f(x)是定义在r上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为()a(1,4) b(2,0)c(1,0) d(1,2)(2)已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()af(25)f(11)f(80)bf(80)f(11)f(25)cf(11)f(80)f(25)df(25)f(80)f(11)答案(1)a(2)d解析(1)f(x)是定义在r上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)，1，即0，解得1a4，故选a.(2)f(x)满足f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在r上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在r上是奇函数，f(x)在区间2,2上是增函数，f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_答案(1)(2)(5,0)(5，)解析(1)函数f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，故f(x)f(x)，即ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化简得ln 2axln e2ax，即e2ax，整理得e3x1e2ax3x(e3x1)，所以2ax3x0，解得a.(2)f(x)是定义在r上的奇函数，f(0)0.又当x0，f(x)x24x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)x24x (x0时，由f(x)x得x24xx，解得x5；当x0时，f(x)x无解；当xx得x24xx，解得5xx的解集用区间表示为(5,0)(5，)2忽视定义域致误典例(1)若函数f(x)在定义域上为奇函数，则实数k_.(2)已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范围是_易错分析(1)解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)0得k1.(2)本题易出现以下错误：由f(1x2)f(2x)得1x22x，忽视了1x20导致解答失误解析(1)f(x)，f(x)f(x).由f(x)f(x)0可得k21，k1.(2)画出f(x)的图象，由图象可知，若f(1x2)f(2x)，则即得x(1，1)答案(1)1(2)(1，1)温馨提醒(1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：对变量所在区间的讨论保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系弄清最终结果取并集还是交集方法与技巧1判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2利用函数奇偶性可以解决以下问题求函数值；求解析式；求函数解析式中参数的值；画函数图象，确定函数单调性3在解决具体问题时，要注意结论“若t是函数的周期，则kt(kz且k0)也是函数的周期”的应用失误与防范1f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件应用时要注意函数的定义域并进行检验2判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性a组专项基础训练(时间：35分钟)1下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是()aylog2|x| bycos 2xcy dylog2答案a解析对于a，函数ylog2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于b，函数ycos 2x在区间(1,2)上不是增函数；对于c，函数y不是偶函数；对于d，函数ylog2不是偶函数，故选a.2已知函数f(x)ln(3x)1，则f(lg 2)f等于()a1 b0 c1 d2答案d解析设g(x)ln(3x)f(x)1，g(x)ln(3x)lng(x)g(x)是奇函数，f(lg 2)1f1g(lg 2)g0，因此f(lg 2)f2.3已知f(x)在r上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(2 019)等于()a2 b2 c98 d98答案a解析f(x4)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，f(2 019)f(50443)f(3)f(1)又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2122，即f(2 019)2.4定义在r上的偶函数f(x)，对任意x1，x20，)(x1x2)，有0，则()af(3)f(2)f(1) bf(1)f(2)f(3)cf(2)f(1)f(3) df(3)f(1)21，f(3)f(2)f(1)，即f(3)f(2)f(a)，则实数a的取值范围是()a(，1)(2，) b(1,2)c(2,1) d(，2)(1，)答案c解析f(x)是奇函数，当xf(a)，得2a2a，解得2a0时，f(x)1，则当x0时，f(x)1，当x0，f(x)1f(x)，即x0时，f(x)(1)1.7已知定义在r上的偶函数f(x)在0，)上单调递增，且f(1)0，则不等式f(x2)0的解集是_答案(，13，)解析由已知可得x21或x21，解得x3或x1，所求解集是(，13，)8设定义在r上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1，则ff(1)ff(2)f_.答案解析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，ff(1)ff(2)fff(1)ff(0)fff(1)ff(0)fff(1)f(0)1211201.三、解答题9已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知所以10，那么实数m的取值范围是()a. b.c(1,3) d.答案a解析f(x)是定义域为(1,1)的奇函数，1x0可转化为f(m2)f(2m3)，f(m2)f(2m3)，f(x)是减函数，m22m3，1m.12设f(x)是定义在r上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中a，br.若ff，则a3b的值为_答案10解析因为f(x)是定义在r上且周期为2的函数，所以ff，且f(1)f(1)，故ff，从而a1，即3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由得a2，b4，从而a3b10.13已知f(x)是定义在r上且以2为周期的偶函数，当0x1时，f(x)x2，如果直线yxa与曲线yf(x)恰有两个不同的交点，则实数a的值为()a2k (kz) b2k或2k (kz)c0 d2k或2k(kz)答案d解析原函数是偶函数，且当0x1时，f(x)x2，所以当1x0时，0x1，所以f(x)(x)2，所以f(x)x2，即当1x0时，f(x)x2；当0x1时，f(x)x2.又f(x)的周期为2，故作出函数f(x)的图象，如图所示观察可得a2k或2k.14定义在r上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)，且在1,0上是增函数，给出下列关于f(x)的结论：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于直线x1对称；f(x)在0,1上是增函数；f(x)在1,2上是减函数；f(2)f(0)其中正确结论的序号是_答案解析